Простые и составные числа, разложение на множители — в помощь студенту

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Число как объект изучения (Теория чисел)»

  • Определения:
  • Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.
  • Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
  • Разложить натуральное число на множители – значит представить его в виде произведения натуральных чисел.
  • Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.
  • Замечания:
  • В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой – самому этому числу.
  • Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
  • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.
Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Разложим число 150 на множители. Например, 150 – это 15 умножить на 10. 15 – это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 – это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.
Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 – это произведение чисел 5 и 30. 5 – число простое. 30 – это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 – число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.
Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания. Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Наименьшее простое число, на которое делится 216 – это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108.
Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54.
Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27.
Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число – это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, – это 3. Три – само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.
Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту
  • Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
  • Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту 4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.
  1. 1.                 
  2. 2.                 
  3. .
11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11. 11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.
Результат деления a на b – это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

Список литературы

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Общественное устройство - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Matematika-na.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
  2. Другие задания: № 133, № 144.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/delimost-chisel/razlozhenie-chisla-na-mnozhiteli?konspekt

Разложение на простые множители

Вы уже знаете, что в зависимости от того, сколько делителей имеет число, натуральные числа делятся на простые и составные. Не забудем про единицу, которая не является ни простым, ни составным числом.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Кроме того, любое составное число можно разложить на 2 множителя, каждый из которых больше одного.

Например

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Таким образом, исходное число 60 представлено в виде произведения чисел 2, 3, 2 и 5.

Обратите внимание, что все эти числа простые. Говорят, число 60 разложили на простые множители.

При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей иногда представляют в виде степени.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

  • Обратите внимание, получилось то же разложение, содержащие те же самые простые множители, просто в другом порядке.
  • Таким образом, любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
  • Это утверждение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.
  • Другими словами, при любом способе разложения натурального числа на простые множители получается одно и то же произведение, если не учитывать порядка записи множителей.
  • Например
  • Разложим на простые множители число 390.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

  1. Таким образом, для разложения натурального числа на простые множители можно сначала разложить число в виде произведения множителей, а затем каждый составной множитель из них разложить на простые множители.
  2. Существует и другой способ разложения натурального числа на простые множители.
  3. Нужно записать число, которое необходимо представить в виде произведения простых чисел.
  4. Например,

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

  • Разложение на множители закончено.
  • В этой теме есть ещё несколько важных правил.
  • Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения на простые множители.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Число делится лишь на те составные числа, разложения которых на простые множители полностью в нем содержится.

Например,

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Задача

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа – простые делители числа 1950.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

  1. Кроме того, можно удобным способом находить произведение чисел с помощью разложения их на простые множители.
  2. Задание
  3. Найти произведение чисел 28 и 75.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

  • Итоги
  • Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.
  • Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел, если не учитывать порядка записи множителей.

Источник: https://videouroki.net/video/5-razlozhieniie-na-prostyie-mnozhitieli.html

Разложение числа на простые множители

  • Как разложить число на простые множители

Простой множитель – это множитель, который представляет собой простое число.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

  • Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:
  • 4 = 2 · 2
  • 6 = 2 · 3
  • 8 = 2 · 2 · 2
  • Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Разложение на простые множители – это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители – значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно – в виде степени.

Пример.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

  1. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
  2. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
  3. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом.
  4. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
  5. Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.

Пример. Разложите число 102 на простые множители.

Решение:

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:

  1. 102 : 2 = 51.
  2. Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 – первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:
  3. 102 = 2 · 51

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:

51 : 3 = 17

Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 – второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:

  • 17 : 17 = 1
  • Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:
  • 102 = 2 · 3 · 17
  • Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.
Читайте также:  Критская морская держава - в помощь студенту

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел.

Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённых вертикальной чертой).

Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число 120.

