Понятие многогранника — в помощь студенту

Понятие многогранника - в помощь студенту

Часть геометрии, которую мы изучали до сих пор, называется планиметрией — эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Это слово (στερεομετρία) происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение.Простейшие фигуры стереометрии — точки, прямые и плоскости. Из этих фигур образованы геометрические тела и их поверхности. 

Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.

  • Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника.
  • Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
  • Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Понятие многогранника - в помощь студенту

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Деловое общение его виды и формы - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника (EDC), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямую называют перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

Теперь можем ввести определение призмы.

(n)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных (n)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и (n)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин (n)-угольников отрезками параллельных прямых.

Равные (n)-угольники называют основаниями призмы.

  1. Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.
  2. Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.
  3. Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.

  4. Призмы бывают прямыми и наклонными.
  5. Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.

У прямых призм все боковые грани — прямоугольники.

Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B1E.

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом.

Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом.

Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

  • Например, AB, AD и AA1 можно называть измерениями.
  • Так как треугольники ABC и ACC1 — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
  • AC12=AB2+AD2+AA12.
  • Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Основные формулы для расчётов в прямых призмах

1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.⋅H, где (H) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

2. Полная поверхность Sполн.=2⋅Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

3. Объём V=Sосн.⋅H. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

(n)-угольная пирамида — многогранник, составленный из (n)-угольника в основании и (n)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.

Читайте также:  Конкуренция, совершенная конкуренция - в помощь студенту

(n)-угольник называют основанием пирамиды.

  1. Треугольники — боковые грани пирамиды.
  2. Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.
  3. Рёбра, выходящие из вершины — боковые рёбра пирамиды.
  4. Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — шестиугольная пирамида (GABCDEF), проведена высота пирамиды (GH).

Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют правильной.

У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.

Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.

Понятие многогранника - в помощь студенту

На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды (KO) проведена от вершины (K) к центру основания (O).

  • Высота боковой грани (KN) — апофема.
  • Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:
  • ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп.

Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение.

На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.

Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах

1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.⋅h2, где (h) — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.

2. Полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

3. Объём V=13⋅Sосн.⋅H, где (H) — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/nachalnye-svedeniia-o-stereometrii-13313/mnogogranniki-13314/re-ac0fc0a1-bd35-42ae-8a4b-da5345d987ea

Урок 13. многогранник — Геометрия — 10 класс — Российская электронная школа

  • Геометрия, 10 класс
  • Урок № 13. Многогранники
  • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
  • Определение многогранника и его элементов;
  • Виды многогранников;
  • Многогранник как модель реального объекта;
  • Теорема Эйлера для многогранников.
  1. Глоссарий по теме
  2. Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
  3. Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.
  4. Ребра многогранника – стороны граней многогранника.

  5. Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).
  6. Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
  7. Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.

  8. Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.
  9. Основная литература:

Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)

Дополнительная литература:

Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО, 2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)

Открытые электронные ресурсы:

Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал Квант. 

Часть 1 // Квант. 2001. № 5. С. 7—12. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant1.pdf

Часть 2 // Квант. 2001. № 6. С. 3—10. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant2.pdf

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Понятие многогранника

К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а).

Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник.

Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.

А)

Понятие многогранника - в помощь студентуПонятие многогранника - в помощь студенту

Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника

По аналогии с первым толкованием понятия многоугольника рассматривается следующее толкование понятия многогранника. Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. В данной трактовке многогранник можно называть еще многогранной поверхностью.

  • Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
  • В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.
  • Примеры многогранников

Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)

Понятие многогранника - в помощь студенту

Рисунок 2 – изображение октаэдра

Элементы многогранника

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинамимногогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Виды многогранников

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).

Понятие многогранника - в помощь студенту

Рисунок 3 – Виды многогранников

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Утверждение. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.

