- Геометрия, 10 класс
- Урок № 14. Призма
- Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие призмы и виды призм;
- Элементы призмы: вершины, ребра, грани;
- Понятие площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы, формулы для вычисления;
- Призма как модель реальных объектов;
- Пространственная теорема Пифагора.
- Глоссарий по теме
- Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
- Боковые грани – все грани, кроме оснований.
- Боковые ребра – общие стороны боковых граней.
Узнай стоимость своей работы
Бесплатная оценка заказа! - Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.
- Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
- Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
- Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней.
- Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.
- Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.
- Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник.
- Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/
Узнай стоимость своей работы
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение призмы. Элементы призмы.
Рассмотрим два равных многоугольника А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А1В1, А2В2…АnВn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).
Рисунок 1 – Призма
Заметим, что каждый из n четырехугольников (A1A2B1B2, …AnA1B1Bn) является параллелограммом. Убедимся в этом на примере четырехугольника A1A2B1B2.
A1A2 и B1B2 параллельны по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью. А1В1 и А2В2 по условию.
Таким образом, в четырехугольнике A1A2B1B2 противоположные стороны попарно параллельны, значит этот четырехугольник — параллелограмм по определению.
Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы.
На рисунке 1 основаниями призмы являются многоугольникиА1А2…Аn и В1В2…Вn. Боковые грани – параллелограммы A1A2B1B2, …, AnA1B1Bn, а боковые ребра — отрезки А1В1, А2В2, …, АnВn.
Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов).
Призму с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают А1А2…АnВ1В2…Вn и называют n-угольной призмой.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2).
Рисунок 2 – Наклонная призма
Виды призм
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.
- Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
- На рисунке 3 приведены примеры прямых призм
- Рисунок 3 – Виды призм.
Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.
Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб.
Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы.
- Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы – сумма площадей ее боковых граней.
- Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
- Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников.
Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P.
Таким образом Sбок=Pоснh.
Пространственная теорема Пифагора
Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным.
Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.
- Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед
- Доказательство
- Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем квадрат длины его диагонали А1С.
- Для этого рассмотрим треугольник А1АС:
Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС – прямоугольный.
По теореме Пифагора получаем: А1С2=АА12+АС2 (1).
Выразим теперь АС. По условию в основании лежит прямоугольник, значит ΔАВС – прямоугольный. По тереме Пифагора получаем: АС2=ВС2+АВ2.
- Подставив результат в (1), получим: А1С2=АА12+ВС2+АВ2.
- Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.
- Таким образом, А1С2=АА12+АD2+АВ2.
- Что и требовалось доказать
- Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.
- Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
- Задание 1.
- Найдите для каждой картинки пару
- 1)
2) 
3) 
6)
Решение
Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.
- Задание 2
- Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?
- 1) параллельные плоскости
- 2) отрезок
- 3) точка
- 4) четырехугольник
- Решение:
Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ.
Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.
Ответ: 2,3,4
Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5443/conspect/
Многогранники, основные понятия / math4school.ru
- Основные понятия
- Призма
- Параллелепипед
- Пирамида
- Правильные многогранники
 |
Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. |
 |
Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника. Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины – вершинами многогранника:
|
 |
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники, о которых шла речь, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.
|
 |
Призма называется прямой, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.
|
 |
Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым рёбрам,являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими, через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани: ВВ1D1D – диагональное сечение. Если в произвольной наклонной призме провести сечение, перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра, и площадь этого сечения обозначить S⊥, а периметр – Р⊥, тогда:
|
 |
|
 |
Sп = 2·(ab+bc+ac); V = abc. |
  |
|
| В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На первом рисунке, приведённом выше, показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме трёх названных. Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на втором рисунке. | |
 |
Sп = 6·a², Sп = 2·d², |
Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям. У куба девять плоскостей симметрии:
|
|
Пирамидой (например, SABCDE) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE) – основания пирамиды, точки (S), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки (SA, SB, SC, SD, SE), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:
Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. |
|
|
|
|
|
| Усеченная пирамида (например, АВСDA1В1С1D1), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды (АA1В1В, АA1С1С, DD1С1С, АA1D1D) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами. | |
|
|
| Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. |
Источник: http://math4school.ru/mnogogranniki.html
Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. Видеоурок. Геометрия 10 Класс
С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».
Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Рассмотрим следующие примеры многогранников:
1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).
Рис. 1
2. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).
- Рис. 2
- Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
- Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.
- Ребра – это стороны граней.
- Вершины – это концы ребер.
Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.
- Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.
- Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.
- Вершины: А, В, С, D.
Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 2).
- Грани: параллелограммы АА1D1D, D1DСС1, ВВ1С1С, АА1В1В, ABCD, A1B1C1D1.
- Ребра: АА1, ВВ1, СС1, DD1, AD, A1D1, B1C1, BC, AB, A1B1, D1C1, DC.
- Вершины: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.
- Важным частным случаем многогранника является призма.
Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 3).
- Рис. 3
- Равные треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
- То есть АВСА1В1С1 – треугольная призма, если:
- 1) Треугольники АВС и А1В1С1 равны.
- 2) Треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β).
- 3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
- АВС и А1В1С1 – основания призмы.
- АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы.
- Если с произвольной точки Н1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.
Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.
Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Например, ребро АА1 перпендикулярно плоскости АВС. Ребро АА1 является высотой этой призмы.
Рис. 4
Заметим, что боковая грань АА1В1В перпендикулярна к основаниям АВС и А1В1С1, так как она проходит через перпендикуляр АА1 к основаниям.
Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА1В1С1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А1 перпендикуляр А1Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА1 на плоскость АВС.
Тогда угол между прямой АА1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А1АН.
Рис. 5
Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Рассмотрим, как она получается.
- 1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1.
- 2) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β).
- 3) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА1║ВВ1║СС1║DD1.
Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Например, АС1 – диагональ четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1.
Определение. Если боковое ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.
Рис. 6
Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 изображен на рис. 7.
Рассмотрим, как он устроен:
1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы ABCD и A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1.
2) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║A1B1C1 (α ║ β).
3) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА1║ВВ1║СС1║DD1.
Рис. 7
Из точки А1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А1Н является высотой.
Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).
- 1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1: ABCDEF = A1B1C1D1E1F1.
- 2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А1B1C (α ║ β).
- 3) Шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА1║ВВ1…║FF1.
Рис. 8
Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.
Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1.
Рис. 9
Треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма — прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.
- Итак, если треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, то:
- 1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA1 ⊥ АВС.
- 2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.
Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается Sполн.
Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается Sбок.
- Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:
- Sполн = Sбок+ 2Sосн.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
- Доказательство проведем на примере треугольной призмы.
Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС.
АА1 = h.
Доказать: Sбок = Росн ∙ h.
- Рис. 10
- Доказательство.
- Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники.
- Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С:
- Sбок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h.
- Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать.
Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.
Список рекомендованной литературы
- Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
Рекомендованное домашнее задание
- Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
- Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
- Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
- В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/mnogogranniki/ponyatie-mnogogrannika-prizma-ploschad-poverhnosti-prizmy?konspekt
Понятие многогранника — ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА. ПРИЗМА — МНОГОГРАННИКИ
- Цель урока:
- — ввести понятие многогранника, призмы и их элементов.
- Ход урока
- I. Итоги контрольной работы
- II. Актуализация опорных знаний Фронтальный опрос
- 1) Сумма углов треугольника.
- 2) Свойства углов при основании равнобедренного треугольника.
- 3) Чему равны острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника?
- 4) Свойство катета, лежащего против угла в 30°.
- 5) Что называется углом между прямой и плоскостью?
- 6) Что называется линейным углом двугранного угла?
- 7) Найдите АС и ВС.
- Решение (рис. 1):
8) Найдите AF, если A BCD — равнобедренная трапеция. ВС = 14 см, AD = 42 см (рис. 2).