Решение:

Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

  1. В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:
  2. 120 = 23 · 3 · 5.
  3. Ответ: 120 = 23 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Новое на сайте | contact@izamorfix.ru
2018 − 2020 © izamorfix.ru

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/razlozh_na_mnozh.html

Разложение на простые множители

Разложение на простые множители редко требуется для нахождения окончательного результата задач 6 класса. Но очень часто приходится использовать разложение на простые множители для того, чтобы решать примеры и задачи, связанные с дробями. Поэтому разберемся подробнее в том, как правильно раскладывать числа на простые множители.
Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту

Для начала разберемся в том, что же такое простое число. Итак, простым числом называют число, которое делиться только на 1 и на себя. Например, число 2 простое, так как его можно разделить только на 1 и на 2, то есть на само число.

Сложные же числа еще называют составными, потому что сложное число состоит из нескольких чисел перемноженных между собой.

Речь идет именно о делении чисел нацело. С дробным или целым остатком можно делить практически любые числа.

Разложение на простые множители проще и быстрее производить с помощью вертикальной черты. Для этого способа разложения чисел на простые множители слева от черты записывают изначальное число. Напротив него пишут простой множитель. Число делят на этот множитель, получают новое число и процесс продолжается до тех пор, пока не получится единица.

Приведем пример разложения числа на простые множители. Для этого в виде простых чисел представим число 3456.

  • Для начала нужно определить, является ли число четным. Ведь если число четное, то оно делиться на 2, а 2 это наименьший простой множитель. Число 3456 является четным, значит делиться на 2.

3456:2=1728

  • Получилось такое же четное число. Еще раз поделим его на 2 и будем делить до тех пор, пока не получится нечетное число.
  • 1728:2=864
  • 864:2=432
  • 432:2=216
  • 216:2=108
  • 108:2=52
  • 52:2=26
  • 26:2=13
  • В результате деления мы получили число 13. Существует таблица простых чисел, по которой можно проверить число 13 и узнать, что оно простое. Если бы первое полученное число не являлось четным, то следовало бы продолжить деление, но на другие простые числа. Нужно было бы проверить числа 3,5,7,11 и так далее, пока не удалось бы найти простое число, на которое разделился бы результат.

Так же стоит поступать, если изначально число не было четным. Результат разложения будет выглядеть так:

3456=2*2*2*2*2*2*2*2*13 – собираем все простые множители тщательно. Для проверки следует перемножить все числа заново и убедиться, что ни один простой множитель не был потерян в процессе сборки результата.

Чтобы не искать числа перебором, можно использовать признаки делимости чисел.

Таблицу простых чисел до 100 лучше знать наизусть. Для более крупных вычислений существуют таблицы простых чисел до 1000.

Это нужно в первую очередь для нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. НОД и НОК используются в примерах на вычисление дробных выражений.

Числа 0 и 1 не относятся ни к простым, ни к сложным. А потому эти числа разложить на простые множители нельзя. А вот само простое число разложить на множители можно, хоть и условно. Так число 13=13*1

Мы поговорили о разложении числа на простые множители. Привели алгоритм разложения. Рассказали, какие числа не относятся ни к простым, ни к сложным, сказали, что их раскладывать нельзя. Привели пример разложения числа на простые множители.

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 117.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/razlozhenie-na-prostye-mnozhiteli-sposoby-6-klass.html

Простые и составные числа

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

  • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

 Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10.

Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя.

То есть мы разложили число 210 на простые множители. 

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

  • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

  • 378|2189|3  63|3  21|3    7|7
  •     1|
  • Следовательно,  число 378=2*2*3*3*3*7.

Нужна помощь в учебе?

Простые и составные числа, разложение на множители - в помощь студенту Предыдущая тема: Признаки делимости на 3 и на 9: рассмотрим на примере и выведем правило
Следующая тема:   Наибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схема

Источник: http://www.nado5.ru/e-book/prostye-i-sostavnye-chisla-razlozhenie-chisel-na-prostye-mnozhiteli

Конспект урока «Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители»

  • МОУ ООШ п. Шарова Белинского района
  • Конспект урока в 6 классе
  • «Простые и составные числа.
  • Разложение числа на простые множители»
  • Учитель математики

Роганова М.М.

2014

Тема. Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители.

Тип урока. Комбинированный урок.

