Плотность вероятности и плотность потока вероятности — в помощь студенту

  • Лекция №5.
  • План лекции:
  • уравнение Шредингера,
  • вектор плотности потока вероятности,
  • стационарное уравнение Шредингера,
  • свойства стационарных состояний.
  • Ключевые слова:
  • уравнение Шредингера
  • вектор плотности потока вероятности
  • стационарные состояния
  • Уравнение Шредингера.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как состояние системы меняется со временем. Указанное изменение выражается в явной зависимости волновой функции от времени.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Эта зависимость определяется основным динамическим уравнением квантовой механики, которое, как следует из принципа суперпозиции, должно быть линейным. Кроме того, из принципа причинности следует, что это уравнение не может содержать производные по времени выше первого порядка.

Читайте также:  Акцентуация характера в подростковом возрасте - в помощь студенту

Действительно решение дифференциального уравнения n-ого порядка содержит n постоянных интегрирования, определение которых потребовало бы задания n начальных условий. В действительности имеется только одно начальное условие, которое состоит в задании волновой функции в начальный момент времени.

С учётом высказанных выше общих соображений можно представить искомое уравнение в виде

Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту                                            (1.66), где — неизвестный пока линейный оператор, а r – совокупность координат системы. Ряд соображений указывает на то, что оператор  с точностью до константы совпадает с оператором Гамильтона: . В частности,  можно показать, что при таком выборе в классическом пределе получается уравнение Гамильтона-Якоби классической механики. Итак, основное динамическое уравнение квантовой механики может быть представлено в виде

Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту

и носит название уравнения Шредингера.

Это линейное уравнение в частных производных, содержащее первую производную по времени. Последнее обстоятельство, как уже отмечалось, связано с принципом причинности квантовой механики, а его линейность вытекает из принципа суперпозиции.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Депрессия и подъем - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Уравнение обратимо во времени. Нетрудно убедиться, что уравнение сохраняет свой вид, если наряду с заменой  осуществить замену волновой функцию  на комплексно ей сопряжённую функцию . Таким образом, операция комплексного сопряжения, проведённая над волновой функцией эквивалентна изменению направления времени.

  1. Вектор плотности потока вероятности.
  2. Запишем уравнение Шредингера, а также комплексно сопряжённое ему уравнение в виде

Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту

Полученное выражение представляет собой уравнение непрерывности

Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту

где Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту — плотность вероятности, а вектор Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студентуназывается вектором плотности потока вероятности. Модуль вектора численно равен вероятности прохождения частицы в единицу времени через единичную площадку нормальную к вектору j. Из уравнения (1.70) вытекает непрерывность волновой функции и её первой производной. В особых случаях производная может терпеть разрыв (см. семинар 2.1). Уравнение (1.70) выражает закон сохранения числа частиц в квантовой механике. Проинтегрируем уравнение (1.70) по объёму

Плотность вероятности и плотность потока вероятности - в помощь студенту

Распространяя объём интегрирования на всё пространство и, полагая волновую функцию на бесконечности равной нулю, получим

                                                 , откуда вытекает закон сохранения условия нормировки волновой функции

                                          (1.71).

Стационарное уравнение Шредингера.

В постоянном внешнем поле, когда потенциальная функция и, следовательно, оператор Гамильтона не зависят явно от времени, уравнение Шредингера допускает разделение переменных. Представим волновую функцию в виде

                                            (1.72).

  • Подставляя функцию в уравнение Шредингера получим после деления уравнения на
  • .
  • Поскольку левая часть уравнения зависит только от времени, а правая только от пространственных координат, то ясно, что обе части уравнения не зависят ни от каких переменных и их можно приравнять постоянной величине, имеющей размерность энергии. Обозначая эту величину буквой Е, получим
  •                    (1.73)
  •         .                                 

Уравнение (1.73) называется стационарным уравнением Шредингера.

Оно представляет собой уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона и описывает стационарные состояния с определённым значением энергии Е.

