Теорема пифагора — в помощь студенту

Тема: «Теорема Пифагора»(8 класс)

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Цели урока:

  • Сформулировать и доказать теорему Пифагора;
  • Научиться применять теорему для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника.
  • Познакомиться с древнегреческим математиком Пифагором;

План урока

Блоки урока Время реализации
1. Организационный момент 1 минута
2.Устная работа 3 минуты
3. Изучение нового материала 18 минут
4. Закрепление 10 минут
5. Историческая справка 7 минут
6. Итог урока 4минут
7. Домашнее задание 1минуты
8. Рефлексия 1минуты

Оборудование: мультимедийный проектор, раздаточный материал

Целесообразность использования медиапродукта:

  1. Наглядная презентация учебного материала.

  2. Повышение эффективности усвоения учебного материала за счёт использования всех каналов информации.

  3. Экономия времени.

  4. Эстетическое оформление заданий.

  5. Возможность показа наибольшего количества наглядного материала.

Ход урока:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Христианская мысль 4 ого и 5ого веков нашей эры - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Ребята, сегодня отправляемся в путешествие на остров Самос, расположенный в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров, и какие «математические события» там происходили. Путешествовать будем на сверхскоростном самолёте, ведь время у нас ограничено – 45 минут. Но чтобы попасть в самолёт, мне нужно проверить вашу готовность.

Устная работа

Игра “Верю-не верю”

Вопрос верю, не верю
1. Верите ли вы, что остров Самос находится в Древней Греции?
2. Верите ли вы, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ?
3. Верите ли вы, что существует более 100 способов доказательств теоремы Пифагора?
4. Верите ли вы, что теорему Пифагора можно применять к любым треугольникам”?
5. Верите ли вы, что Пифагор жил в Древнем Риме?
  1. Изучение нового материала

Задача: Наш самолёт пока находится на высоте 6 км. На земле мы преодолели расстояние 8 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта?

Как найти траекторию полета?

Сделайте чертеж к задаче.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Пока мы не можем решить эту задачу. Но решить нам её поможет теорема Пифагора. Записываем тему урока: Теорема Пифагора. Давайте возьмём прямоугольный треугольник с катетами а и в и гипотенузой с и достроим его до квадрата со стороной а+ b. У этого квадрата сторона а+ b, а его площадь равна

Теорема Пифагора - в помощь студенту

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных треугольников (они равны по двум катетам), площадь которых и площади квадрата со стороной с, отсюда Теорема Пифагора - в помощь студенту. Имеем

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Упрощая, получим . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

  • Вернёмся к рассмотренной ранее задаче.
  • Применим теорему Пифагора для вычисления гипотенузы.
  • Дано: Теорема Пифагора - в помощь студенту
  • Найти: с
  • Решение: Так как по условию — прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: ,
  • ,
  • Ответ: самолёт пролетел путь, равный 10 км.

Теорема Пифагора - в помощь студенту Теорема Пифагора - в помощь студенту

Найти: SР Найти: NК

Теорема Пифагора - в помощь студентуТеорема Пифагора - в помощь студенту

  1. Найти: АD. Найти: ВD, АF
  2. Пока мы решали задачу, незаметно прибыли на остров Самос, где познакомимся с Пифагором.
  3. (работа с текстом, составить вопросы к тексту)
  4. Пифагор

На острове Самос в VI в. до н. э. Жил величайший древнегреческий математик Пифагор. Известно, что родился он на острове Самос, расположенном в Эгейском море. По совету Фалеса 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте.

В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство.

Он более 10 лет жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Вернувшись на родину, Пифагор организовал пифагорейский орден и школу философов и математиков. Туда принимались с большими церемониями после долгих испытаний.

В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось самому Пифагору. В школе была очень серьёзная дисциплина.

Главным безоговорочным аргументом в научных спорах были слова «Сам сказал». После этого дискуссия прекращалась.