  1. Оборудование: таблица (три группы натуральных чисел), карточки для самостоятельной работы (тест), карточки для устной работы, сигнальные карточки (зеленые и красные), компьютер, мультимедийный проектор, мультимедийная презентация, магнитная доска.
  2. Цели урока:
  3. образовательные: закрепить понятие простого и составного числа, познакомить с таблицей простых чисел, научить применять полученные знания при разложении чисел на простые множители;
  4. развивающие: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умении анализировать и сравнивать;
  5. воспитательные: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.
  6. Ход урока.
  7. Сообщение об отсутствующих.
  1. Постановка темы и целей урока.

Учитель: С какими числами вы познакомились на прошлом уроке? Сегодня на уроке вы продолжите знакомство с простыми и составными числами, научитесь раскладывать составные числа на простые множители, применяя признаки делимости. Тема сегодняшнего урока: «Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители» (слайд 1).

  1. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся.

Учитель:

  1. Какие числа называют простыми? Приведите пример (слайд 2).

  2. Какие числа называют составными? Приведите пример (слайд 3).

  3. На какие три группы можно разбить все числа?

(На доске таблица трех групп натуральных чисел)

Единица Простые числа Составные числа
Один делитель Два делителя Три или более делителей
1 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
  1. Какие признаки делимости вы знаете?

  2. Назовите признаки делимости на 2, на 3, на 5.

Учитель: Сейчас давайте поработаем устно.

На доске записаны дроби. Их нужно сократить, используя признаки делимости (если возможно). Ответ найти на карточке и прикрепить ее на соответствующее место. Выполнив верно все задания, вы получите имя древнегреческого ученого. А чем он знаменит, вы сегодня узнаете.

Ответы:

Э Р А Т О С Ф Е Н

И еще две карточки с дробями, не являющимися ответами ; .

Эратосфен — древнегреческий ученый, про него вы можете прочитать в нашей рубрике «Хочу все знать». А об одном из его открытий расскажут мои помощники (слайд 4).

  1. Объяснение нового материала.

Исторический материал (рассказывают учащиеся)

Первый ученик.

Деление является самым сложным арифме­тическим действием даже в десятичной системе. Наверное, по­этому математики стали изучать свойства делимости чисел.

Особый интерес у них вызывали простые числа, которые в лю­бой системе счисления делятся только на единицу и на себя. На форзаце учебника есть таблица простых чисел, в которой указаны все простые числа, меньшие 1000 (слайд 5).

Самое большое простое число в этой таблице равно 997. Следующее за ним простое число равно 1003, затем идет простое число 1009 и т. д.

Поиск простых чисел никогда не закончится, потому что не существует самого большого простого числа. Бесконечность множества простых чисел еще в VII в. до н. э. доказал знаменитый древнегреческий математик Евклид.

Второй ученик.

Способ выделения простых чисел из множества натуральных чисел изобрел друг Архимеда Эратосфен. Эратосфен предложил записать подряд натуральные числа, а затем вычеркивать числа через одно, начиная от числа 2, затем через два, начиная от чис­ла 3, затем через четыре, начиная от числа 5, и т. д. В результате должны остаться только простые числа (слайд 6, 7).

Записи Эратосфен делал на листе папируса, натянутом на де­ревянную рамку, а числа не вычеркивал, а выкалывал. Папирус приобретал после этого вид решета. Поэтому такой способ полу­чения простых чисел называют решетом Эратосфена.

Некоторые числа в таблице простых чисел выделены цветом. Эти простые числа являются соседними не­четными натуральными числами. Математики назвали их чис­лами-близнецами (слайд 8).

Учитель: Откройте в учебнике № 266. Это задание нам поможет выполнить таблица простых чисел.

№ 266 (1, 2)

  1. С помощью таблицы простых чисел определите, какие из чисел 607, 504, 549, 349, 383, 547, 991, 569 являются простыми, а какие составными.

Ответ. Простые: 607, 349, 383, 547, 991, 569. Составные: 504, 549.

  1. Какую цифру можно приписать справа к числу 43, чтобы полученное трехзначное число оказалось простым?