Пояснить данное утверждение поможет рисунок 4. “Разрежем” многогранник вдоль его ребер и все его грани с общей вершиной расположим так, чтобы они оказались в одной плоскости. Видим, что сумма всех плоских углов действительно меньше 3600.

Понятие многогранника - в помощь студенту

Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.

  1. 1) отрезок
  2. 2) плоскость
  3. 3) точка
  4. 4) луч
  5. 5) многоугольник
  6. 6) многогранник
  7. 7) прямая
  8. 8) трапеция
  9. Решение

Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.

  • Ответ: 2467
  • Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид
  • Понятие многогранника - в помощь студентуПонятие многогранника - в помощь студентуПонятие многогранника - в помощь студенту
  • А) плоская фигура
  • Б) пространственная фигура
  • В) Многогранник
  • Решение

Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6018/conspect/

4.1. Основные понятия



Определение 4.1. 

Многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

  • каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым по этой стороне;
  • от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя по очереди от одного многоугольника к другому, смежному с ним.

Многоугольники, из которых состоят многогранники, называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Определение понятия «многогранник» в пространстве зависит от того, как на плоскости определять понятие «многоугольник». Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и пересекающиеся), то приходим к первому определению многогранника.

Чаще, однако, придерживаются другого определения многоугольника и, соответственно, многогранника. Под многоугольником понимается часть плоскости, ограниченная ломаными. С этой точки зрения, многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков.

Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое тоже называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранники, как на геометрические тела, причем допускается существование у этих тел «дырок».

На рисунке 4.1.1 приведены некоторые примеры многогранников.

Понятие многогранника - в помощь студенту1
Рисунок 4.1.1

Определение 4.2. 

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников-граней.

Источник: https://mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter4/section/paragraph1/theory.html

Введение понятия многогранника

Изучение многогранников и тел вращения в школе можно условно разделить на три этапа. Первый — это курс математики 1—6-го классов, где ученики на уровне предпонятий изучают некоторые виды многогранников и тел вращения. К началу изучения систематического курса геометрии школьники знакомы с параллелепипедами и пирамидами, а также с цилиндром, конусом и шаром.

Второй этап — изучение многогранников и тел вращения в курсе 7—9-х классов, что дает учителю возможность не только подготовить учеников к изучению систематического курса стереометрии, но и широко использовать эти объекты при изучении планиметрии. Рассматриваются призмы и пирамиды, цилиндры, конусы, шары, элементы фигур, приводятся формулы объемов.

Третий этап изучения — собственно курс стереометрии, где уже подробно рассматриваются частные виды призм, пирамид, устанавливаются и обосновываются свойства фигур, выводятся формулы площадей поверхности и объемов.

Понятие многогранника является родовым понятием как для призм, так и для пирамид. Па разных этапах изучения многогранников реализуются различные подходы к введению этого понятия.

На первом этапе — без определения, на уровне представлений, которые сложились у учеников, предъявляются фигуры, входящие в объем понятия (выпуклые, невыпуклые многогранники, кольцеобразные многогранники).

В курсе планиметрии многогранник определяют как ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, не формулируя при этом определений ограниченного тела и поверхности.

В старшей школе целесообразно на основе последнего определения выстроить родословную понятия: определяется понятие тела (внутренние, граничные точки, связность, граница), понятие поверхности, актуализируется определение понятия многоугольника, показывается, из каких многоугольников состоит граница (почему, например, поверхность куба состоит из шести квадратов, а нс из двенадцати прямоугольных треугольников). Материалы для этого можно найти в любом из действующих учебников геометрии, а подробности учитель может почерпнуть из статьи А. Д. Александрова «Что такое многогранник»[1], где также описывается подход к определению многоугольника, который может быть реализован в школе.

При изучении стереометрии на первых уроках следует актуализировать и систематизировать полученные школьниками знания о многогранниках и их видах или ввести эти понятия как новые, если по каким-то причинам соответствующий материал в курсе планиметрии не был изучен.