  • Некоторые историки отмечают, что Пифагор составил подробный список табу для членов своего ордена. Вот некоторые из них:
  • 1) делайлишьто, чтовпоследствиинеомрачиттебяинезаставитраскаиваться;
  • 2) неделайникогдатого, чегонезнаешь, нонаучисьвсему, чтонужнознать;
  • 3) либомолчи, либоговорито, чтоценнеемолчания;

ВоттакДикеарх (древнегреческийфилософ, ученикАристотеля), всвоих «Фрагментах» описываетвнешностьиприбытиевКротонПифагора: «…онрасположилксебевесьгородкакчеловек, многостранствовавший, необыкновенныйипосвоейприродебогатоодаренныйсудьбою, – ибоонобладалвеличавойвнешностьюибольшойкрасотой, благородствомречи, нраваивсегоостального…» Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма или пифагорейская звезда. При встрече они рисовали её на песке, тем самым, приветствуя друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья. В средние века считалось, что пентаграмма «предохраняет» от «нечистой силы».

ТеоремаПифагораоднаизглавныхтеоремгеометрии. Значениееёсостоитвтом, чтоизнеёилисеёпомощьюможновывестибольшинствотеоремгеометрииирешитьмножествозадач.

Что? Кто? Где? Когда? Почему? Зачем?
  1. Итог урока(проверяем ответы)

Игра “Верю-не верю”

Вопрос верю, не верю
1. Верите ли вы, что остров Самос находится в Древней Греции?
2. Верите ли вы, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ?
3. Верите ли вы, что существует более 100 способов доказательств теоремы Пифагора?
4. Верите ли вы, что теорему Пифагора можно применять к любым треугольникам”?
5. Верите ли вы, что Пифагор жил в Древнем Риме?
  1. Домашнее задание: п.54, вопрос 8, №483

  1. Дополнительное задание: Найти ещё какой-нибудь способ доказательства теоремы Пифагора.
  2. Рефлексия
  3. Итак, мы вернулись из нашего путешествия, надеюсь, с хорошим настроением и давайте подведём итог.
  • «Я повторил…»
  • «Я узнал…»
  • «Я закрепил…»
  • «Я научился решать…»
  • «Мне понравилось…»

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/teorema-pifagora-3.html

Теорема Пифагора

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Читайте также:  Неолиберализм - в помощь студенту

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Теорема Пифагора, формула

ТеоремаТеорема Пифагора - в помощь студенту

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов () равна квадрату гипотенузы (). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула: 

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты (синий, зеленый, красный)

Теорема Пифагора - в помощь студенту

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – . Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что .

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

  1. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
  2. Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
  3. Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, . А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной .  Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Так как  острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной . Мы знаем, что площадь квадрата со стороной – это будет квадрат его стороны. То есть . Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

  1. Запишем: .
  2. Далее смотрим, что площадь прямоугольного треугольника – это половина произведения его катетов. Поэтому дальше записываем:т
  3. Также надо прибавить площадь квадрата, который находится в центре между треугольниками со стороной “с”. И теперь получим: 
  1. Раскрываем скобки и получаем: 
  2. Сокращаем . Получается:

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО!!! Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.

Примеры решения задач

Пример 1

  • Задача
  • Дано: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.
  • Найдите гипотенузу. Пока её обозначим “с”
  • Решение

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. В нашем случае – .

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Итак, , а . Катеты в сумме получают 41.

Тогда . То есть квадрат гипотенузы равен 41.

  1. Квадрат числа 41 = 6,4.
  2. Мы нашли гипотенузу.
  3. Ответ
  4. Гипотенуза = 6,4

Пример 2

  • Задача
  • Дано: прямоугольный треугольник, где гипотенуза = 12, один катет = 10
  • Найдите второй катет.
  • Решение
  • Обозначим неизвестный катет – b.
  • Воспользуемся теоремой Пифагора:
  • , а
  • Запишем:
  • Находим
  • Если , тогда просто
  • Ответ
  • Второй катет (b) равен 6,6.

Заключение

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: (это вся теорема Пифагора).

