Применение диаграмм эйлера-венна при решении логических задач — в помощь студенту

Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите эту статью.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Теперь разберем типовые задачи о множествах.

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: «Какие иностранные языки вы изучаете?». Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 — французский, 28 — немецкий.

8 школьников изучают английский и немецкий, 8 — английский и французский, 13 — французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий.

  Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

  • Ответ: 3.
  • Решение:
  • Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
  • множество школьников, изучающих английский («А»);
  • множество школьников изучающих французский («Ф»);
  • множество школьников изучающих немецкий («Н»).

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Энергонезависимая память cmos - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Изобразим то, что нам надо найти:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как «х» (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

  1. 0) Область А=0, Ф=0, Н=0: 24 школьника — дано по условию задачи.
  2. 1) Область А=0, Ф=0, Н=1: 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.
  3. 2) Область А=0, Ф=1, Н=0: 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.
  4. 3) Область А=0, Ф=1, Н=1: 13-х школьников.
  5. 4) Область А=1, Ф=0, Н=0: 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.
  6. 5) Область А=1, Ф=0, Н=1: 8-х школьников.
  7. 6) Область А=1, Ф=1, Н=0: 8-х школьников.
  8. Запишем значения областей в таблицу:
№областиА Ф Н Количествошкольников
24
1 1 7+х
2 1 5+х
3 1 1 13-х
4 1 32+х
5 1 1 8-х
6 1 1 8-х
7 1 1 1 х

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  • Определим х:
  • 24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.
  • х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
  • Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.
  • Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников.

Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии — 700, по тригонометрии — 600.  600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 — по алгебре и тригонометрии, 400 — по геометрии и тригонометрии.

300  человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

  1. Ответ: 100.
  2. Решение:
  3. Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
  • множество задач по алгебре («А»);
  • множество задач по геометрии («Г»);
  • множество задач по тригонометрии («Т»).

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Изобразим то, что нам надо найти:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  • Определим количество школьников для всех возможных областей.
  • Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как «х» (в таблице ниже область №0).
  • Найдем остальные области:
  • 1) Область А=0, Г=0, Т=1: школьников нет.
  • 2) Область А=0, Г=1, Т=0: школьников нет.
  • 3) Область А=0, Г=1, Т=1: 100 школьников.
  • 4) Область А=1, Г=0, Т=0: школьников нет.
  • 5) Область А=1, Г=0, Т=1: 200 школьников.
  • 6) Область А=1, Г=1, Т=0: 300 школьников.
  • 7) Область А=1, Г=1, Т=1: 300 школьников.
  • Запишем значения областей в таблицу:
№областиА Г Т Количествошкольников
х
1 1
2 1
3 1 1 100
4 1
5 1 1 200
6 1 1 300
7 1 1 1 300

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  1. Определим х:
  2. х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.
  3. U=1000.
  4. A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.
  5. x=1000-900=100. 
  6. Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.
  7. Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике.

Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике — 350, по оптике — 300.

  300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 — по кинематике и оптике, 150 — по термодинамике и оптике. 100  человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

  • Ответ: 350.
  • Решение:
  • Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
  • множество задач по кинематике («К»);
  • множество задач по термодинамике («Т»);
  • множество задач по оптике («О»).

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Изобразим то, что нам надо найти:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  1. Определим количество школьников для всех возможных областей:
  2. 0) Область К=0, Т=0, О=0: не определено.
  3. 1) Область К=0,Т=0, О=1: 50 школьников.
  4. 2) Область К=0, Т=1, О=0: школьников нет.
  5. 3) Область К=0, Т=1, О=1: 50 школьников.
  6. 4) Область К=1, Т=0, О=0: школьников нет.
  7. 5) Область К=1, Т=0, О=1: 100 школьников.
  8. 6) Область К=1, Т=1, О=0: 200 школьников.
  9. 7) Область К=1, Т=1, О=1: 100 школьников.
  10. Запишем значения областей в таблицу:
№областиК Т О Количествошкольников
1 1 50
2 1
3 1 1 50
4 1
5 1 1 100
6 1 1 200
7 1 1 1 100

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  • Определим х.
  • х=200+100+50=350.
  • Получили, 350 школьников решило две задачи.
  • Задача 4.

Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: «Какое домашнее животное у Вас есть?». По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 — собака, у 50 — птичка.

У 60 человек есть кошка и собака, у 20 — кошка и птичка, у 30 — собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка.

Сколько прохожих приняли участие в опросе?

  1. Ответ: 300.
  2. Решение:
  3. Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
  • множество людей, у которых есть кошка («К»);
  • множество людей, у которых есть собака («С»);
  • множество людей, у которых есть птичка («П»).
  • Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
  • Изобразим то, что нам надо найти:
  • Определим количество человек для всех возможных областей:
  • 0) Область К=0, С=0, П=0: 70 человек.
  • 1) Область К=0, С=0, П=1: 10 человек.
  • 2) Область К=0, С=1, П=0: 50 человек.
  • 3) Область К=0, С=1, П=1: 20 человек.
  • 4) Область К=1, С=0, П=0: 80 человек.
  • 5) Область К=1, Т=0, О=1: 10 человек.
  • 6) Область К=1, Т=1, О=0: 50 человек.
  • 7) Область К=1, Т=1, О=1: 10 человек.
  • Запишем значения областей в таблицу:
№областиК C П Количествочеловек
70
1 1 10
2 1 50
3 1 1 20
4 1 80
5 1 1 10
6 1 1 50
7 1 1 1 10
  1. Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
  2. Определим х:
  3. х=U (универсум)
  4. U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
  5. Получили, что 300 человек приняли участие в опросе.
  6. Задача 5.

На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику — 40.

30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 — математику и русский язык, 25 — информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек — провалили.

Сколько абитуриентов сдали русский язык?

  • Ответ: 35.
  • Решение:
  • Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
  • множество абитуриентов, сдавших математику («М»);
  • множество абитуриентов, сдавших информатику («И»);
  • множество абитуриентов, сдавших русский язык («Р»);
  1. Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
  2. Изобразим то, что нам надо найти:
  3. Определим количество абитуриентов для всех возможных областей.
  4. Обозначим искомую область как «х».
  5. 0) Область М=0, И=0, Р=0: 50 абитуриентов.
  6. 1) Область М=0, И=0, Р=1: х-35 абитуриентов.
  7. 2) Область М=0, И=1, Р=0: 5 абитуриентов.
  8. 3) Область М=0, И=1, Р=1: 20 абитуриентов.
  9. 4) Область М=1, И=0, Р=0: 80 абитуриентов.
  10. 5) Область М=1, И=0, Р=1: 10 абитуриентов.
  11. 6) Область М=1, И=1, Р=0: 50 абитуриентов.
  12. 7) Область М=1, И=1, Р=1: 10 абитуриентов.
  13. Запишем значения областей в таблицу:
№областиМ И Р Количествоабитуриентов
50
1 1 х-35
2 1 5
3 1 1 5
4 1 20
5 1 1 10
6 1 1 10
7 1 1 1 20
  • Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
  • Определим х:
  • х=120-50-(20+10+5)=35.
  • Получили, что 35 абитуриентов сдали русский язык.
  • Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:
  • Перейти к разбору задач на множества из демо ЕГЭ (определение количества страниц по запросу поискового сервера):
  • В12-2012
  • В9-2011
  • В10-2010
  • В10-2009

Перейти к другим задачам демо ЕГЭ.

Источник: http://infoegehelp.ru/index.php%3Foption%3Dcom_content%26view%3Darticle%26id%3D241

Круги Эйлера: описание, примеры, для дошкольников, для школьников

Круги Эйлера, на самом деле, достаточно часто встречаются в нашей жизни. Еще в младшей школе ученики начинают работать со схематическими фигурами, которые наглядно объясняют соотношения предметов и понятий.

Описание схемы кругов Эйлера

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Круги Эйлера – геометрические конструкции, применяемые для упрощения восприятия логических связей между предметами, понятиями и явлениями.

Делятся на группы, в зависимости от типа отношений между множествами:

  • равнозначные (рис.1);
  • пересекающиеся (рис.2);
  • подчиненные (рис.3);
  • соподчиненные (рис.4);
  • противоречащие (рис.5);
  • противоположные (рис.6).