Далее при изучении отношений параллельности и перпендикулярности в пространстве вводятся свойства частных видов многогранников либо учителем, либо устанавливаются самостоятельно учениками в ходе выполнения заданий.

Так, свойства правильной пирамиды могут быть получены при анализе следующей конструкции: в правильной пирамиде из вершины на плоскость основания опущен перпендикуляр. Основание перпендикуляра соединено отрезками с вершинами основания пирамиды и серединами ребер основания, вершина пирамиды соединена с серединами ребер основания.

Найдите на рисунке равные отрезки, равные углы, сформулируйте свойства правильной пирамиды. Определения и свойства других видов пирамид могут появиться как результат выполнения следующих заданий.

Читайте также:  Субъект и объект познания - в помощь студенту

Задание 16.11

Какие виды пирамид вы знаете? Вспомните определение правильной пирамиды. Сформулируйте определение пирамиды с равноиакло- ненными ребрами, с равионаклоиенными гранями, основываясь на этимологии этих понятий.

Где в каждом случае будет располагаться основание высоты этих пирамид? Является ли правильная пирамида пирамидой с равионаклоиенными ребрами, с равионаклоиенными гранями? Вспомните свойства правильной пирамиды.

Какими из них будут обладать пирамиды с равионаклоиенными ребрами, с равнонакло- ненными гранями? Будут ли они обладать какими-либо свойствами, которых нет у правильных пирамид?

Как будут расположены основания высот каждого из видов пирамид относительно вершин, относительно сторон основания?

Изучение многогранников традиционно сопровождается знакомством с правильными многогранниками — Платоновыми телами, здесь же целесообразно обзорно рассмотреть и полуправиль- ные многогранники — архимедовы тела.

Сделать это можно на основе докладов учащихся, материал для которых они могут найти в Энциклопедическом словаре юного математика, Энциклопедии для детей и других изданиях. Большую помощь в изучении многогранников может оказать изготовление моделей как выпуклых, так и невыпуклых многогранников.

Описание моделей и инструкции по их изготовлению приведены в книге М. Веннпнджера «Модели многогранников»[2].

Источник: https://studme.org/292114/pedagogika/vvedenie_ponyatiya_mnogogrannika

МНОГОГРА́ННИК

Авторы: По материалам ст. Б. Н Делоне из БСЭ-3

МНОГОГРА́ННИК в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве, со­во­куп­ность ко­неч­но­го чис­ла пло­ских мно­го­уголь­ни­ков та­кая, что ка­ж­дая сто­ро­на лю­бо­го из мно­го­уголь­ни­ков есть од­но­вре­мен­но сто­ро­на дру­го­го (толь­ко од­но­го), на­зы­вае­мо­го смеж­ным с пер­вым (по этой сто­ро­не); от лю­бо­го из мно­го­уголь­ни­ков, со­став­ляю­щих М., мож­но дой­ти до лю­бо­го из них, пе­ре­хо­дя к смеж­но­му с ним, а от это­го, в свою оче­редь, – к смеж­но­му с ним, и т. д. Эти мно­го­уголь­ни­ки на­зы­ва­ют­ся гра­ня­ми, их сто­ро­ны – рёб­ра­ми, а их вер­ши­ны – вер­ши­на­ми мно­го­гран­ни­ка.

При­ве­дён­ное оп­ре­де­ле­ние М. да­ёт разл. по­ня­тия в за­ви­си­мо­сти от то­го, как оп­ре­де­лить мно­го­уголь­ник. Ес­ли под мно­го­уголь­ни­ком по­ни­мать пло­ские замк­ну­тые ло­ма­ные (хо­тя бы и са­мо­пе­ре­се­каю­щие­ся), то при­хо­дят к 1-му оп­ре­де­ле­нию М. Осн.