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/teorema-pifagora/

История теоремы Пифагора. Доказательство теоремы :

Тем, кто интересуется историей теоремы Пифагора, которую изучают в школьной программе, будет также любопытен такой факт, как публикация в 1940 году книги с трехсот семьюдесятью доказательствами этой, казалось бы, простой теоремы. Но она интриговала умы многих математиков и философов разных эпох. В книге рекордов Гиннеса она зафиксирована, как теорема с самым максимальным числом доказательств.

История теоремы Пифагора

Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так, в Египте, при строительстве сооружений, учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника пять тысячелетий назад. В вавилонских текстах упоминается о все том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Возникает вопрос, почему тогда гласит история — возникновение теоремы Пифагора принадлежит ему? Ответ может быть только один — он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем.

Из жизни Пифагора

Будущий великий ученый, математик, философ родился на острове Самосе в 570 году до нашей эры. Исторические документы сохранили сведения об отце Пифагора, который был резчиком по драгоценным камням, а вот о матери сведений нет.

О родившемся мальчике говорили, что это незаурядный ребенок, проявивший с детского возраста страсть к музыке и поэзии. К учителям юного Пифагора историки относят Гермодаманта и Ферекида Сиросского.

Первый ввел мальчика в мир муз, а второй, будучи философом и основателем итальянской школы философии, направил взор юноши к логосу.

В 22 года от роду (548 г. до н. э.) Пифагор отправился в Навкратис для изучения языка и религии египтян. Далее его путь лежал в Мемфис, где благодаря жрецам, пройдя через их хитроумные испытания, он постиг египетскую геометрию, которая, возможно натолкнула пытливого юношу на доказательство теоремы Пифагора. История в дальнейшем припишет теореме именно это имя.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

В плену царя вавилона

По пути домой в Элладу, Пифагор попадает в плен царя Вавилона. Но нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой чем в Египте.

Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно полученных знаний и времени.

Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.

В 530 г. до н.э. Пифагор бежит из плена на родину, где живет при дворе тирана Поликрата в статусе полураба. Такая жизнь Пифагора не устраивает, и он удаляется в пещеры Самоса, а затем отправляется на юг Италии, где в то время располагалась греческая колония Кротон.

Тайный монашеский орден

На базе этой колонии Пифагор организовал тайный монашеский орден, представлявший собой религиозный союз и научное общество одновременно. Это общество имело свой устав, в котором говорилось о соблюдении особого образа жизни.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Пифагор утверждал, чтобы понять Бога, человек должен познать такие науки как алгебра и геометрия, знать астрономию и понимать музыку. Исследовательская работа сводилась к познанию мистической стороны чисел и философии. Следует отметить, что проповедованные в то время Пифагором принципы, имеют смысл в подражании и в настоящее время.

Многие из открытий, которые делали ученики Пифагора, приписывались ему. Тем не менее, если говорить кратко, история создания теоремы Пифагора древними историками и биографами того времени, связывается непосредственно с именем этого философа, мыслителя и математика.

Учение Пифагора

Возможно, на мысль о связи теоремы с именем Пифагора натолкнуло историков высказывание великого грека, что в пресловутом треугольнике с его катетами и гипотенузой зашифрованы все явления нашей жизни. А этот треугольник является «ключом» к решению всех возникающих проблем. Великий философ говорил, что следует узреть треугольник, тогда можно считать, что задача на две трети решена.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

О своем учении Пифагор рассказывал только своим ученикам устно, не делая никаких записей, держа его в тайне. К великому сожалению, учение величайшего философа не сохранилось до наших дней.

Что-то из него просочилось, но нельзя сказать сколько истинного, а сколько ложного в том, что стало известно. Даже с историей теоремы Пифагора не все бесспорно.

Историки математики сомневаются в авторстве Пифагора, по их мнению теоремой пользовались за много веков до его рождения.

Теорема Пифагора

Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. В современной версии считается, что оно принадлежит не кому иному, как самому Евклиду.

Есть доказательства одного из крупнейших историков математики Морица Кантора, обнаружившего на папирусе, хранящемся в Берлинском музее, записанное египтянами примерно в 2300 году до н. э. равенство, которое гласило: 3² + 4² = 5².