Типовой пример такой диаграммы:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Наибольшее множество, отмеченное зеленым цветом, представляет собой все варианты игрушек.

Одним из вариантов игрушек являются конструкторы. Они выделены голубым овалом. Конструкторы являются отдельным множеством, и, одновременно, частью множества «Игрушки».

Заводные игрушки также являются частью множества «Игрушки», но не относятся к множеству «Конструкторы». Поэтому, они выделяются фиолетовым овалом.  А вот множество «Заводных автомобилей» является самостоятельным, но при этом, является подмножеством «Заводных игрушек».

При помощи этого метода ученый решал сложнейшие математические задачи. Применение простых фигур позволяло свести решение любой, даже самой сложной задачи, к символической логике – максимальному упрощению рассуждений.

Позже, данный способ был доработан англичанином Джоном Венном, который ввел понятие пересечения нескольких множеств.

Методика очень проста в использовании — круги Эйлера для дошкольников от 4-5 лет начинают преподавать уже в детском саду. При этом, она же на столько удобна, что применяется даже в высшей академической среде.

Читайте также:  Кислотность и основность в воде - в помощь студенту

Применение кругов Эйлера

Основная цель использования диаграмм – практическое решение задач по объединению или пересечению множеств.

Области применения: математика, логика, менеджмент, статистика, информатика и др. На самом деле, их значительно больше, но перечислить все попросту невозможно.

Диаграммы делятся на два вида.

Первый описывает объединение понятий, вложенность одного в другое. Пример приведен в статье выше.

Второй описывает пересечения двух разных множеств некоторыми общими признаками. Один из примеров

Примеры задач и решения

Рассмотрим задачи, в которых помогают разбираться круги Эйлера, примеры решения задач по логике и математике.

Задачи для дошкольников

Первые в очереди: круги Эйлера для дошкольников, задания с ответами на которые помогут понять, как малыши впервые знакомятся с методикой упрощения сложных математических и логических задач.

Задание №1 – начальный уровень

Цель: научить ребенка определять предмет, наиболее соответствующий одновременно двум свойствам.

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Правильный ответ: кубик Рубика.

Задание №2

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Правильный ответ: лягушка.

Задание №3

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Правильный ответ: груша.

Задание №4 – средний уровень

Задания усложняются тем, что используется больше множеств.

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Правильный ответ: Солнце.

Задание №5

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Правильный ответ: платье.

Задание №6

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Правильный ответ: полезные.

Задания для школьников

Следующие задачи по логике с ответами, круги Эйлера в которых являются основой для решения, касаются младших школьников. Подобные задания обучают детей разбирать логические пересечения по определенным признакам.

Задание №1

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

35 учеников зарегистрированы в школьной или городской библиотеках. Из них 25 регулярно посещают школьную библиотеку, а 20 – городскую.

Сколько учеников:

  • Посещают обе библиотеки?
  • Не посещают городскую библиотеку?
  • Не посещают школьную библиотеку?
  • Ходят только в городскую библиотеку?
  • Ходят только в школьную библиотеку?

Ответ:

  • Определим количество посетителей двух библиотек – общая часть на диаграмме:

(25 + 20) – 35 = 10.

  • Ученики, не посещающие городскую библиотеку:

35 – 20 = 15 – левая сектор голубой зоны.

  • Ученики, не посещающие школьную библиотеку:

35 – 25 = 10 – правый сектор фиолетовой.

  • Посетители только городской библиотеки:

35 – 25 = 10 – также, правый сектор фиолетовой.

  • Посетители только школьной библиотеки:

35 – 20 = 15 – также, левый сектор голубой.

Задание №2 – также предназначено для младших классов, но является более сложным

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

В 7-А учится 38 человек. Ученики увлекаются разными спортивными играми: 16 – баскетболом, 17 – хоккеем, 18 – футболом. Одновременно баскетбол и хоккей любят 4 человека, баскетбол и футбол – 3, хоккей и футбол – 5, а 3 ученика не интересуются спортом.

Вопрос:

  1. Есть ли ученики, увлекающиеся всеми спортивными играми?
  2. Какое количество школьников интересуется только одной из спортивных игр?