Ответ. Цифру 1; 3; 9 (431, 433, 439).

№ 267

Докажите, что числа 67925, 67064, 46521 являются составными.

Ответ. По признакам делимости.

Учитель: В 5 классе мы сравнивали дроби с разными знаменателями, выполняли различные действия с такими дробями, приводя их к общему знаменателю. При этом нужно было находить делители составных чисел.

В поисках делителей составных чисел помогают простые числа.

Сначала стараются найти простые делители числа. А как это сделать? Начинают обычно с меньших простых чисел, используя признаки делимости.

  • Найдем простые делители числа 70524.
  • Ч
  • 70524 2
  • 35262 2
  • 17631 3
  • 5877 3
  • 1959 3
  • 653 3

исла слева от черты получаются от деления на простые числа, записанные от черты справа (слайд 9)

Первые пять простых делителей находим по признакам делимости на 2 и на 3. А 653 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. прежде, чем приступать к поиску других простых делителей, обратимся к таблице простых чисел первой тысячи.

653 есть в таблице, значит, оно простое. Теперь можно представить число 70524 в виде произведения простых множителей – разложить на простые множители.

  1. 70524 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 653 или, заменив произведения одинаковых простых множителей их степенями, получим:
  2. 70524 = 22 ∙ 33 ∙ 653.
  3. Разложим на множители число 216 (выполняет учитель) и число 168 (выполняет ученик)
Читайте также:  Классификация затрат для принятия решений - в помощь студенту

На простые множители можно разложить любое составное число и у каждого числа будет свое, единственное разложение на простые множители. Это утверждение о единственности разложения на простые множители называют основной теоремой арифметики.

V. Закрепление изученного

№ 268

  1. Укажите, в каком равенстве записано разложение числа на простые множители:

а) 1197 = 32 ∙ 7 ∙ 19; в) 19125 = 53 ∙ 9 ∙ 15;

б) 560 = 23 ∙ 7 ∙ 10; г) 9744 = 24 ∙ 21 ∙ 29.

Ответ. а) 1197 = 32 ∙ 7 ∙ 19.

  • Тест
  • Вариант 1.
  • Закончи предложение
  1. Число 4350 делится на ___________________(1,2,3,4,5,9,10,25,100).

  2. Число 12 имеет _____ (2,4,6,8) делителей.

  3. Число 757 (простое, составное) _____________ число.

  4. Число 237 (простое, составное) _____________ число.

  5. НОД (11; 13) =

  6. Соедините линией число и его разложение на простые множители

  1. 180 2 ∙ 3 ∙ 5
  2. 60 22 ∙ 32 ∙ 5
  3. 30 22 ∙ 3∙ 5
  4. Вариант 2.
  5. Закончи предложение
  1. Число 1650 делится на ___________________(1,2,3,4,5,9,10,25,100).

  2. Число 14 имеет _____ (2,4,6,8) делителей.

  3. Число 327 (простое, составное) _____________ число.

  4. Число 631 (простое, составное) _____________ число.

  5. НОД (17; 19) =

  6. Соедините линией число и его разложение на простые множители

  • 120 22 ∙ 3 ∙ 5
  • 90 23 ∙ 3 ∙ 5
  • 60 2 ∙ 32 ∙ 5

Учитель: А сейчас поменяйтесь своими работами и проверьте каждое задание, сверяя ответы с правильными ответами на экране (слайд 11). Около каждого правильного ответа поставьте «+». После проверки сдайте работы.

Учитель:

  1. Что нового вы узнали на уроке? (таблица простых чисел, решето Эратосфена, числа-близнецы).

  2. Что научились делать? (раскладывать составные числа на простые множители).

Выставление оценок.

  1. Постановка домашнего задания.

Домашнее задание: с. 77 (разложение числа), № 269 – 1(б), 2(в,г), № 273 (1-3) (слайд 12).