Кратко из истории теоремы Пифагора

Формулировка теоремы из евклидовых «Начал», в переводе звучит также как и в современной интерпретации.

Нового в ее прочтении нет: квадрат стороны противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к прямому углу.

О том, что теоремой пользовались древние цивилизации Индии и Китая подтверждает трактат «Чжоу — би суань цзинь». Он содержит сведения об египетском треугольнике, в котором описано соотношение сторон как 3:4:5.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Не менее интересна еще одна китайская математическая книга «Чу-пей», в которой также упоминается о пифагоровом треугольнике с пояснением и рисунками, совпадающими с чертежами индусской геометрии Басхары.

О самом треугольнике в книге написано, что если прямой угол можно разложить на составные части, тогда линия, которая соединяет концы сторон, будет равна пяти, если основание равно трем, а высота равна четырем.

Индийский трактат «Сульва сутра», относящийся примерно к VII-V векам до н. э., рассказывает о построении прямого угла при помощи египетского треугольника.

Доказательство теоремы

В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище «ослы», потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Чтобы доказать теорему Пифагора самым легким путем, следует просто измерить его стороны, не используя в доказательстве понятие о площадях. Длина стороны, противолежащая прямому углу — это c, а прилежащие к нему a и b, в результате получаем уравнение: a2 + b2 = c2. Данное утверждение, как говорилось выше, проверяется путем измерения длин сторон прямоугольного треугольника.

Если начать доказательство теоремы с рассмотрения площади прямоугольников, построенных на сторонах треугольника, можно определить площадь всей фигуры. Она будет равна площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

  • (a + b)2 = 4 x ab/2 + c2;
  • a2 + 2ab + b2;
  • c2 = a2 + b2, что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

Практическое значение теоремы Пифагора заключается в том, что с ее помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их. При строительстве сооружений рассчитываются расстояния, размещение опор и балок, определяются центры тяжести. Применяется теорема Пифагора и во всех современных технологиях.

Читайте также:  Американский стиль управления персоналом - в помощь студенту

Не забыли о теореме и при создании кино в 3D-6D-измерениях, где кроме привычных нам 3-х величин: высоты, длины, ширины – учитываются время, запах и вкус.

Как связаны с теоремой вкусы и запахи – спросите вы? Все очень просто — при показе фильма нужно рассчитать, куда и какие запахи и вкусы направлять в зрительном зале.

То ли еще будет. Безграничный простор для открытия и создания новых технологий ждет пытливые умы.

Источник: https://www.syl.ru/article/370372/istoriya-teoremyi-pifagora-dokazatelstvo-teoremyi

Теорема Пифагора — урок. Геометрия, 8 класс

Известны очень многие доказательства теоремы разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.

1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a+b.  Площадь квадрата равна a+b2:

Теорема Пифагора - в помощь студенту

2. Если провести гипотенузы (c), очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.

Стороны четырёхугольника равны (c), а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.

Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами.

Теорема Пифагора - в помощь студенту

3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки (a) и (b), при этом длина стороны квадрата не меняется.

Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами (a) и (b), и двух площадей прямоугольников:

Теорема Пифагора - в помощь студенту

4. Из этого следуют выводы:

4⋅ab2=2ab и c2=a2+b2 — что и является одним из доказательств теоремы Пифагора.

Обрати внимание!

  • Если находим длину гипотенузы (c), то выполняем сложение квадратов длин катетов (a) и (b) и определяем квадратный корень:
  • c2=a2+b2;c=a2+b2.
  • Если находим длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:
  • a2=c2−b2;a=c2−b2.

Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Пример:

  1. является ли треугольник со сторонами (6) см, (7) см и (9) см прямоугольным?
  2. Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
  3. 92=62+72;81≠36+49 — значит, этот треугольник не прямоугольный.

  

  • Является ли треугольник со сторонами (5) см, (12) см и (13) см прямоугольным?
  • Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
  • 132=122+52;169=144+25 — значит, этот треугольник прямоугольный.