Ответ:

Все ученики класса – наибольшая окружность.

Круг «Б» — баскетболисты, «Х» — хоккеисты, «Ф» — футболисты, «Z» — универсальные спортсмены. Трое неспортивных учеников просто находятся в общем круге.

  • Баскетболисты, входящие в множество «Б», но не входящие в зоны пересечения со множествами «Х» и «Ф».
  • 16 – (4 + Z + 3) = 9 – Z.
  • По аналогии, находим количество хоккеистов.
  • 17 – (4 + Z + 5) = 8 – Z.
  • Футболисты.
  • 18 – (3 + Z + 5) = 10 – Z.
  • Чтобы пределить значение Z, нужно суммировать множества учеников.
  • 3 + (9 – Z) + (8 – Z) + (10 – Z) + 3 + 4 + 5 + Z = 38;
  • 42 – 2*Z = 38;
  • Z = 2.
  • Соответственно, Б = 7, Ф = 8, Х = 6.
  • Применение круговых диаграмм позволяет наглядно продемонстрировать все взаимоотношения разных групп учеников.

Метод схематического изображения взаимоотношений множеств – не просто увлекательная вещь. Круги Эйлера, примеры решения задач, логика которых неочевидна, показывают, что метод может использоваться не только при развязывании математических заданий, но и находить выход из житейских ситуаций.

Источник: https://MozgPortal.ru/razvitie-mozga/uprazhneniya/krugi-ejlera-i-primery-zadach-na-logiku.html

Круги Эйлера — примеры и методы решения логических задач

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студентуПрименение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту
Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Множества в математике

Диаграммы Венна помогают показать связь теории множеств и логических операций. Круги Эйлера, множества чисел и других предметов тесно связаны. Под множеством понимается совокупность каких-то объектов, называемых элементами.

В множества можно объединять объекты с общим признаком. Например, множество студентов второго курса университета или множество статей, написанных одним учёным.

Можно выделить три вида таких математических объектов:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  • конечное, например, множество стран;
  • бесконечное — множество звёзд во вселенной;
  • пустое — множество острых углов в прямоугольнике.

Группа элементов, составляющая множество, входящее в другое, более обширное множество называется подмножеством. Такое отношение получается между множеством действительных чисел и входящим в его состав подмножеством натуральных чисел.

В курсах информатики и обычно изучаются такие темы как «Введение в математическую логику» и «Поиск информации в Интернет». При решении задач по этим темам помощь оказывают диаграммы Венна. Для их построения можно использовать онлайн-калькулятор. Обозначения операций над множествами, которым должны соответствовать обозначения в калькуляторе:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  • дополнение ¯A в калькуляторе имеет вид A';
  • пересечение A∩B представлено как A intersection B;
  • объединение А⋃B обозначено A union B;
  • симметрическая разность A∆B — symmetric difference of A and B;
  • Относительное дополнение AB — AB.

Калькулятор выдаёт результат и подробное решение с правильным порядком операций при подстановке конкретных множеств.

Кольцом в теории множеств называют непустую систему R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности, то есть при пересечении или операции симметрической разности любых двух множеств обязательно получается множество, входящее в R. Это означает, что для любых элементов A, B из кольца элементы A∩B и A∆B будут лежать в кольце.

Отношения между понятиями

Логические операции, разрешающие доказывать утверждения и делать выводы, основаны на связях и отношениях разных понятий.

При классификации понятия делятся на сравнимые, между которыми существуют логические связи и отношения, и несравнимые, которые не имеют связей.

К несравнимым относятся, например, «машина» и «квадрат», «озеро» и «клетка». У них нет общих элементов и их нельзя сравнивать.

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

  • Рисунок 1
  • Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия отличаются тем, что имеют хотя бы один общий элемент:
  • равнозначные (тождественные);
  • перекрещивающиеся;
  • подчиняющие и подчинённые.

У равнозначных понятий объёмы полностью совпадают. Например, А — писатель Чехов, В — автор пьесы «Вишнёвый сад». Графически тождественность можно представить как два круга, слившиеся в один (Рисунок 1).