часть ста­тьи по­строе­на на ос­но­ве 2-го оп­ре­де­ле­ния М., при ко­то­ром его гра­ни яв­ля­ют­ся мно­го­уголь­ни­ка­ми, по­ни­мае­мы­ми как час­ти плос­ко­сти, ог­ра­ни­чен­ные ло­ма­ны­ми. С этой точ­ки зре­ния М. есть по­верх­ность, со­став­лен­ная из мно­го­уголь­ных кус­ков.

Ес­ли эта по­верх­ность са­ма се­бя не пе­ре­се­ка­ет, то она есть пол­ная по­верх­ность не­ко­то­ро­го гео­мет­рич. те­ла, ко­то­рое так­же на­зы­ва­ет­ся М.; от­сю­да воз­ни­ка­ет тре­тья точ­ка зре­ния на М. как на гео­мет­рич.

те­ла, при­чём до­пус­ка­ет­ся так­же су­ще­ст­во­ва­ние у этих тел «ды­рок», т. е. что эти те­ла не од­но­связ­ны.

М. на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, ес­ли он весь ле­жит по од­ну сто­ро­ну от плос­ко­сти лю­бой его гра­ни; то­гда его гра­ни так­же вы­пук­лы. Вы­пук­лый М. раз­би­ва­ет про­стран­ст­во на две час­ти – внеш­нюю и внут­рен­нюю. Внут­рен­няя его часть есть вы­пук­лое те­ло. Об­рат­но, ес­ли по­верх­ность вы­пук­ло­го те­ла мно­го­гран­ная, то со­от­вет­ст­вую­щий М. – вы­пук­лый.

Важ­ней­ши­ми ут­вер­жде­ния­ми об­щей тео­рии вы­пук­лых М. (рас­смат­ри­вае­мых как по­верх­но­сти) яв­ля­ют­ся сле­дую­щие тео­ре­мы.

Тео­ре­ма Эй­ле­ра (по­лу­че­на Л. Эй­ле­ром, 1758): чис­ло вер­шин $b$ ми­нус чис­ло рё­бер $p$ плюс чис­ло гра­ней $r$ вы­пук­ло­го М. (эй­ле­ро­ва ха­рак­те­ри­сти­ка М.) рав­но двум, т. е. $b-p+r=2$.

Тео­ре­ма Ко­ши (по­лу­че­на О. Ко­ши, 1812): ес­ли 2 вы­пук­лых М. изо­мет­рич­ны друг дру­гу (т. е. один М. мо­жет быть вза­им­но од­но­знач­но ото­бра­жён на дру­гой М. с со­хра­не­ни­ем длин ле­жа­щих на нём ли­ний), то вто­рой М.

мо­жет быть по­лу­чен из пер­во­го дви­же­ни­ем его как жё­ст­ко­го це­ло­го (или дви­же­ни­ем и зер­каль­ным от­ра­же­ни­ем). От­сю­да, в ча­ст­но­сти, сле­ду­ет, что ес­ли гра­ни вы­пук­ло­го М. жё­ст­ки, то он сам жёс­ток, хо­тя бы его гра­ни бы­ли скре­п­ле­ны друг с дру­гом по рёб­рам шар­нир­но.

Это ут­вер­жде­ние в ка­че­ст­ве ги­по­те­зы вы­ска­зы­ва­лось Евк­ли­дом.

Тео­ре­ма Алек­сан­д­ро­ва (по­лу­че­на А. Д. Алек­сан­д­ро­вым, 1939): ес­ли взять ко­неч­ное чис­ло пло­ских вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ков (сде­лан­ных, напр.

, из бу­ма­ги) и ука­зать, ка­кая сто­ро­на ка­ко­го из них с ка­кой сто­ро­ной ка­ко­го дру­го­го бу­дет склее­на (склеи­вае­мые сто­ро­ны долж­ны быть оди­на­ко­вой дли­ны), т. е. ес­ли рас­смот­реть раз­вёрт­ку (вы­крой­ку) М.

