Понятие многогранника. призма — в помощь студенту

  • Геометрия, 10 класс
  • Урок № 14. Призма
  • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
  • Понятие призмы и виды призм;
  • Элементы призмы: вершины, ребра, грани;
  • Понятие площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы, формулы для вычисления;
  • Призма как модель реальных объектов;
  • Пространственная теорема Пифагора.
  1. Глоссарий по теме
  2. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований.
  4. Боковые ребра – общие стороны боковых граней.

    alt

    Узнай стоимость своей работы

    Бесплатная оценка заказа!

    Оценим за полчаса!
  5. Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.
  6. Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
  7. Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
  8. Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней.

  9. Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.
  10. Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.
  11. Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник.
  12. Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа,

геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение призмы. Элементы призмы.

Рассмотрим два равных многоугольника А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А1В1, А2В2…АnВn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рисунок 1 – Призма

Заметим, что каждый из n четырехугольников (A1A2B1B2, …AnA1B1Bn) является параллелограммом. Убедимся в этом на примере четырехугольника A1A2B1B2.

A1A2 и B1B2 параллельны по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью. А1В1 и А2В2 по условию.

Таким образом, в четырехугольнике A1A2B1B2 противоположные стороны попарно параллельны, значит этот четырехугольник — параллелограмм по определению.

Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы.

На рисунке 1 основаниями призмы являются многоугольникиА1А2…Аn и В1В2…Вn. Боковые грани – параллелограммы A1A2B1B2, …, AnA1B1Bn, а боковые ребра — отрезки А1В1, А2В2, …, АnВn.

Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов).

Призму с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают А1А2…АnВ1В2…Вn и называют n-угольной призмой.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рисунок 2 – Наклонная призма

Виды призм

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.

  • Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
  • На рисунке 3 приведены примеры прямых призм
  • Понятие многогранника. Призма - в помощь студентуПонятие многогранника. Призма - в помощь студентуПонятие многогранника. Призма - в помощь студенту
  • Рисунок 3 – Виды призм.

Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб.

Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы.

  1. Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы – сумма площадей ее боковых граней.
  2. Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  3. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников.

Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P.

Таким образом Sбок=Pоснh.

Пространственная теорема Пифагора

Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

  • Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед
  • Доказательство
  • Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем квадрат длины его диагонали А1С.
  • Для этого рассмотрим треугольник А1АС:

Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС – прямоугольный.

По теореме Пифагора получаем: А1С2=АА12+АС2 (1).

Выразим теперь АС. По условию в основании лежит прямоугольник, значит ΔАВС – прямоугольный. По тереме Пифагора получаем: АС2=ВС2+АВ2.

  1. Подставив результат в (1), получим: А1С2=АА12+ВС2+АВ2.
  2. Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.
  3. Таким образом, А1С2=АА12+АD2+АВ2.
  4. Что и требовалось доказать
  5. Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.
  6. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
  7. Задание 1.
  8. Найдите для каждой картинки пару
  9. 1)Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту2) Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту3) Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

6)

Решение

Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.

  • Задание 2
  • Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?
  • 1) параллельные плоскости
  • 2) отрезок
  • 3) точка
  • 4) четырехугольник
  • Решение:

Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ.

Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.

Ответ: 2,3,4

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5443/conspect/

Многогранники, основные понятия / math4school.ru

  • Основные понятия
  • Призма
  • Параллелепипед
  • Пирамида
  • Правильные многогранники
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника. Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины – вершинами многогранника:

  1. ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD – грани;
  2. AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – рёбра;
  3. A, B, C, D, E, F – вершины многогранника ABCDEF.
  4. Теорема Эйлера для многогранников:
  5. Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его ребер и G — число граней, то верно равенство:
  6. V – R + G = 2.
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники, о которых шла речь, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.

  • Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
  • Боковые рёбра призмы равны и параллельны.
  • Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.
  • Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.
  • Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы.
  • Призма называется п-угольной, если её основание – п-угольник.
  • АВСA1В1С1 – треугольная призма;
  • ΔАВС и ΔA1В1С1 – основания;
  • АA1, ВВ1, СС1 – боковые рёбра;
  • АA1В1В, АA1С1С, ВВ1С1С – боковые грани;
  • A1О – высота призмы;
  • α – угол наклона бокового ребра к основанию призмы.   
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Призма называется прямой, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.

  1. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.
  2. Боковое ребро прямой призмы является её высотой.
  3. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
  4. Sб = Pосн·АА1.
  5. Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым рёбрам,являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими, через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани: ВВ1D1D – диагональное сечение. Если в произвольной наклонной призме провести сечение, перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра, и площадь этого сечения обозначить S⊥, а периметр – Р⊥, тогда:

  • для боковой поверхности призмы верно:
  • Sб = Р⊥·АА1;
  • V = S⊥·АА1.
  • В прямой призме:
  • S⊥= Sосн;
  • Р⊥= Pосн·
  • В любой призме площадь полной поверхности считается как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:
  • Sп = Sб + 2·Sосн.
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту
  1. Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.
  2. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.
  3. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
  4. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
  5. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани.
  6. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
  7. Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту
  • Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
  • Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
  • Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами.
  • У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
  • В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений:
  • d² = a² + b² + c².
  • В прямоугольном параллелепипеде верно:
  • для площади полной поверхности:

Sп = 2·(ab+bc+ac); V = abc.

     Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту           Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту     
В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На первом рисунке, приведённом выше, показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме трёх названных. Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на втором рисунке.
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту
  1. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
  2. Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны:
  3. В кубе верно:
  • для площади полной поверхности:

Sп = 6·a²,   Sп = 2·d²,

Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям. У куба девять плоскостей симметрии:

  • три из них, проходя через середины четырёх параллельных ребер куба, дают в сечениях квадраты;
  • остальные шесть – это все плоскости диагональных сечений куба.
Пирамидой (например, SABCDE) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE) – основания пирамиды, точки (S), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки (SA, SB, SC, SD, SE), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:

  • ΔSAB, ΔSBC, ΔSCD, ΔSDE, ΔSEA – боковые грани.
  • Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. 
  • Высотой пирамиды (SО) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

  1. α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;
  2. β – угол наклона боковой  грани (SED) пирамиды к плоскости её основания.
  3. Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
  • все боковые ребра равны;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
  • боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
  • высоты боковых граней равны;
  • боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.
  • Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды:
  • V = 1/3·Sоснh.
  • Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
  • Sп = Sб + Sосн. 

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

  1. Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части:
  2. пирамиду, подобную данной (SA1В1С1) и
  3. многогранник, называемый усеченной пирамидой (AВСA1В1С1).
  4. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях (ΔАВС и ΔA1В1С1), называются основаниями, остальные грани (АA1В1В, АA1С1С, ВВ1С1С) называются боковыми гранями.
  5. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.
  6. Высота усеченной пирамиды (ОО1) – это расстояние между плоскостями её оснований.
  7. Если S1 и S2 – площади оснований усечённой пирамиды и h – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:
  • Пирамида (например, SABCD) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник (ABCD – квадрат), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О – центр описанной и вписанной окружностей основания).
  • Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.
  • Боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
  • Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.
  • Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
  • Sб = ½Pосн·SL.
Усеченная пирамида (например, АВСDA1В1С1D1), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды (АA1В1В, АA1С1С, DD1С1С, АA1D1D) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.
  1. Тетраэдр                                          Куб                                          Октаэдр
  2.                                                               Додекаэдр                                                  Икосаэдр
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. 

Источник: http://math4school.ru/mnogogranniki.html

Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. Видеоурок. Геометрия 10 Класс

С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 1

2. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

  • Рис. 2
  • Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
  • Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.
  • Ребра – это стороны граней.
  • Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

  1. Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.
  2. Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.
  3. Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 2).

