Уравнение гармонических колебаний — в помощь студенту

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.
Например, в случае механических гармонических колебаний:.
В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 +π/2 полностью совпадают.
Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0  смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: .
Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.
Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.
Величина  — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).
Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту,  а для случая нулевой начальной фазы  (см. график). Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:
Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту — вторая производная от координаты по времени. Тогда: Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту.
Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).
Величина 
— максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту, а для случая нулевой начальной фазы: Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту (см. график).
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:
   и    Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту.
Можно записать:  —
т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.
Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: ,
где – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

Источник: https://www.eduspb.com/node/1780

I. Механика

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студентуУравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично.

Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия.

Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студентуУравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Если колебание описывать по закону синуса

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студентуУравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Читайте также:  Коррекция тревожности - в помощь студенту

Находим производную сложной функции.

Источник: http://fizmat.by/kursy/kolebanija_volny/garmonicheskoe

Амплитуда колебаний — определение, характеристика и формулы

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студентуУравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Амплитуда колебаний – это максимальное значение отклонения от нулевой точки. В физике данный процесс анализируется в разных разделах. 

Он изучается при механических, звуковых и электромагнитных колебаниях. В перечисленных случаях амплитуда измеряется по-разному и по своим законам.

Амплитуда колебаний

Амплитудой колебания называют максимальную отдаленную точку нахождения тела от положения равновесия. В физике она обозначается буквой А и измеряется в метрах. 

За амплитудой можно наблюдать на простом примере пружинного маятника.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту 

  • В идеальном случае, когда игнорируется сопротивление воздушного пространства и трение пружинного устройства, устройство будет колебаться бесконечно. Описание движения выполняется с помощью функций cos и sin:
  • x(t) = A * cos(ωt + φ0) или x(t) = A * sin(ωt + φ0),
  • где 
  • величина А – это амплитуда свободных движений груза на пружине;
  • (ωt + φ0) – это фаза свободных колебаний, где ω — это циклическая частота, а φ0 – это начальная фаза, когда t = 0. 

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

В физике указанную формулу называют уравнением гармонических колебаний. Данное уравнение полностью раскрывает процесс, где маятник движется с определенной амплитудой, периодом и частотой. 

Период колебаний

  1. Результаты лабораторных опытов показывают, что циклический период движения груза на пружине напрямую зависит от массы маятника и жесткости пружины, но не зависит от амплитуды движения.

     

  2. В физике период обозначают буквой Т и описывают формулами:

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Исходя из формул, период колебаний – это механические движения, повторяющиеся через определенный промежуток времени. Простыми словами периодом называют одно полное движение груза.

Частота колебаний

Под частотой колебаний следует понимать количество повторений движения маятника или прохождения волны. В разных разделах физики частота обозначается буквами ν, f или F. 

  • Данная величина описывается выражением:
  • v = n/t – количество колебаний за промежуток времени,
  • где 
  • n – это единица колебаний;
  • t – отрезок времени.

В Международной системе измерений частоту измеряют в Гц (Герцах). Она относится к точным измеряемым составляющим колебательного процесса. 

Например, наукой установлена частота вращения Солнца вокруг центра Вселенной. Она равна -1035 Гц при одинаковой скорости.

Циклическая частота

В физике циклическая и круговая частота имеют одинаковое значение. Данная величина еще называется угловой частотой. 

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

  1. Обозначают ее буквой омега. Она равна числу собственных колебательных движений тела за 2π секунд времени:
  2. ω = 2π/T = 2πν.

Данная величина нашла свое применение в радиотехнике и, исходя из математического расчета, имеет скалярную характеристику. Ее измерения проводят в радианах на секунду. С ее помощью значительно упрощаются расчеты процессов в радиотехнике. 

  • Например, резонансное значение угловой частоты колебательного контура рассчитывают по формуле:
  • WLC = 1/LC.
  • Тогда как обычная циклическая резонансная частота выражается:
  • VLC = 1/2π*√ LC.

В электрике под угловой частотой следует понимать число полных трансформаций ЭДС или число оборотов радиуса – вектора. Здесь ее обозначают буквой f.