 Для системы состоящей из одной частицы находящейся во внешнем поле , после подстановки оператора Гамильтона в явном виде стационарное уравнение Шредингера принимает вид

                                 (1.74).

Стационарное уравнение Шредингера позволяет определить энергетический спектр системы. Этот спектр может быть как непрерывным, так и дискретным.

При этом его характер может меняться в зависимости от энергии – он может быть дискретным в одной области значений энергии и непрерывным в другой.

Важнейшим фактором для определения характера энергетического спектра являются стандартные требования к волновой функции. Примеры решения стационарного уравнения Шредингера для ряда важных частных случаев будут рассмотрены в главе 2.

Свойства стационарных состояний.

Стационарными называются состояния с определённой энергией системы. Это определение стационарных состояний является одновременно и одним из его свойств.

Волновые функции стационарных состояний можно представить в виде

                                            (1.75), где координатная часть волновой функции удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера (1.73).

  1. Плотность вероятности и плотность потока вероятности стационарных состояний не зависит от времени. Действительно
  2. .
  3. Средние значения и вероятности получения собственных значений наблюдаемых, операторы которых не зависят явно от времени, являются постоянными. Для доказательства первого утверждения запишем выражение для среднего значения наблюдаемой, оператор которой не зависит явно от времени
  4. .

Пусть — собственная функция оператора , принадлежащая собственному значению .  Найдём вероятность получения k-ого собственного значения наблюдаемой F в стационарном состоянии с волновой функцией вида (1.75).

Эта вероятность определяется квадратом модуля коэффициента Ck  в разложении волновой функции (1.75) по собственным функциям оператора . Коэффициент Ck определяется выражением вида (1.

24), которое модифицировано с учётом зависимости волновой функции от пространственных координат и времени

  • .
  • Как следует из предыдущей формулы , что и доказывает сделанное выше утверждение.
  • Волновую функцию произвольного состояния системы можно представить в виде разложения по волновым функциям стационарных состояний. Для случая дискретного энергетического спектра это разложение имеет вид

                                (1.76).

Источник: https://vunivere.ru/work55525

Плотность вероятности перехода — Энциклопедия по экономике

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей Ру рассматриваются плотности вероятностей перехода д, представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время Д7 из состояния St в состояние Sj к длине промежутка Д7  [c.48] На рис. 2.

12 через Л,у и цу7 обозначены плотности вероятностей перехода автомобиля из состояния St в состояние Sj. Напри-
 [c.62]

Можно считать, что события, переводящие автомобиль из состояния в состояние, представляют собой потоки событий (например, потоки отказов).

Если все потоки событий, переводящие систему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским, а плотности вероятности перехода Ху в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему из состояния Si в состояние Sj. Например, Х03 — интенсивность потока отказов автомобиля, который переводит автомобиль из состояния исправен, работает в состояние находится в ТР .
 [c.63]

Исходя из этого, предположим, что состояние «экономики» моделируется, скажем, однородным скачкообразным марковским процессом в = ( t))t o с всего лишь (для простоты рассуждений) двумя состояниями j = 0,1. Пусть Р(0(0) = 0) = Р(0(0) = 1) = и плотности вероятностей перехода AJJ таковы, что ц = —А и AJJ = А, если г j.
 [c.340]

В данном параграфе обсуждаются основные понятия дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Определяются вероятности состояний системы, в которой протекает такой процесс, и плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние. Для вычисления вероятностей состояний выводится система дифференциальных уравнений Колмогорова.
 [c.49]

Определение 4.2. Плотностью вероятности перехода системы S из состояния si в состояние s. в момент времени t называется величина
 [c.51]

Из определения 4.2 плотностей вероятности перехода A (t) видно, что они в общем случае зависят от времени t, неотрицательны и в отличие от вероятностей могут быть больше 1, но ..( )=0, i=l,…, п.
 [c.52]