  • Грани: параллелограммы АА1D1D, D1DСС1, ВВ1С1С, АА1В1В, ABCD, A1B1C1D1.
  • Ребра: АА1, ВВ1, СС1, DD1, AD, A1D1, B1C1, BC, AB, A1B1, D1C1, DC.
  • Вершины: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1. 
  • Важным частным случаем многогранника является призма.

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 3).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

  1. Рис. 3
  2. Равные треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
  3. То есть АВСА1В1С1 – треугольная призма, если:
  4. 1) Треугольники АВС и А1В1С1  равны.
  5. 2) Треугольники АВС и А1В1С1  расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β).
  6. 3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.
  7. АВС и А1В1С1 – основания призмы.
  8. АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы.
  9. Если с произвольной точки Н1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Например, ребро АА1 перпендикулярно плоскости АВС.  Ребро АА1 является высотой этой призмы.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 4

Заметим, что боковая грань АА1В1В перпендикулярна к основаниям АВС и А1В1С1, так как она проходит через перпендикуляр АА1 к основаниям.

Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА1В1С1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А1 перпендикуляр А1Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА1 на плоскость АВС.

Тогда угол между прямой АА1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А1АН.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 5

Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается.

  • 1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1.
  • 2) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β).
  • 3) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1  расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА1║ВВ1║СС1║DD1.

Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, АС1 – диагональ четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1.

Определение. Если боковое ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 6

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 изображен на рис. 7.

Рассмотрим, как он устроен:

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы ABCD и A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1.

2) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║A1B1C1 (α ║ β).

3) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА1║ВВ1║СС1║DD1.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 7

Из точки А1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А1Н является высотой.

Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).

  1. 1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1: ABCDEF = A1B1C1D1E1F1.
  2. 2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А1B1C (α ║ β).
  3. 3) Шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА1║ВВ1…║FF1.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 8

Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Рис. 9

Треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма — прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

  • Итак, если треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, то:
  • 1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA1 ⊥ АВС.
  • 2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.

Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается Sполн.

Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается Sбок.

  1. Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:
  2. Sполн = Sбок+ 2Sосн.
  3. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
  4. Доказательство проведем на примере треугольной призмы.

Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС.

АА1 = h.

Доказать: Sбок = Росн ∙ h.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

  • Рис. 10
  • Доказательство.
  • Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники.
  • Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С:
  • Sбок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h.
  • Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать.

Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
  2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

Рекомендованное домашнее задание

  1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
  2. Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
  3. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
  4. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/mnogogranniki/ponyatie-mnogogrannika-prizma-ploschad-poverhnosti-prizmy?konspekt

Понятие многогранника — ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА. ПРИЗМА — МНОГОГРАННИКИ

  • Цель урока:
  • — ввести понятие многогранника, призмы и их элементов.
  • Ход урока
  • I. Итоги контрольной работы
  • II. Актуализация опорных знаний Фронтальный опрос
  • 1) Сумма углов треугольника.
  • 2) Свойства углов при основании равнобедренного треугольника.
  • 3) Чему равны острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника?
  • 4) Свойство катета, лежащего против угла в 30°.
  • 5) Что называется углом между прямой и плоскостью?
  • 6) Что называется линейным углом двугранного угла?
  • 7) Найдите АС и ВС.
  • Решение (рис. 1):

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

8) Найдите AF, если A BCD — равнобедренная трапеция. ВС = 14 см, AD = 42 см (рис. 2).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Решение:

Вопрос учащимся: а) Какое дополнительное построение нужно выполнить? (СК ⊥ AD); б) Рассмотреть треугольники AFB и CKD (доказать равенство); в) На основании того, что ΔAFB = ΔCKD, сделать вывод равенства AF = KD; г) AF = (AD — ВС) : 2 = (42 — 18) : 2 = 12 см.

  1. III. Мотивация и сообщение темы урока
  2. 1) Напомнить известные учащимся понятия тетраэдра и параллелепипеда.
  3. Заранее предложить двум учащимся выступить с небольшими сообщениями на темы: «Параллелепипед и его основные элементы» и «Тетраэдр и его основные элементы».