, то для то­го, что­бы так скле­ен­ную замк­ну­тую по­верх­ность мож­но бы­ло, со­от­вет­ст­вен­но рас­пра­вив (т. е. изо­гнув, ес­ли нуж­но, но не рас­тя­ги­вая, не сжи­мая, не раз­ры­вая и боль­ше не склеи­вая), пре­вра­тить в по­верх­ность вы­пук­ло­го М.

, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы: а) удов­ле­тво­ря­лось ус­ло­вие Эй­ле­ра $b-p+r=2$ и б) что­бы сум­ма пло­ских уг­лов, схо­дя­щих­ся при склеи­ва­нии в од­ной вер­ши­не, для лю­бой вер­ши­ны бы­ла мень­ше 360°. Эта тео­ре­ма яв­ля­ет­ся тео­ре­мой су­ще­ст­во­ва­ния, т. к.

она по­ка­зы­ва­ет, для ка­ких раз­вёр­ток су­ще­ст­ву­ют вы­пук­лые М., а тео­ре­ма Ко­ши яв­ля­ет­ся для неё тео­ре­мой един­ст­вен­но­сти, т. к. она по­ка­зы­ва­ет, что су­ще­ст­ву­ет толь­ко один (с точ­но­стью до дви­же­ния и от­ра­же­ния) вы­пук­лый М. с та­кой раз­вёрт­кой.

Тео­ре­ма (су­ще­ст­во­ва­ния) Мин­ков­ско­го (по­лу­че­на Г. Мин­ков­ским, 1896): су­ще­ст­ву­ет вы­пук­лый М.

с лю­бы­ми пло­ща­дя­ми гра­ней и лю­бы­ми на­прав­ле­ния­ми внеш­них нор­ма­лей к ним, лишь бы сум­ма век­то­ров, имею­щих на­прав­ле­ния нор­ма­лей и дли­ны, рав­ные пло­ща­дям со­от­вет­ст­вую­щих гра­ней, бы­ла рав­на ну­лю и эти век­то­ры не ле­жа­ли бы все в од­ной плос­ко­сти. Эти ус­ло­вия не­об­хо­ди­мы.

Тео­ре­ма (един­ст­вен­но­сти) Мин­ков­ско­го (1896): вы­пук­лый М. впол­не оп­ре­де­ля­ет­ся пло­ща­дя­ми сво­их гра­ней и на­прав­ле­ния­ми внеш­них нор­ма­лей к ним; эту тео­ре­му уси­ли­ва­ет тео­ре­ма (един­ст­вен­но­сти) А. Д. Алек­сан­д­ро­ва: два вы­пук­лых М.

с по­пар­но па­рал­лель­ны­ми гра­ня­ми не рав­ны друг дру­гу толь­ко в том слу­чае, ес­ли для од­ной из пар па­рал­лель­ных гра­ней с оди­на­ко­во на­прав­лен­ны­ми внеш­ни­ми нор­ма­ля­ми од­на из этих гра­ней мо­жет быть при по­мо­щи па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са вло­же­на в дру­гую.

Тео­ре­ма Штей­ни­ца (по­лу­че­на нем. ма­те­ма­ти­ком Э. Штей­ни­цем, 1917): су­ще­ст­ву­ет вы­пук­лый М. с лю­бой на­пе­рёд за­дан­ной сет­кой. При этом сет­кой вы­пук­ло­го М. на­зы­ва­ют сет­ку, со­став­лен­ную его рёб­ра­ми. Два М. при­над­ле­жат к од­но­му и то­му же ти­пу, ес­ли то­по­ло­ги­че­ски то­ж­де­ст­вен­ны сет­ки их рё­бер, т. е.

ес­ли один из них от­ли­ча­ет­ся от дру­го­го лишь дли­ной сво­их рё­бер и ве­ли­чи­ной уг­лов ме­ж­ду ни­ми. Сет­ку рё­бер вы­пук­ло­го М. мож­но спро­ек­ти­ро­вать на плос­кость из внеш­ней точ­ки, близ­кой к внутр. точ­ке к.-л. его гра­ни.