Определение 4.3. Если при любых is /, i,j=, …, п, плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, и тогда вместо AJ(t) будем писать просто Л.., то марковский процесс с непрерывным временем называется однородным. Если же хотя бы при одной паре значений is / плотность вероятности перехода Л. изменяется с течением времени t, процесс называется неоднородным.
 [c.52]

Определение 4.4. Граф состояний марковского однородного процесса с непрерывным временем, у стрелок которого указаны плотности вероятностей переходов Л., называется размеченным.
 [c.52]

Поскольку плотности вероятностей переходов снабжены двумя индексами, то их удобно расположить в виде матрицы
 [c.53]

Зная плотности вероятностей перехода i,j=i, —, п, можно составить систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний pff), HI,. .., я, а именно справедлива следующая теорема.
 [c.53]

П правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов
 [c.57]

Пример 4.3. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная, например, по матрице плотностей вероятностей переходов
 [c.58]

Будем предполагать, что счетчик банкнот может выйти из строя только во время его эксплуатации. На данном этапе изучения ремонт неисправного счетчика не предполагается (так что состояние s3 является ловушкой).

Будем также считать, что изменения плотностей вероятностей переходов системы S из состояния в состояние пренебрежимо малы, т.е.

плотности вероятностей переходов практически не зависят от времени (тем более, если промежуток времени, в течение которого мы анализируем работу
 [c.59]

Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний s,, s2, sy то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем.

Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояние счетчика в будущем существенно зависит от его состояний в настоящий момент времени и несущественно — от его состояний в прошлом.

Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса.
 [c.60]

Матрица плотностей вероятностей переходов, составленная по графу на рис. 4.3, имеет вид
 [c.60]

Для определения вероятностных функций состояний существенное значение имеют плотности вероятностей переходов из состояния в состояние, поскольку все переходные вероятности в любой момент времени равны нулю.
 [c.65]

Составлять систему дифференциальных уравнений Колмогорова можно либо по размеченному графу состояний, либо по матрице плотностей вероятностей переходов.
 [c.65]

Марковский дискретный процесс с непрерывным временем вероятностные функции состояний плотность вероятности переходов однородный дискретный процесс с непрерывным временем неоднородный дискретный процесс с непрерывным временем матрица плотностей вероятностей переходов система дифференциальных уравнений Колмогорова размеченный граф состояний системы, в котором протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов нормальная форма Коши задача Коши.
 [c.65]

Что называется плотностью вероятности перехода системы из состояния в состояние Сравните ее с переходными вероятностями.
 [c.66]

В условиях примера 4.4 найти вероятности состояний счетчика в момент t=2 (условным временным единицам), если в начальный момент времени счетчик банкнот был исправен и находился в состоянии эксплуатации, а матрица плотностей вероятностей переходов задается следующим образом  [c.66]

Изучение деятельности компании в предшествующий период позволяет сделать заключение о том, что ее переходы из состояния в состояние характеризуются приближенно следующей матрицей плотностей вероятностей переходов, не зависящих от времени  [c.67]

Читайте также:  Международное сотрудничество в области гражданского судопроизводства - в помощь студенту

В данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций.
 [c.123]

Теорема 8.1. Плотность вероятности перехода А..( ) системы S из состояния st в состояние s. в момент времени t под воздействием пуассоновского потока П.. равна интенсивности X(t) этого потока
 [c.124]

Построить размеченный граф состояний системы, в качестве которой мы рассматриваем оба банкомата сформировать матрицу плотностей вероятностей переходов этой системы из состояния в состояние составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей этих состояний определить начальное распределение вероятностей, если в начальный момент времени t=0 банкомат Bt работал исправно, а банкомат В2 находился в ремонте решить составленную систему дифференциальных уравнений Колмогорова при определенных начальных условиях и найти вероятности состояний во втором квартале от начала анализа, т.е. в момент t=2.
 [c.126]