2) Слово учителя: Обратите внимание, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Многие строения в окружающем нас мире, в частности, пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.

Многие многогранники изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов, соли — куб, льда, хрусталя — «заточенная» с двух сторон призма.

(При объяснении и разговоре с учащимися использовать как можно больше разнообразных моделей, рисунков, чертежей).

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Кристаллы граната, кварца, каменной соли.

IV. Объяснение темы

1) Вводятся элементы многогранников: грани, ребра, вершины, диагонали граней, диагонали многогранника (в соответствии с п. 25). Вопрос: из чего состоит поверхность многогранника? (Ответ: из многоугольников.)

Вывод: многоугольники — это грани.

Вопрос: что такое многоугольник? (Ответ: это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямоугольных отрезков.)

  • Вывод: прямолинейные отрезки — это ребра, а концы ребер — это вершины.
  • Отрезок, соединяющий две несоседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, — это диагональ многогранника.
  • 2) В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2, то есть В — Р + Г, где В — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней.
  • Для закрепления понятий элементов многогранников следует с учащимися заполнить таблицу уже известных многогранников.
Наименование многогранника В Р Г Эйлерова характеристика
1 Тетраэдр 4 6 4 4 – 6 + 4 = 2
2 Параллелепипед 8 12 6 8 — 12 + 6 = 2
3 Куб 8 12 6 8 — 12 + 6 = 2

3) Вводится понятие призма, что это тоже многогранник, а также ее элементов: высота призмы, боковые грани, боковые ребра (в соответствие с п. 27).

Раздать на парту модели пирамиды или призмы и дать возможность самостоятельно подсчитать Эйлерову характеристику.

Затем сделать вывод на основании вычислений, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой призмы и продолжить заполнение таблицы.

4 n — угольная пирамида n + 1 2n n + 1 n + 1 – 2n + n + 1 = 2
5 n — угольная призма 2n 3n n + 2 2n – 3n + n + 2 = 2

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году.

И оно верно для произвольного выпуклого многогранника. Наряду с ними существуют невыпуклые многогранники.

Дается определение в соответствие с п. 25 и рис. 67, 68, 69.

4) В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Доказать это можно с помощью разверток, например, тетраэдр. Очевидно, что φ1 + φ2 + φ3 < 360°.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Параллелепипед (прямоугольный).

Вопрос: Сколько углов имеют общую вершину? (Ответ: три, причем все по 90°.)

  1. Вывод: 90° + 90° + 90° = 270° < 360°.
  2. V. Закрепление изученного материала
  3. Контрольные вопросы
  4. 1) Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.
  5. 2) Какой многогранник называется выпуклым?

3) Дан куб — выпуклый многогранник (проверьте). Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

4) Дан выпуклый многогранник. Что называют а) его гранью; б) его ребром; в) его вершиной?

5) Назовите известные вам многогранники.

а) Выпуклым или не выпуклым является каждый из них? б) Сколько граней, ребер и вершин у каждого?

6) Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

В = 9; Г = 9; Р = 16; 9 — 16 + 9 = 2. Да.

7) Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

В = 5; Г = 6; Р = 9; 5 — 9 + 6 = 2. Да.

8) Сколько трехгранных, двугранных и плоских углов: а) у тетраэдра; б) у параллелепипеда.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

VI. Решение задач (применение знаний в стандартной ситуации)

№ 219. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, АВ = 12 см, ВС = 5 см, угол между АС1 и (ABC) 45° (рис. 3).

Найти: ВВ1.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

№ 220. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, АВ = ВС, АС = 24 см, BD = 10 cm, AA1 = 10 см (рис. 4).

Найти: большую диагональ.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Решение: Большая диагональ АС1 (так как большая диагональ ромба АС является проекцией диагонали АС1, чем больше ее проекция, тем больше ее наклонная). ΔACC1 — прямоугольный треугольник. (Почему?)