Са­ма эта грань спро­ек­ти­ру­ет­ся то­гда в ви­де вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка, а все ос­таль­ные – в ви­де ма­лых вы­пук­лых мно­го­уголь­ни­ков, ко­то­рые его за­пол­ня­ют, не на­ле­гая друг на дру­га, и смеж­ны друг с дру­гом це­лы­ми сто­ро­на­ми. Тип сет­ки рё­бер М. при та­ком про­ек­ти­ро­ва­нии не ме­ня­ет­ся. Чис­ло $m$ ти­пов М.

с дан­ным чис­лом $n$ гра­ней ог­ра­ни­че­но, а имен­но: ес­ли $n=$ 4, 5, 6, 7, 8, …, то $m=$ 1, 2, 7, 34, 257, … На рис. 1 да­ны сет­ки всех ти­пов для $n=$ 4, 5, 6.

Наи­бо­лее важ­ны сле­дую­щие спец. вы­пук­лые мно­го­гран­ни­ки.

(те­ла Пла­то­на) – вы­пук­лые М., все гра­ни ко­то­рых суть кон­гру­энт­ные (рав­ные) пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки. Все мно­го­гран­ные уг­лы пра­виль­но­го М. пра­виль­ные и рав­ные.

Из под­счё­та сум­мы пло­ских уг­лов при вер­ши­не сле­ду­ет, что вы­пук­лых пра­виль­ных М. не боль­ше пя­ти. Су­ще­ст­во­ва­ние имен­но пя­ти пра­виль­ных М. бы­ло до­ка­за­но Евк­ли­дом.

Они – пра­виль­ные тет­ра­эдр, куб, ок­та­эдр, до­де­ка­эдр и ико­са­эдр (см. рис. 2, 1–5).

Куб и ок­та­эдр ду­аль­ны, т. е. по­лу­ча­ют­ся друг из дру­га, ес­ли цен­тры тя­же­сти гра­ней од­но­го при­нять за вер­ши­ны дру­го­го или об­рат­но. Ана­ло­гич­но, ду­аль­ны до­де­ка­эдр и ико­са­эдр. Тет­ра­эдр дуа­лен сам се­бе.

Пра­виль­ный до­де­ка­эдр по­лу­ча­ет­ся из ку­ба по­строе­ни­ем «крыш» на его гра­нях (спо­соб Евк­ли­да), вер­ши­на­ми тет­ра­эд­ра яв­ля­ют­ся лю­бые 4 вер­ши­ны ку­ба, по­пар­но не смеж­ные по реб­ру.

Так из ку­ба по­лу­ча­ют­ся все ос­таль­ные пра­виль­ные мно­го­гран­ни­ки.

Ни­же при­во­дят­ся ра­ди­ус опи­сан­ной сфе­ры, ра­ди­ус впи­сан­ной сфе­ры и объ­ём всех пра­виль­ных М. (а – дли­на реб­ра М.).

Многогранник Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Объём
Тетраэдр $frac{asqrt{6}}{4}$ $frac{asqrt{6}}{12}$ $frac{a^3sqrt{2}}{12}$
Куб $frac{asqrt{3}}{2}$ $frac{a}{2}$ $a^3$
Октаэдр $frac{asqrt{2}}{2}$ $frac{asqrt{6}}{6}$ $frac{a^3sqrt{2}}{3}$
Додекаэдр $frac{a}{4}sqrt{18+6sqrt{5}}$ $frac{a}{2}sqrt{frac{{25+11sqrt{5}}}{10}}$ $frac{a^3}{4}(15+7sqrt{5})$
Икосаэдр $frac{a}{4}sqrt{10+2sqrt{5}}$ $frac{a}{12}(3+sqrt{5})sqrt{3}$ $frac{5a^3}{12}(3+sqrt{5})$