Решение:
Вопрос учащимся: а) Какое дополнительное построение нужно выполнить? (СК ⊥ AD); б) Рассмотреть треугольники AFB и CKD (доказать равенство); в) На основании того, что ΔAFB = ΔCKD, сделать вывод равенства AF = KD; г) AF = (AD — ВС) : 2 = (42 — 18) : 2 = 12 см.
- III. Мотивация и сообщение темы урока
- 1) Напомнить известные учащимся понятия тетраэдра и параллелепипеда.
- Заранее предложить двум учащимся выступить с небольшими сообщениями на темы: «Параллелепипед и его основные элементы» и «Тетраэдр и его основные элементы».
2) Слово учителя: Обратите внимание, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Многие строения в окружающем нас мире, в частности, пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.
Многие многогранники изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов, соли — куб, льда, хрусталя — «заточенная» с двух сторон призма.
(При объяснении и разговоре с учащимися использовать как можно больше разнообразных моделей, рисунков, чертежей).
Кристаллы граната, кварца, каменной соли.
IV. Объяснение темы
1) Вводятся элементы многогранников: грани, ребра, вершины, диагонали граней, диагонали многогранника (в соответствии с п. 25). Вопрос: из чего состоит поверхность многогранника? (Ответ: из многоугольников.)
Вывод: многоугольники — это грани.
Вопрос: что такое многоугольник? (Ответ: это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямоугольных отрезков.)
- Вывод: прямолинейные отрезки — это ребра, а концы ребер — это вершины.
- Отрезок, соединяющий две несоседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, — это диагональ многогранника.
- 2) В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2, то есть В — Р + Г, где В — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней.
- Для закрепления понятий элементов многогранников следует с учащимися заполнить таблицу уже известных многогранников.
| № | Наименование многогранника | В | Р | Г | Эйлерова характеристика |
| 1 | Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 4 – 6 + 4 = 2 |
| 2 | Параллелепипед | 8 | 12 | 6 | 8 — 12 + 6 = 2 |
| 3 | Куб | 8 | 12 | 6 | 8 — 12 + 6 = 2 |
3) Вводится понятие призма, что это тоже многогранник, а также ее элементов: высота призмы, боковые грани, боковые ребра (в соответствие с п. 27).
Раздать на парту модели пирамиды или призмы и дать возможность самостоятельно подсчитать Эйлерову характеристику.
Затем сделать вывод на основании вычислений, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой призмы и продолжить заполнение таблицы.
| 4 | n — угольная пирамида | n + 1 | 2n | n + 1 | n + 1 – 2n + n + 1 = 2 |
| 5 | n — угольная призма | 2n | 3n | n + 2 | 2n – 3n + n + 2 = 2 |
Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году.
И оно верно для произвольного выпуклого многогранника. Наряду с ними существуют невыпуклые многогранники.
Дается определение в соответствие с п. 25 и рис. 67, 68, 69.
4) В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.
Доказать это можно с помощью разверток, например, тетраэдр. Очевидно, что φ1 + φ2 + φ3 < 360°.
Параллелепипед (прямоугольный).
Вопрос: Сколько углов имеют общую вершину? (Ответ: три, причем все по 90°.)
- Вывод: 90° + 90° + 90° = 270° < 360°.
- V. Закрепление изученного материала
- Контрольные вопросы
- 1) Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.
- 2) Какой многогранник называется выпуклым?
3) Дан куб — выпуклый многогранник (проверьте). Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?
4) Дан выпуклый многогранник. Что называют а) его гранью; б) его ребром; в) его вершиной?
5) Назовите известные вам многогранники.
а) Выпуклым или не выпуклым является каждый из них? б) Сколько граней, ребер и вершин у каждого?
6) Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?
В = 9; Г = 9; Р = 16; 9 — 16 + 9 = 2. Да.
7) Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?
В = 5; Г = 6; Р = 9; 5 — 9 + 6 = 2. Да.
8) Сколько трехгранных, двугранных и плоских углов: а) у тетраэдра; б) у параллелепипеда.