(Ответ: 26 см.)

№ 223. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб, ABC1D1 — сечение. (рис. 5).

  • Найти: АВ; АС1.
  • Решение:
  • (Ответ: АВ = 8 см, АС1 = )
  • Домашнее задание

П. 25, 26, 27.

Вопросы: 1, 2, к гл. III. № 220 (решение на стр. 6); № 295 (а, б); № 295 (в, г) — по желанию, для более подготовленных учеников.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — наклонный параллелепипед. ABCD — ромб. СС1 составляет одинаковые углы с DC и ВС, то есть ∠С1СВ = ∠C1D (рис. 6).

  1. Доказать: а) СС1 ⊥ BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD ⊥ АА1С1 г) АА1С1 ⊥ BB1D1.
  2. Доказательство: а) СС1 || АА1, ABCD — ромб.

Отсюда ∠A1AD = ∠A1AB. Построим А1Н ⊥ плоскости ABC, НМ ⊥ АВ, HN ⊥ AD, отрезки А1М и A1N. Нам надо доказать, что высота параллелепипеда А1Н проецируется в точку Н на диагонали АС.

Так как по построению А1Н ⊥ АВ и MN ⊥ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем: A1М ⊥ АВ. Так как А1Н ⊥ AD и NH ⊥ AD, то по теореме о 3-х перпендикулярах имеем: A1N ⊥ AD. ΔА1АМ = ΔA1AN, (А1А — общая, они прямоугольные и имеют по равному острому углу).

Отсюда следует, что AM = AN. ΔАНМ = ΔAHN, (так как они прямоугольные, гипотенуза АН — общая, AN = AM). Отсюда следует, что ∠НАМ = ∠HAN, то есть точка Н лежит на биссектрисе угла ромба, которая является диагональю ромба; а диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Так как A1H ⊥ AC и А1А ⊥ DB (по теореме о 3-х перпендикулярах), но так как А1А || C1C, то C1C || DB.

  • Утверждение а) доказано.
  • б) Докажем, что BB1D1D — прямоугольник.
  • Так как D1D || DB и DD1 || В1В, то DD1B1B — параллелограмм.
  • В1В || A1D1, но так как доказано, что А1А ⊥ DB.
  • Значит, в параллелограмме D1DB1B ∠B1BD = 90°, и поэтому данный параллелограмм — прямоугольник.
  • в) Докажем, что BD ⊥ плоскости АА1С1.

DB ⊥ АС и DB ⊥ АА1 — по свойству диагоналей ромба. Отсюда DB ⊥ плоскости А1АСС1, то есть в) доказано.

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/46.html

Презентация — Понятие многогранника — Призма

Слайды и текст этой презентации

Понятие многогранника. Призма - в помощь студентуПонятие многогранникаЛ.С. Атанасян «Геометрия 10-11» ПризмаПонятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студентуТетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Понятие многогранника. Призма - в помощь студентуОктаэдр составлен из восьми треугольников.Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями.
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.Понятие многогранника. Призма - в помощь студентуПрямоугольный параллелепипедМногогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Невыпуклый многогранник