Изоэдры и изогоны

Изо­эдром (изо­го­ном) на­зы­ва­ет­ся та­кой вы­пук­лый М., что груп­па его по­во­ро­тов (1-го и 2-го ро­дов, см. Дви­же­ние) во­круг цен­тра тя­же­сти пе­ре­во­дит лю­бую его грань (вер­ши­ну) в лю­бую дру­гую его грань (вер­ши­ну). Ка­ж­до­му изо­эд­ру (изо­го­ну) со­от­вет­ст­ву­ет ду­аль­ный изо­гон (изо­эдр). Ес­ли М. од­но­вре­мен­но и изо­гон и изо­эдр, то он – пра­виль­ный М.

Ком­би­на­тор­но разл. изо­эд­ров (изо­го­нов) име­ет­ся 13 спец. ти­пов и две бес­ко­неч­ные се­рии (приз­мы и ан­ти­приз­мы). Ока­зы­ва­ет­ся, что ка­ж­дый из этих изо­эд­ров мо­жет быть реа­ли­зо­ван так, что все его гра­ни суть пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки. По­лу­чен­ные так М. на­зы­ва­ют­ся по­лу­пра­виль­ны­ми (те­ла­ми Ар­хи­ме­да, см. рис.

 2, 10–23; приз­мой – 24; ан­ти­приз­мой – 25).

Параллелоэдры

(вы­пук­лые М., най­ден­ные Е. С. Фё­до­ро­вым, 1881) – М., рас­смат­ри­вае­мые как те­ла, па­рал­лель­ны­ми пе­ре­но­са­ми ко­то­рых мож­но за­пол­нить всё бес­ко­неч­ное про­стран­ст­во так, что­бы они не вхо­ди­ли друг в дру­га и не ос­тав­ля­ли пус­тот ме­ж­ду со­бой, т. е. об­ра­зо­вать раз­бие­ние про­стран­ст­ва. Та­ко­вы, напр.

, куб или пра­виль­ная 6-уголь­ная приз­ма. Су­ще­ст­ву­ет 5 то­по­ло­ги­че­ски разл. се­ток рё­бер па­рал­ле­ло­эд­ров (см. рис. 2, 26–30). Чис­ло их гра­ней – 6, 8, 12, 12, 14. Для то­го что­бы М. был па­рал­ле­лоэ­дром, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы он был вы­пук­лым М. од­но­го из 5 ука­зан­ных то­по­ло­гич.

ти­пов и что­бы все гра­ни его име­ли цен­тры сим­мет­рии.

Ес­ли па­рал­ле­ло­эд­ры раз­бие­ния смеж­ны це­лы­ми гра­ня­ми, раз­бие­ние на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным. Цен­тры па­рал­ле­ло­эд­ров та­ко­го раз­бие­ния об­ра­зу­ют ре­шёт­ку, т. е. со­во­куп­ность всех то­чек с це­лы­ми ко­ор­ди­на­та­ми от­но­си­тель­но ка­кой-то (во­об­ще го­во­ря, не пря­мо­уголь­ной) де­кар­то­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат.

Мно­же­ст­во то­чек про­стран­ст­ва, из ко­то­рых ка­ж­дая от­сто­ит от не­ко­то­рой дан­ной точ­ки $O$ рас­смат­ри­вае­мой ре­шёт­ки Λ не даль­ше, чем от вся­кой др. точ­ки этой ре­шёт­ки, на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью Во­ро­но­го $D_{OΛ}$ точ­ки $O$ в ре­шёт­ке Λ. Об­ласть $D_{OΛ}$ яв­ля­ет­ся вы­пук­лым М. с цен­тром в точ­ке $O$.

Со­во­куп­ность об­лас­тей Во­ро­но­го всех то­чек про­из­воль­ной ре­шёт­ки об­ра­зу­ет нор­маль­ное раз­бие­ние про­стран­ст­ва.