VI. Решение задач (применение знаний в стандартной ситуации)
№ 219. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, АВ = 12 см, ВС = 5 см, угол между АС1 и (ABC) 45° (рис. 3).
Найти: ВВ1.
№ 220. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, АВ = ВС, АС = 24 см, BD = 10 cm, AA1 = 10 см (рис. 4).
Найти: большую диагональ.
Решение: Большая диагональ АС1 (так как большая диагональ ромба АС является проекцией диагонали АС1, чем больше ее проекция, тем больше ее наклонная). ΔACC1 — прямоугольный треугольник. (Почему?)
(Ответ: 26 см.)
№ 223. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб, ABC1D1 — сечение. (рис. 5).
- Найти: АВ; АС1.
- Решение:
- (Ответ: АВ = 8 см, АС1 = )
- Домашнее задание
П. 25, 26, 27.
Вопросы: 1, 2, к гл. III. № 220 (решение на стр. 6); № 295 (а, б); № 295 (в, г) — по желанию, для более подготовленных учеников.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — наклонный параллелепипед. ABCD — ромб. СС1 составляет одинаковые углы с DC и ВС, то есть ∠С1СВ = ∠C1D (рис. 6).
- Доказать: а) СС1 ⊥ BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD ⊥ АА1С1 г) АА1С1 ⊥ BB1D1.
- Доказательство: а) СС1 || АА1, ABCD — ромб.
Отсюда ∠A1AD = ∠A1AB. Построим А1Н ⊥ плоскости ABC, НМ ⊥ АВ, HN ⊥ AD, отрезки А1М и A1N. Нам надо доказать, что высота параллелепипеда А1Н проецируется в точку Н на диагонали АС.
Так как по построению А1Н ⊥ АВ и MN ⊥ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем: A1М ⊥ АВ. Так как А1Н ⊥ AD и NH ⊥ AD, то по теореме о 3-х перпендикулярах имеем: A1N ⊥ AD. ΔА1АМ = ΔA1AN, (А1А — общая, они прямоугольные и имеют по равному острому углу).
Отсюда следует, что AM = AN. ΔАНМ = ΔAHN, (так как они прямоугольные, гипотенуза АН — общая, AN = AM). Отсюда следует, что ∠НАМ = ∠HAN, то есть точка Н лежит на биссектрисе угла ромба, которая является диагональю ромба; а диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Так как A1H ⊥ AC и А1А ⊥ DB (по теореме о 3-х перпендикулярах), но так как А1А || C1C, то C1C || DB.
- Утверждение а) доказано.
- б) Докажем, что BB1D1D — прямоугольник.
- Так как D1D || DB и DD1 || В1В, то DD1B1B — параллелограмм.
- В1В || A1D1, но так как доказано, что А1А ⊥ DB.
- Значит, в параллелограмме D1DB1B ∠B1BD = 90°, и поэтому данный параллелограмм — прямоугольник.
- в) Докажем, что BD ⊥ плоскости АА1С1.
DB ⊥ АС и DB ⊥ АА1 — по свойству диагоналей ромба. Отсюда DB ⊥ плоскости А1АСС1, то есть в) доказано.
Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/46.html
Презентация — Понятие многогранника — Призма
Слайды и текст этой презентации
Понятие многогранникаЛ.С. Атанасян «Геометрия 10-11» Призма
Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.
Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. 
Октаэдр составлен из восьми треугольников.Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями.