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Пересекающимися понятиями, или находящимися в отношении перекрещивания, считаются те, объёмы которых совпадают частично. Пример: A — «математик», B — «репетитор»; A — «студент», B — «спортсмен». Часть объёма понятия «математик» входит в объём понятия «репетитор» и наоборот.

Понятия, состоящие в отношении подчинения, содержат одинаковые элементы, а объём подчинённого целиком входит в объём подчиняющего. Например, «млекопитающее» и «коза».

Несовместимыми называют понятия, не имеющие общих элементов:

  • соподчинённые;
  • противоположные;
  • противоречащие.

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Соподчинённые понятия имеют общие элементы и вместе входят в родовое понятие, но в их объёмах общие элементы отсутствуют. Например, А — «корова», B — «овца», C — «млекопитающее». Круги A и B необходимо поместить внутри круга, изображающего объём понятия C, но они не смогут пересекаться, так как не бывает млекопитающих, которые были бы и коровой, и овцой одновременно.

Противоположные понятия — это виды одного и того же рода, но одно из них имеет какой-то признак, а другое не обладает им и содержит признак, несовместимый с первым, направленный против него. Таковы A — «большой дом» и B — «маленький дом».

Тут в отличие от отношения противоречия возможны предметы, которые не входят ни в A и ни в B.

Если общее родовое C — дом, то в его круге будут изображения двух сегментов A и B, расположенных напротив друг друга, а оставшаяся часть должна соответствовать всем остальным домам (средним, меньше средних).

Противоречащими считается категория понятий, у одного из которых есть какой-то признак, а у другого он отрицается. Например, «чёрный» и «нечёрный», «злой» — «незлой». При этом весь массив родственных элементов делится на две части: одни имеют этот признак, а другие — нет.

Решение задач, примеры

Круги Эйлера и как решать сложные логические задачи, используя свойства диаграммы, можно показать на примерах.

Задача 1. Пусть имеется следующее условие: 54 школьника шестых классов занимаются в авиамодельном, музыкальном и танцевальном кружках. Каждый посещает хотя бы один кружок.

Музыкой занимаются 32 ученика, 22 — танцами, 34 — авиамоделированием. Участвуют в музыкальном и танцевальном кружках 11 школьников, в музыкальном и авиамоделировании — 21, в танцевальном и авиамоделировании — 12.

Сколько учащихся посещают все три кружка?

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Рисунок 2

Проект решения предполагает необходимость расписать всех 54 школьников в соответствии с условиями задачи. Известно, что в авиамодельном кружке 34 ученика. Если прибавить к этому число учеников, которые занимаются музыкой, их 32 человека, то получится A ⋃ M, где ⋃ обозначение объединения множеств, будет состоять из 34 + 32… учеников.

Но при взгляде на круги Эйлера (Рисунок 2) становится понятно, что те, кто занимается и музыкой, и авиамоделированием посчитаны дважды. Это область на диаграмме, которая принадлежит и кругу A, и кругу М, таких учеников 21. Значит, объединение множеств A ⋃ M будет 34 + 32 — 21…

Теперь нужно прибавить 22 школьника, занимающихся танцами. A ⋃ M ⋃ T равно 34 + 32 — 21 + 22… Тут опять некоторые ученики оказываются посчитаны дважды. Можно вычесть из общей суммы тех, кто занимается танцами и музыкой — 11 человек и 12 человек, участвующих в авиамодельном и танцевальном кружках одновременно. Функция принимает следующий вид: A ⋃ M ⋃ T будет 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12…

Но при этом школьники, которые посещают все три кружка, оказались отняты дважды. Их число обозначено x и его надо прибавить один раз к имеющейся формуле. Чтобы решить задачу, требуется определить x из полученного уравнения (Рисунок 3).

54 = 34 + 32 — 21 + 22 — 11 — 12 + х; откуда следует, что x = 10. Ответ: 10.

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Рисунок 3

Задача 2. В школьную библиотеку пришло 30 учеников седьмого класса. Из них 15 человек взяли учебник по алгебре, 12 — по русскому языку, 10 человек не взяли ни одного учебника. Сколько учеников получили учебники по алгебре и русскому языку?