Для определения на графике составляющих колебательного механического процесса или, например, колебания температуры, нужно разобраться в терминах этого процесса. 

К ним относят:

  • расстояние испытываемого объекта от исходной точки – называют смещением и обозначают х;
  • наибольшее отклонение – амплитуда смещения А;
  • фаза колебания – определяет состояние колебательной системы в любой момент времени;
  • начальная фаза колебательного процесса – когда t = 0, то φ = φ0.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Из графика видно, что значение синуса и косинуса может меняться от -1 до +1. Значит, смещение х может быть равно –А и +А. Движение от –А до +А называют полным колебанием.

Построенный график четко показывает период и частоту колебаний. Стоить отметить, что фаза не воздействует на форму кривой, а только влияет на ее положение в заданный промежуток времени.

Источник: https://nauka.club/fizika/amplituda-kolebaniy.html

Как составить уравнение гармонического колебания тела?

18.4.13

Нет комментариев

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Будем
считать, что тело совершает гармонические колебания в инерциальной системе
отсчета после того, как его вывели и з состояния устойчивого равновесия, в
котором тело покоилось.

В качестве идеальной физической модели колеблющегося
тело выберем одномерный гармонический осциллятор. Начало координат выберем в
состоянии равновесия. Ось OX направим вдоль
направления движения тела. Тогда уравнение может быть записано в следующем
виде;

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

В
этой формуле x –
координата осциллятора в момент времени t,
ω –
циклическая частота, j0 – начальная фаза колебаний. Поскольку период колебаний
известен, то может найти ω.

Для
определения j0 используем начальные
условия. По условию задачи, при t = 0, x = x1 = 2 см, т.е. x1 = x0 sin j0 . Отсюда выражаем sinj0 .

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Проекция
мгновенного ускорения осциллятора на ось OX имеет вид.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Поэтому
модуль его максимального значения равен a0 по модулю.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Откуда
можем найти амплитуду колебаний.

Таким
образом, начальная фаза колебаний и уравнение колебаний имеют вид.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

После
подстановки числовых значений физических величин получим окончатальный ответ.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.

Источник: https://blog-fiz.blogspot.com/2013/04/mehanicheskie-kolebaniya-i-volni-kak-sostawit-uravnenie-garmonicheskih-kolebanii.html

Гармонические колебания

Определение

Колебаниями называют такие движения или процессы, которые повторяются.

По своей природе колебания делят на механические, электромагнитные и др. Разные виды колебаний описывают при помощи одинаковых уравнений и при этом используют одинаковые характеристики.

Колебания являются свободными (собственными), если они происходят за счет энергии, которая получена колебательной системой один раз и в дальнейшем внешние воздействия на эту систему отсутствуют.

Уравнение и характеристики гармонических колебаний

Самым простым видом колебаний считают гармонические колебания.

Определение

Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых переменная величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса. Пусть происходят гармонические колебания никоторого параметра $s$, тогда они описываются как:

[s=A{cos ({omega }_0t+varphi ) } left(1
ight),]

где $A=s_{max}$ — амплитуда колебаний; ${omega }_0$ — циклическая (круговая) частота колебаний; $varphi $ — начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний. Величина $s$ изменяется $-Ale sle $+A.

Промежуток времени, через который повторяются определенные состояния системы (T) называют периодом. За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2pi $, поэтому:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}left(2
ight).]

Любые процессы, которые повторяются через одинаковые промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.

Физическая величина обратная периоду колебаний называется частотой ($
u $). Частота — это количество полных колебаний, которые совершаются за единицу времени.

[
u =frac{1}{T}left(3
ight).]

Из (2) и (3) следует, что циклическая частота равна:

[{omega }_0=2pi
u left(4
ight).]

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний записывают как:

[frac{d^2s}{dt^2}+{omega }^2_0s=0 left(5
ight).]

Решением уравнения (5) является выражение (1).

Графическое изображение гармонических колебаний

Гармонические колебания можно изображать графически (рис.1). Для этого используют метод векторных диаграмм.