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/konspiekt-uroka-prostyie-i-sostavnyie-chisla-razlozhieniie-chisla-na-prostyie-mnozhitieli

Разложение чисел на простые множители

Практика последних лет показывает, что при сдаче Единого государственного экзамена по математике многие выпускники столкнулись с трудностями в решении уравнений, связанных с разложением натуральных чисел на простые множители.

При подготовке к итоговому тестированию, чтобы справиться с подобными заданиями, им следует уделить особое внимание.

На портале «Школково» вы сможете подтянуть знания в решении примеров с разложением на множители различного уровня сложности.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для качественной подготовки к аттестационному тестированию по математике!

Без проблем выполнять разложение чисел на простые множители в больших составных уравнениях поможет наш образовательный портал. На сайте представлено все необходимое для изучения различных тематик.

Наши преподаватели собрали, систематизировали и предоставили информацию в самой простой и понятной форме, поэтому у школьников не возникнет трудностей в повторении и усвоении материала.

Они смогут выполнять не только базовые упражнения, но и задачи повышенной сложности.

На нашем сайте вы найдете правила, формулы и примеры решения задач на разложение произведения простых чисел на множители. В разделе «Теоретическая справка» ученики могут повторить пройденные ранее материалы и освежить знания. Блок «Каталоги» позволяет потренироваться в решении задач.

Советуем начать с простых примеров и постепенно поднимать уровень. Таким образом вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить больше внимания конкретным типам задач с особым алгоритмом выполнения.

Если у вас не возникло трудностей после решения нескольких легких уравнений, смело переходите к упражнениям среднего уровня.

Задания, которые требуют разъяснений преподавателя, можно добавить в «Избранное», так вы легко найдете вызвавший затруднения пример позже.

База знаний на портале «Школково» постоянно обновляется и дополняется новыми примерами. Благодаря этому у выпускников всегда большой выбор задач различного уровня сложности. А чтобы занятия были максимально эффективными, рекомендуем обращаться к нашему онлайн-сервису каждый день.

Начните подготовку к итоговому тестированию по математике уже сегодня вместе со «Школково», и результат не заставит себя ждать! Уже совсем скоро вы будете легко справляться с теми заданиями на разложение чисел на множители, которые казались вам очень сложными!

Обращаем ваше внимание, что упражнения на нашем портале доступны любому желающему подтянуть свои знания по обязательным предметам. Чтобы начать подготовку к ЕГЭ, зарегистрируйтесь на сайте, так вы сохраните личные результаты и сможете проследить за прогрессом.

Источник: https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_na_teoriyu_chisel/razlozhenie_na_prostye_somnozhiteli

Разложение чисел на простые множители

Онлайн-калькулятор «Разложение числа на простые множители» позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку «Вычислить».

Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение.

С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.

Все натуральные числа можно разделить на две группы чисел: простые и составные.

Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.

Составное число – это число, которые имеют более двух делителей. Любое составное число может быть представлено в виде произведенения простых чисел, например: 84 = 2 · 2 ·3 ·7.

Таблица простых чисел до 1000

2 3 5 7 11 13
17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251
257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317
331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557
563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787
797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953
967 971 977 983 991 997

Источник: https://calc.by/math-calculators/prime-factors.html

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3.

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pnпринимает вид a=p1, p2, …, pn. Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p1s1·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах.

Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn.

При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z.

При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.

  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

  • нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже;
  • нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2, причем производим переход к следующему шагу;
  • перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2 по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу;
  • производится нахождение простого делителя pn числа an-1 при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 78:2=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 39:2=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем.

При выборе числа 3 получаем, что 39:3=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1:p2=39:3=13. Получим равенство вида a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13.

Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 13:3=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост.

6) и 13:11=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма.

Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3).

Ответ: 78=2·3·13.

Пример 3

  • Разложить число 83 006 на простые множители.
  • Решение
  • Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=a:p1=83 006:2=41 503, где 83 006=2·41 503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 503:7=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41 503:7=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929.

Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Для числа a5=11 число p6=11 является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5:p6=11:11=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11.

Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112.

Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112.

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1:p1=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/razlozhenie-chisel-na-prostye-mnozhiteli/

Ссылка на основную публикацию