Про­из­воль­ное (да­же $n$-мер­ное) нор­маль­ное раз­бие­ние на па­рал­ле­ло­эд­ры, в ка­ж­дой из вер­шин ко­то­ро­го схо­дит­ся $n+1$ па­рал­ле­ло­эдр, мо­жет быть аф­фин­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем пре­вра­ще­но в раз­бие­ние Во­ро­но­го для не­ко­то­рой ре­шёт­ки.

Вся­кое дви­же­ние, пе­ре­во­дя­щее в се­бя ре­шёт­ку Λ и ос­тав­ляю­щее на мес­те точ­ку $O$, пре­об­ра­зу­ет в се­бя об­ласть $D_{OΛ}$ и об­рат­но. Су­ще­ст­ву­ет 7 групп та­ких дви­же­ний: ку­би­че­ская, ром­бо­эд­ри­че­ская, квад­рат­ная (или тет­ра­го­наль­ная), ор­то­го­наль­ная (или ром­би­че­ская), мо­но­клин­ная, трик­лин­ная и гек­са­го­наль­ная.

Кристаллографические многогранники

Ка­ж­дая из 7 рас­смот­рен­ных групп име­ет под­груп­пы, всех разл. та­ких групп и их под­групп 32; их на­зы­ва­ют кри­стал­ло­гра­фич. клас­са­ми. Ес­ли взять плос­кость, не про­хо­дя­щую че­рез точ­ку $O$, и под­верг­нуть её всем по­во­ро­там к.-л. кри­стал­ло­гра­фич.

клас­са, то по­лу­чен­ные плос­ко­сти ог­ра­ни­чи­ва­ют ли­бо не­ко­то­рый изо­эдр с цен­тром в точ­ке $O$, ли­бо бес­ко­неч­ное вы­пук­лое приз­ма­тич. те­ло, ли­бо мно­го­гран­ный угол. По­лу­чен­ные те­ла на­зы­ва­ют­ся про­сты­ми фор­ма­ми кри­стал­лов, в 1-м слу­чае замк­ну­ты­ми, во 2-м и 3-м – от­кры­ты­ми.

Две про­стые фор­мы счи­та­ют оди­на­ко­вы­ми, ес­ли они име­ют один и тот же ком­би­на­тор­ный тип, по­ро­ж­де­ны од­ним и тем же кри­стал­ло­гра­фич. клас­сом и по­во­ро­ты это­го клас­са оди­на­ко­вым об­ра­зом свя­за­ны с фор­мой. Су­ще­ст­ву­ет 30 разл.

в этом смыс­ле замк­ну­тых форм и 17 от­кры­тых, ка­ж­дая из них име­ет своё на­зва­ние.

Ос­но­вы­ва­ясь на пер­вом (ука­зан­ном в на­ча­ле ста­тьи) оп­ре­де­ле­нии М., мож­но ука­зать ещё 4 пра­виль­ных не­вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ка (т. н. те­ла Пу­ан­со, см. рис. 2, 6–9), впер­вые най­ден­ных Л. Пу­ан­со в 1809. До­ка­за­тель­ст­во не­су­ще­ст­во­ва­ния др. не­вы­пук­лых пра­виль­ных М. дал О. Ко­ши в 1811.

Мож­но рас­смат­ри­вать и $n$-мер­ные М., для ко­то­рых вер­ны не­ко­то­рые из ука­зан­ных тео­рем. Ока­зы­ва­ет­ся, что при $n=$ 4 су­ще­ст­ву­ют 6 вы­пук­лых пра­виль­ных М., при боль­ших $n$ их все­го 3: обоб­ще­ние тет­ра­эд­ра, ку­ба и ок­та­эд­ра.

Источник: https://bigenc.ru/mathematics/text/2220311

Ссылка на основную публикацию