С этой целью, из какой — то произвольно избранной точки оси X, пусть это будет точка O, под углом равным начальной фазе (угол $varphi $), откладывают вектор $overline{A}$. Длина этого вектора равна амплитуде ($A$) колебаний.

Если этот вектор приводится во вращение с угловой скоростью ${omega }_0$, то проекция конца этого вектора перемещается по оси X и принимает значения от $-A$ до $A$, при этом закон колеблющейся величины будет таким, как представляет уравнение (1).

Получается, что гармонические колебания можно изобразить при помощи проекции на некоторую ось вектора амплитуды $overline{A}$, который отложен из произвольной точки этой оси под углом $varphi $, вращающимся с угловой скоростью ${omega }_0$ вокруг избранной точки.

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

В физике применяют еще один метод, который отличается от метода векторных диаграмм формой. В этом методе колеблющуюся величину в виде комплексного числа. В соответствии с формулой Эйлера:

[e^{ialpha }={cos alpha +i{sin alpha left(6
ight), } }]

  • где $i$ — мнимая единица. При этом уравнение гармонических колебаний записывают как:
  • Вещественная часть выражения (7) — гармоническое колебание:
  • Часто значок, обозначающий реальную часть ($Re$) опускают, тогда записывают:

[ ilde{s}=Ae^{ileft({omega }_0t+varphi
ight)}left(7
ight).] [s=Releft( ilde{s}
ight)=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight) }left(8
ight).] [s=Ae^{ileft({omega }_0t+varphi
ight)}left(9
ight).]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Запишите уравнение гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда колебаний равна 8м, за $t=1 мин$ точка совершает $n=$120 колебаний. Начальная фаза колебаний равна $varphi =frac{pi }{4}$.

  1. Решение. Найдем циклическую частоту колебаний (${omega }_0$):
  2. Период колебаний вычислим, так как нам известно, что на 120 колебаний затрачено время $t=1$ мин=60с:
  3. Циклическая частота колебаний равна:
  4. Уравнение гармонических колебаний будем записывать в форме:
  5. тогда получаем:
  6. Ответ. $s=8{cos left(4pi t+frac{pi }{4}
    ight)(м) }$

[{omega }_0=frac{2pi }{T}left(1.1
ight).] [T=frac{t}{n}=frac{60}{120}=0,5 left(c
ight).] [{omega }_0=frac{2$eth$}{0,5}=4pi .] [s=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight) }left(1.2
ight),] $A=8$ м; $varphi =frac{pi }{4}.$ [s=8{cos left(4pi t+frac{pi }{4}
ight). }]

Пример 2

Задание. Материальная точка, массы $m$ подвешена на пружине (рис.2). Она совершает гармонические колебания под действием силы упругости. Чему равна потенциальная энергия ($E_p$) этой материальной точки?

Уравнение гармонических колебаний - в помощь студенту

Решение. Материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси X (рис.1). Сила, действующая на точку равна:

[F=ma left(2.1
ight).]

Так как по условию колебания гармонические, запишем:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight) o a=frac{d^2x}{dt^2} }=-A{omega }^2_0{cos left({omega }_0t+varphi
ight) }left(2.2
ight).]

Из (2.1) и (2.2) получаем:

[F=-mA{omega }^2_0x left(2.3
ight).]

Сила упругости является потенциальной, следовательно:

[E_p=-intlimits^x_0{Fdx=frac{mA{omega }^2_0x^2}{2}}=frac{m{omega }^2_0A^2}{2}{{cos}^2 left({omega }_0t+varphi
ight) }.]

Ответ. $E_p=frac{m{omega }^2_0A^2}{2}{{cos}^2 left({omega }_0t+varphi
ight) }$

Читать дальше: давление.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_14_garmonicheskie_kolebanija.php

Уравнение колебаний

  • Определение и уравнение вибрации
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  • Колебательные движения (или колебания) в физике и технике называют такими типами движений (или изменениями состояния), которые имеют некоторую степень повторяемости.
  • Колебания, которые происходят по законам синуса или косинуса, называются гармоническими.
  • Уравнение гармонических колебаний:

где t — время; x-значение, изменяющееся со временем (координата, заряд, ток, EMF и т. д.); A — амплитуда колебаний — максимальное отклонение осциллирующей величины от среднего (нулевого) значения; — фаза колебаний; — начальная фаза; w — циклическая частота (изменение фазы за единицу времени). За период фаза изменяется на

Уравнение вида:

Типы периодических колебаний могут быть с любой степенью точности представлены в виде суммы гармонических колебаний, так называемых гармонических рядов.