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Прямоугольный параллелепипедМногогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Невыпуклый многогранник
ПризмаА1А2АnB1B2BnB3А3Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. n-угольная призма. Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания призмы. Параллелограммы А1В1В2В2, А2В2В3А3 и т.д. боковые грани призмы
ПризмаА1А2АnB1B2BnB3А3Отрезки А1В1, А2В2 и т.д. — боковые ребра призмы Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. hhPocн В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 450. Найдите боковое ребро параллелепипеда. № 219.ВСА1D1С1В1?DА12 см5 см Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.№ 220.ВСА1D1С1В1?DА241010 см Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.№ 221.АВСС1В1А18688810 Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.№ 222.2598HВСDА1D1С1В1А9 Через два противолежащих ребра проведено сечение, площадь которого равна см2. Найдите ребро куба и его диагональ.№ 223.DАВСА1D1С1В1aaaS= Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 300. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.№ 225.ВСА1D1С1В1DАa2a В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см. № 226.DАВСD1С1В1А1224O NАB C1B1А1 C Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см, ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 450. Проекцией вершины А1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС1В1В.№ 228.1313101200А1 Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 1200 между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.№ 230.АВСС1В135S=35 см2 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 600. Меньшая из площадей диагональных равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.№ 231.ВСА1D1С1В1D815600S=130см2А Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.№ 236.A3A4S1=A1A2* lS2=A2A3* lS3=A3A4* lS4=A4A1* l Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.№ 237.АВ СDА1D1 С1125АB 24 C1B1А1 C 3512 В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.№ 238.Dd Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол , а с одной из боковых граней – угол . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. № 232.А1В1С1D1АВС Основание прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D, перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1=10см, АD=27см, DC= 12см. № 233.АСВВ1А1С1102712Sсеч = 10 * 18 Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите Sсеч , если катеты равны 20см и 21см, а боковое ребро равно 42 см.№ 234.АСВВ1А1С1422021D Высота правильной четырехугольной призмы равна , а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD1С1С. А1В1С1D1АВСО88
Источник: https://lusana.ru/presentation/4353
Видеоурок «Понятие многогранника»
Содержание:
§ 1 Многогранные формы (многогранники)
Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники простейшие фигуры на плоскости.
Многогранные формы мы видим ежедневно: книга, комната, многоэтажный дом (с горизонтальной крышей) – это прямоугольные параллелепипеды.
Граненый карандаш, гайка – дают представления о призмах.
— многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды – такие формы имеют известные египетские пирамиды или башни Кремля.
Ранее были рассмотрены тетраэдр и параллелепипед: тетраэдр – это поверхность, составленная из четырех треугольников, параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов. Каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства .
§ 2 Из чего состоит многогранник
(определение и элементы многогранника)
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником
Тетраэдр и параллелепипед – примеры многогранников. Октаэдр, представленный на рисунке, так же является многогранником. Он составлен из восьми треугольников.
Обратим внимание, из чего состоит поверхность многогранника. Это многоугольники они называются гранями многогранника. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.
§ 3 Классификация многогранников (выпуклые, невыпуклые) 
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Тетраэдр, параллелепипед, октаэдр – выпуклые многогранники.
Существуют и невыпуклые многогранники, такие как на рисунке.
Поясним сказанное на примере знакомого нам куба. Куб есть выпуклый многогранник.
- Его поверхность состоит из шести квадратов: АВСD,AA1B1B, … Они являются его гранями.
- Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, СС1…
- Вершинами куба являются вершины квадратов А,В,С, D, А1,В1…
- У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.
- Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
§ 4 Сумма всех плоских углов при вершине многогранника 
- Отметим так же то, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.
- Это утверждение поясняет следующая иллюстрация:
тетраэдр «разрезан» вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что оказались расположенными в одной плоскости . Видно, что сумма всех плоских углов при вершине А, т.е. меньше 360°
Список рекомендованной литературы:
- Геометрия. 10 – 11 классы : учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил. – (МГУ — в школе)
- Учебно – методическое пособие в помощь школьному учителю Составитель Яровенко В.А. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л. С. Атанасяна и др. ( М. : Просвещение) 10 класс
- Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 классы. Геометрия. – М. : Илекса , 2006 . – 80 с.
- М. Я Выгодский Справочник по элементарной математике М. : АСТ Астрель , 2006. — 509с.
- Аванта+. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика 2-е изд., перераб. — М.: Мир энциклопедий Аванта+: Астрель 2007. — 621 с. Ред. коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М. Самсонов
Источник: https://znaika.ru/catalog/10-klass/geometry/Ponyatie-mnogogrannika.html
Загрузка...