Понятие многогранника. Призма - в помощь студентуПризмаА1А2АnB1B2BnB3А3Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. n-угольная призма. Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания призмы. Параллелограммы А1В1В2В2, А2В2В3А3 и т.д. боковые грани призмыПонятие многогранника. Призма - в помощь студентуПризмаА1А2АnB1B2BnB3А3Отрезки А1В1, А2В2 и т.д. — боковые ребра призмы Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. hhPocн В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 450. Найдите боковое ребро параллелепипеда. № 219.ВСА1D1С1В1?DА12 см5 см Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.№ 220.ВСА1D1С1В1?DА241010 см Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.№ 221.АВСС1В1А18688810 Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.№ 222.2598HВСDА1D1С1В1А9 Через два противолежащих ребра проведено сечение, площадь которого равна см2. Найдите ребро куба и его диагональ.№ 223.DАВСА1D1С1В1aaaS= Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 300. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.№ 225.ВСА1D1С1В1DАa2a В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см. № 226.DАВСD1С1В1А1224O NАB C1B1А1 C Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см, ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 450. Проекцией вершины А1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС1В1В.№ 228.1313101200А1 Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 1200 между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.№ 230.АВСС1В135S=35 см2 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 600. Меньшая из площадей диагональных равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.№ 231.ВСА1D1С1В1D815600S=130см2А Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.№ 236.A3A4S1=A1A2* lS2=A2A3* lS3=A3A4* lS4=A4A1* l Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.№ 237.АВ СDА1D1 С1125АB 24 C1B1А1 C 3512 В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.№ 238.Dd Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол , а с одной из боковых граней – угол . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. № 232.А1В1С1D1АВС Основание прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D, перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1=10см, АD=27см, DC= 12см. № 233.АСВВ1А1С1102712Sсеч = 10 * 18 Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите Sсеч , если катеты равны 20см и 21см, а боковое ребро равно 42 см.№ 234.АСВВ1А1С1422021D Высота правильной четырехугольной призмы равна , а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD1С1С. А1В1С1D1АВСО88

Источник: https://lusana.ru/presentation/4353

Видеоурок «Понятие многогранника»

Содержание:

§ 1  Многогранные формы (многогранники)

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники простейшие фигуры на плоскости.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Многогранные формы мы видим ежедневно: книга, комната, многоэтажный дом (с горизонтальной крышей) – это прямоугольные параллелепипеды.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Граненый карандаш, гайка – дают представления о призмах.

— многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды – такие формы имеют известные египетские пирамиды или башни Кремля.

Ранее были рассмотрены тетраэдр и параллелепипед: тетраэдр – это поверхность, составленная из четырех треугольников, параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов. Каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства .

§ 2  Из чего состоит многогранник

(определение и элементы многогранника)

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Тетраэдр и параллелепипед – примеры многогранников. Октаэдр, представленный на рисунке, так же является многогранником. Он составлен из восьми треугольников.

Обратим внимание, из чего состоит поверхность многогранника. Это многоугольники они называются гранями многогранника. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.

§ 3  Классификация многогранников (выпуклые, невыпуклые) Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Тетраэдр, параллелепипед, октаэдр – выпуклые многогранники.

Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

Существуют и невыпуклые многогранники, такие как на рисунке.

Поясним сказанное на примере знакомого нам куба. Куб есть выпуклый многогранник.

  • Его поверхность состоит из шести квадратов: АВСD,AA1B1B, … Они являются его гранями.
  • Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, СС1…
  • Вершинами куба являются вершины квадратов А,В,С, D, А1,В1…
  • У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.
  • Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

§ 4  Сумма всех плоских углов при вершине многогранника Понятие многогранника. Призма - в помощь студенту

  1. Отметим так же то, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.
  2. Это утверждение поясняет следующая иллюстрация:

тетраэдр «разрезан» вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что оказались расположенными в одной плоскости . Видно, что сумма всех плоских углов при вершине А, т.е.  меньше 360°

Список рекомендованной литературы:

  1. Геометрия. 10 – 11 классы : учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил. – (МГУ — в школе)
  2. Учебно – методическое пособие в помощь школьному учителю Составитель Яровенко В.А. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л. С. Атанасяна и др. ( М. : Просвещение) 10 класс
  3. Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 классы. Геометрия. – М. : Илекса , 2006 . – 80 с.
  4. М. Я Выгодский Справочник по элементарной математике М. : АСТ Астрель , 2006. — 509с.
  5. Аванта+. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика 2-е изд., перераб. — М.: Мир энциклопедий Аванта+: Астрель 2007. — 621 с. Ред. коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М. Самсонов

Источник: https://znaika.ru/catalog/10-klass/geometry/Ponyatie-mnogogrannika.html

Ссылка на основную публикацию