Множества на диаграммах представлены на рисунке 4. В большом круге 30 учеников, внутри двух малых 30 — 10 = 20 человек.

По условию задачи 15 учеников получили учебник по алгебре, значит, 20 — 15 = 5 учеников получили только учебник по русскому языку.

А в условии говорится, что 12 человек взяли учебник по русскому, то есть 12 — 5 = 7 школьников получили учебники и по алгебре, и по русскому. Ответ: 7.

Рисунок 4

Круги Эйлера часто применяются для решения самых разных задач. Они служат для развития способности к логическому мышлению у дошкольников. Большой раздел задач для школьников может решаться с помощью диаграмм.

Многие учёные в своих исследованиях тоже обращаются к этому методу, который повышает наглядность решаемых проблем и помогает в их обдумывании. Использование простых фигур позволяет свести решение любой сложной задачи к символической логике и упростить ход рассуждений. Диаграммы могут применяться и в обычной жизни, например при поиске работы.

Пересечение кругов «лучше всего получается», «больше всего нравится делать» и «чем можно заработать», возможно, даст нужный результат.

Источник: https://nauka.club/informatika/krugi-eylera.html

Решение содержательных логических задач с помощью кругов Эйлера/диаграмм Венна

Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2n комбинаций n свойств.

Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).

Логическая связка Пример  Пояснение Круги Эйлера
& — “И”(пересечение множеств) Бабочки & Мадагаскар Результат операции «И»: множество, включающее в себя только бабочек, обитающих на острове Мадагаскар Рис.1

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

| — “ИЛИ”(объединение множеств) Бабочки | Мадагаскар Результат операции «ИЛИ»: множество всех бабочек и бабочек Мадагаскара Рис.2

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Задача 1
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический — 14 человек, химический — 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек — и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 — и физический и химический.Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?Решение:Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М), физического (Ф), химического (Х) кружков.Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ — множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:

Круги Эйлера с названиями непересекающихся множеств:
Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту
Круги Эйлера с количественной информацией:
Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

Например, количество человек, которые посещают физический кружок 2+6+1+5=14

Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.

  • Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.
  • Ответ: 8.
  • Задача 2

После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре — 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре — 6; и в кино и в цирке — 10; и в театре и в цирке — 4.

  1. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
  2. Решение:
  3. Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.
  4. Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:

Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач - в помощь студенту

В кино и театре побывало 6 чел., значит, только в кино и театре (6-х) чел.

Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел.

Только в театре и цирке (4-х) чел.

В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 — (10-х) – (6-х) – х = (9+х).

Аналогично, только в театре были (1+х) чел.

Только в цирке были (3+х) чел.

Не были в театре, кино и цирке – 2 чел.

Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях.

С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке:

(9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34
Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях.

Ответ: 1.

Источник (ссылка)

Домашнее задание: Электронная тетрадь — задачи

Источник: http://irdomracheva9kl.blogspot.com/2014/11/blog-post_10.html

Использование диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач методическая разработка по информатике и икт (10 класс) на тему

Самостоятельная работа «Использование диаграмм Эйлера-Венна при решении логических задач»

Вариант №1

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Польша 4200
Польша & Украина 1230
Украина 3990

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Польша | Украина? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Байрон & Пушкин 1310
Байрон & Лермонтов 1220
Байрон & (Пушкин | Лермонтов) 1750
  • Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
  • Байрон & Пушкин & Лермонтов?
  • Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Амур 1100
Днепр 1600
Амур | Днепр 2700
Амур | Волга | Днепр 3800
Волга & Днепр 550
Амур & Волга 670
  1. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Волга?
  2. Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  3. Критерий оценивания:
  1. оценка «5» – правильно решены задачи №2 и №3.
  2. оценка «4» – правильно решены две задачи: №1 и №2  или №1 и №3.
  3. оценка «3» – правильно решена только одна задача.
  4. оценка «2» – ни одна задача не решена правильно.