Чтобы не тратить много времени на решение, полезно запомнить наиболее часто используемые числа Пифагора:

катет, катет, гипотенуза

(3), (4), (5);

  1. (6), (8), (10);
  2. (12), (16), (20);
  3. (5), (12), (13).

  

Посмотри ещё одно своеобразное доказательство теоремы Пифагора:

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/ploshchadi-figur-9235/teorema-pifagora-9225/re-c8adcccc-87a7-47f4-ae00-4d42ac40b985

Применение теоремы Пифагора в повседневной жизни | Математика, Алгебра, Геометрия | Педагогический опыт / Всероссийский журнал авторских публикаций, конкурсы и конференции для учителей и воспитателей

Гасанова Елена Николаевна

Организация: МБОУ СОШ №35 им. Героя Советского Союза Д.Ф. Чеботарёва

  • Населенный пункт: Воронежская область, г. Воронеж
  • С помощью теоремы Пифагора, которая рассматривается в школьном курсе геометрии, можно решать не только задачи математические, но и задачи, связанные с повседневной жизнью.
  • Поэтому я бы хотела показать различные области применения теоремы Пифагора.
  • Формулировка теоремы Пифагора
  • Площадь квадрата гипотенузы равна сумме квадратов его катетов.
  • Изучение вавилонских клинописных табличек и древнекитайских рукописей (древних рукописных копий и того более) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.

Есть такое понятие, как «египетский треугольник». Его особенностью считается строгое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике 3:4:5. Это соотношение было известно египтянам около 2300 лет до н.э. 32+ 42=52. Одни предполагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие отказывают ему в этой заслуге.

  1. Применение в жизни
  2. Задачи в курсе физикисредней школы требуют знания теоремы Пифагора.
  3. Задача из курса физики за 9 класс:

Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.

Сотовая телефонная связь.

Все понимают, что сейчас мобильный телефон очень важный атрибут жизни современного человека. Каждому абоненту важна качественная сотовая связь. А качество зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, задействуем теорему Пифагора.

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

  • Решение:
  • Пусть AB = x, BC=R= 200 км, OC= r =6380 км.
  • OB=OA; AB+OB = r + x.
  • С помощью теоремы Пифагора получим2,3 км.
  • Как определить длину лестничного косоура?
  • Нужно знать отметки высот лестничных площадок и их расстояние друг от друга, тогда можно найти длину косоура (гипотенузу).

Например, отметки высот лестничных площадок +1,200 и +3,700, а расстояние между ними 3 м. Тогда по теореме Пифагора получим, что 2,52+32=(3,905)2 м.

Как рассчитать длину лестницы при пожаре?

Нужно определить на каком расстоянии будет опираться лестница от возгорания и на какой высоте произошло возгорание. После, применяя теорему Пифагора, необходимо вычислить длину лестницы (гипотенуза).

Например, возгорание произошло на втором этаже, будем считать, что на высоте 7 м, лестницу отстоит от здания на 2,5 м, значит необходимая длина лестницы равняется 7,44 м.

Заключение

Теорема Пифагора нашла применение во многих аспектах нашей жизни. Сейчас невозможно представить как без неё можно обойтись.

  1. Изучение информации о теореме Пифагора показало, что:
  2. а) теорема очень важная и проста для понимания;
  3. б) теорема Пифагора – является уникальной теоремой и занесена в книгу рекордов Гиннесса;
  4. в) область применения теоремы огромна и очень тяжело раскрыть ее в полной мере;
  5. г) загадки теоремы Пифагора продолжают удивлять людей и поэтому у всех есть возможность их раскрыть.
  6. Список используемой литературы:

1. «Успехи математических наук», 1962, т. 17, № 6 (108)

2. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред.шк./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992

Источник: https://www.pedopyt.ru/categories/11/articles/1244

1 Теорема Пифагора. 3 Содержание 1. Страницы из жизни Пифагора 2. Теорема Пифагора (Формулировка 1) 3. Некоторые способы ее доказательства 4. Теорема. — презентация

1 1 Теорема Пифагора

2 2

3 3 Содержание 1. Страницы из жизни Пифагора 2. Теорема Пифагора (Формулировка 1) 3. Некоторые способы ее доказательства 4. Теорема Пифагора (Формулировка 2) 5. Задачи 6. Обратная теореме Пифагора 7. История теоремы 8. Применение теоремы 9. В заключении …

4 4 Страницы из жизни Пифагора Пифагор (ок. 569 – ок. 475 до н.э.) Родился на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18–20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса (Греческий купец, живший в Милете, греческом полисе.