Колебания, которые тело будет выполнять, если они выведены из равновесия (независимо от того, как) и оставлены сами по себе, называются свободными (собственными) вибрациями. Если собственные колебания обусловлены наличием только квазиупругой силы, то они будут гармоническими.

Решение дифференциального уравнения колебаний

Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (3) является отношение вида:

Уравнение (4) называется уравнением затухающего колебания. В уравнении (4) видно, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Константы А и определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний уменьшается, и они обычно выглядят так, как показано на рис.

  1. рис 1.
  2. Период затухающих колебаний рассчитывается по формуле (5):

Коэффициент физического ослабления означает, что коэффициент затухания является обратной величиной времени релаксации. Время релаксации — время, в течение которого амплитуда уменьшается в е.

Однако коэффициент затухания не полностью характеризует затухание. Демпфирование вибрации обычно характеризуется декрементом демпфирования. Последнее показывает, сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за время, равное периоду колебаний.

То есть декремент затухания определяется как:

  • Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом; он, очевидно, равен:
  • Если колебательная система подвергается внешней периодической силе, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие не затухающий характер.

Принудительные вибрации следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который со временем со своими колебаниями «подает» небольшую часть энергии в систему.

  1. Примеры решения проблем
  2. ПРИМЕР 1
  • Задача

    Найти энергию свободных колебаний нагрузки, подвешенной на пружине. Рассмотрим случай физического маятника, зная, что жесткость пружины равна k, амплитуда колебаний A.

    • рис 1,1
  • Решение.

    Найдем энергию свободных колебаний. Он представлен двумя типами энергии: кинетическими и потенциальными. Для пружинного подвесного шара:

    1. Шаровые колебания описывают уравнение колебаний:
    2. мы напишем уравнение скорости шара, зная, что движение происходит только вдоль оси X, поэтому:

    Подставляя (1.2) и (1.3) в (1.1), получаем:

    зная, что для физического маятника

  • Ответ.
    • Энергия свободных колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний
    • ПРИМЕР 2
  • Задача

    Одно колебательное движение выполняется вдоль оси X, другое — вдоль оси Y. Колебания гармоничны.

    1) Частоты и фазы колебаний одинаковы, а амплитуды различны.

    2) Частоты колебаний одинаковы, амплитуды различны. Фазы, складывающиеся колебания отличаются друг от друга на .

    Определите, каковы траектории результирующих движений, если эти колебания складываются?

  • Решение.
    1. Запишем уравнения колебаний для каждого движения:

    Чтобы найти траекторию результирующего движения, нам нужно исключить время из уравнений (2.1), (2.2). Для этого достаточно разделить по одному одно уравнение на другое, в результате получим:

    Уравнение (2.3.) Показывает, что в этом случае добавление колебаний приводит к колебаниям по прямой, касательная которых определяется отношением амплитуд.

    • 2. Пусть фазы добавленных колебаний отличаются друг от друга , то уравнения имеют вид:

    Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нам нужно квадратировать уравнения (2.3) и (2.4), сначала разделяя их на A1 и A2 соответственно, а затем складывая их. Уравнение траектории принимает вид:

    Это уравнение эллипса. Для любых начальных фаз и любых амплитуд двух смещающихся взаимно перпендикулярных колебаний той же частоты результирующее колебание будет эллиптическим. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд добавленных колебаний.

  • Ответ

    1) В этом случае добавление колебаний приводит к тому, что колебания происходят по прямой, наклон которой равен

    2) Траектория результирующего движения является эллипсом.

    1. Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

      Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/uravnenie-kolebanij/

      Ссылка на основную публикацию