Вариант №2

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Польша | Украина 7500
Польша 4200
Украина 3990

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Польша & Украина? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос Найдено страниц(тыс.)
хоккей & футбол & волейбол 780
футбол & волейбол 1260
хоккей & волейбол 1230
  • Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
  • (хоккей | футбол) & волейбол?
  • Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Вильнюс 2800
Таллин 2400
Рига 2100
Вильнюс | Таллин 5200
Рига & Таллин 850
Вильнюс & Рига 870
  1. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу 
  2. Вильнюс | Рига | Таллин?
  3. Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  4. Критерий оценивания:
  1. оценка «5» – правильно две решены задачи №2 и №3.
  2. оценка «4» – правильно две решены задачи: №1 и №2  или №1 и №3.
  3. оценка «3» – правильно решена только одна задача.
  4. оценка «2» – ни одна задача не решена правильно.

Вариант №3

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Польша & Украина 1230
Польша | Украина 7270
Украина 3990

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Польша?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос Найдено страниц(тыс.)
Курск & (Орел | Белгород) 370
Курск & Белгород 204
Курск & Орел & Белгород 68

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Курск & Орел?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос Найдено страниц(тыс.)
белки 1930
жиры 1860
углеводы 2340
жиры | углеводы 4200
жиры & белки 850
белки | жиры | углеводы 4870
  • Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу белки & углеводы?
  • Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  • Критерий оценивания:
  1. оценка «5» – правильно две решены задачи №2 и №3.
  2. оценка «4» – правильно две решены задачи: №1 и №2  или №1 и №3.
  3. оценка «3» – правильно решена только одна задача.
  4. оценка «2» – ни одна задача не решена правильно.

Вариант №4

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Чехия 5150
Словакия 5080
Чехия & Словакия 3290

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Чехия | Словакия? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
(Суворов & Альпы) | (Суворов & Варшава) 1300
Суворов & Варшава 600
Суворов & Варшава & Альпы 50

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Суворов & Альпы? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Сочи 3100
Ванкувер 3600
Сочи | Ванкувер 6700
Сочи | Турин | Ванкувер 8200
Турин & Ванкувер 790
Сочи & Турин 720
  1. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Турин?
  2. Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  3. Критерий оценивания:
  1. оценка «5» – правильно решены задачи №2 и №3.
  2. оценка «4» – правильно решены две задачи: №1 и №2  или №1 и №3.
  3. оценка «3» – правильно решена только одна задача.
  4. оценка «2» – ни одна задача не решена правильно.

Вариант №5

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Волга | Амур 8280
Волга 5250
Амур 4990

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Волга & Амур ? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». 

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Таллин & Киев 340
Киев & Минск 160
Таллин & Киев & Минск 120
  • Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу 
  • (Таллин & Киев) | (Минск & Киев) ?
  • Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  1. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым
сканер 200
принтер 250
монитор 410

Сколько сайтов будет найдено по запросу «(принтер | сканер) & монитор», если по запросу «принтер | сканер» было найдено 450 сайтов, по запросу «принтер & монитор» — 40, а по запросу «сканер & монитор» — 50.

Критерий оценивания:

  1. оценка «5» – правильно решены задачи №2 и №3.
  2. оценка «4» – правильно решены две задачи: №1 и №2  или №1 и №3.
  3. оценка «3» – правильно решена только одна задача.
  4. оценка «2» – ни одна задача не решена правильно.

Вариант №6

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Латвия & Литва 2170
Латвия | Литва 9350
Литва 5640

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Латвия? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». 

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Запрос Найдено страниц(в тысячах)
(Испания & Америка) | (Испания & Индия) 2800
Испания & Америка 1600
Испания & Индия & Америка 150

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу    Испания & Индия ?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос Найдено страниц(в тысячах)
Мерседес 4700
Ауди 4200
Опель 3900
Мерседес | Ауди 8900
Опель & Ауди 1190
Мерседес & Опель 1010
  1. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу 
  2. Мерседес | Опель | Ауди?
  3. Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
  4. Критерий оценивания:
  1. оценка «5» – правильно две решены задачи №2 и №3.
  2. оценка «4» – правильно две решены задачи: №1 и №2  или №1 и №3.
  3. оценка «3» – правильно решена только одна задача.
  4. оценка «2» – ни одна задача не решена правильно.

Источник: https://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/2014/09/23/ispolzovanie-diagramm-eylera-venna-pri-reshenii

Ссылка на основную публикацию