В своих путешествиях по торговым делам посетил Египет, где и познакомился с математикой. Фалес считается вообще первым ученым.

Он пытался объяснить мироустройство, дать разумные, логические объяснения явлений, а в математике выдвинул требование доказательства высказанных положений), который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем были Вавилон, Индия…

По возвращении на Самос Пифагор основал свою школу, но затем покинул остров. В южноиталийском г. Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно и научной школой, и политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался, чуть ли не божеством…

В школе Пифагора рассматривались четыре mathema (науки): арифметика, музыка (гармония), геометрия и астрономия с астрологией. Пифагорейцы считали, что в основе всего лежат числа и гармония, ими поддерживаемая, но что все в математике нужно доказывать.

Изучению математики придавался мистический характер, что не помешало найти доказательство теоремы Пифагора, а из нее получить (доказать!) иррациональность корня из двух! Это были великие математические открытия… Политическая деятельность пифагорейцев, в конце концов, привела к краху – после 30-летнего существования союза Пифагору с учениками пришлось уехать в г. Тарент, а потом в г. Месапонт. Здесь почти 95-летний Пифагор и погиб в одной из ночных стычек. Так закончилась легендарная жизнь первого математика!..

  • 5 5 Теорема Пифагора (Формулировка 1) Теорема Пифагора (Формулировка 1) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  • 6 6 Доказательство из учебника Атанасяна Дано: прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с Док-ть: Док-во: достроим треугольник до квадрата со стороной a+b S= = S= = = =>
  • 7 7 Доказательство с помощью подобия треугольников СН – высота из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу. a' и b' проекции катетов a и b на гипотенузу => a' = a cos B, a = c cos B, b' = b cos A, b = c cos A => =>=>
  • 8 8 Доказательство с помощью векторов

9 9 Теорема Пифагора (Формулировка 2) Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

10 10

11 11 Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами. Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами.

12 12 Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника. Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника.

13 13

14 14 На сторонах прямоугольного треугольника построены полуокружности. Площади образовавшихся луночек равны 9 и 4. Найдите площадь треугольника. Задача 1

15 15 Решение задачи Дано:,.Найти:Решение:Ответ:

16 16 Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? Задача 2

17 17 Решение Дано: АВС – прямоугольный треугольник; АС+АВ=10 чи; ВС=3 чи. АС+АВ=10 чи; ВС=3 чи. Найти: АС=? Решение: (по Т. Пифагора)=> пусть АС=х чи, тогда АВ=10-х (АВ=10-АС), ВС=3 чи. (чи) (чи) Ответ: Высота бамбука после Ответ: Высота бамбука после сгибания равна 4,55 чи. сгибания равна 4,55 чи.

  1. 18 18 Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
  2. 19 19 Доказательство Дано: треугольник ABC; Дано: треугольник ABC; Док-ть: Док-ть: Док-во: Р/м — прямоугольный Док-во: Р/м — прямоугольный =>
  3. 20 20 Прямоугольные треугольники, длины сторон которых – целые числа, называются Пифагоровыми Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется Египетским тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению — Пифагоровыми

21 21 Из истории теоремы О треугольнике со сторонами 3, 4, 5 ( )– говорится в папирусе (2000 г. до н. э.). Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обнаружили и на вавилонских клинописных табличках, и в древнекитайских и древнеиндийских трактатах.

22 22 Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Посмотри!

  • 23 23 Расстояние между двумя точками на плоскости
  • 24 24 Теорема Пифагора в пространстве Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.
  • 25 25 Расстояние между двумя точками в пространстве
  • 26 26

27 27 Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в ее далекий век.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/246885/

Ссылка на основную публикацию