Плотности вероятностей переходов у других стрелок определяются аналогичными рассуждениями.
 [c.127]

Если пронумеровать состояния системы S, например, следующим образом sn— первое, s12— второе, S21— третье, S22— четвертое, а плотность вероятности перехода из г-го состояния Bj-oe (i,j= 1,2,3,4) обозначить через А , то матрица плотностей вероятностей переходов будет выглядеть следующим образом
 [c.128]

Пуассоновский поток дискретный марковский процесс с непрерывным временем плотность вероятности перехода системы из состояния в состояние переход системы из состояния в состояние под воздействием пуассоновского потока интенсивность пуассоновского потока пуассоновские системы.
 [c.138]

Как связаны между собой плотность вероятности перехода А..(0 из f-ro состояния в -е в момент времени t системы, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, с интенсивностью А( ) в тот же момент времени t пуассоновского потока событий, под воздействием которого происходит этот переход  [c.139]

Плотностью вероятности перехода Я/у из состояния S. в состояние Sj называется предел отношения вероятности этого перехода за время А/ к длине промежутка Л , когда последний стремится к нулю  [c.319]

Ввиду того что комбинации этих двух факторов изменчивы, изменяется и состояние рынка. Происходящие при этом фазовые переходы представляют собой изменения формы функции плотности вероятности.
 [c.217]

Когда А достигает значения 2, при h, остающемся равным О, функция плотности вероятности расширяется и становится более плоской мы получаем следующий график — неустойчивый переход . Потенциальный колодец принимает плоскую форму.

Если частица выдавливается в одном направлении, это подобно тому, что она остается на месте до тех пор, пока не воздействует новая сила. Информация не обесценена и тренды сохраняются до тех пор, пока новая информация их не изменит. Результаты jR/5-анализа из гл.

9 служат подтверждением того, что это наиболее общее состояние рынков.
 [c.222]

Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, та определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого интервала [х, х + Дх), примыкающего к х. Разделив эту вероятность на длину интервала Дх, находят среднюю плотность вероятности и при неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является плотностью распределения в точке х  [c.12]

Отсутствие на графе стрелок из одних состояний в другие означает, что плотности вероятностей соответствующих переходов равны нулю. Например, Л21=0.
 [c.52]

Из состояния s,, (оба банкомата исправны) в состояние sa (банкомат Bt исправен, банкомат В2 ремонтируется) система S может перейти под воздействием потока отказов банкомата В и потому на основании теоремы 8.

1 плотность вероятности этого перехода равна интенсивности Я2=3 этого потока.

Обратный переход из состояния s,2 в состояние stl осуществляется под воздействием потока восстановлений банкомата В2 и, следовательно, плотность вероятности этого перехода равна интенсивности ц 2 потока восстановлений банкомата Вг
 [c.127]

Из состояния s,2 (банкомат В, исправен, а банкомат В2 ремонтируется) система 5 может перейти в состояние s22 (оба банкомата ремонтируются) под воздействием потока отказов банкомата В, поэтому плотность вероятности этого перехода равна интенсивности At=4 указанного потока.
 [c.127]

Плотность вероятности А ( ) перехода системы из состояния sf в состояние s под воздействием пуассоновского потока П.. равна интенсивности А( ) этого потока.
 [c.138]

Тем самым, если считать начальное значение XQ случайной величиной с плотностью распределения вероятностей р = р (х ), то случайные величины хп, n Js 1, будут иметь то же самое распределение, что и XQ.

Полезно подчеркнуть, что у получаемой таким способом стохастической динамической системы (хп) вся «случайность» полностью определяется случайным начальным значением XQ, а динамика переходов хп — > xn+i задается детерминированным образом согласно соотношениям (3).
 [c.222]

Плотность вероятности перехода для цепи Маркова удовлетворяет интегральному уравнению Смолуховского [Колмогоров, 1938 Леонтович, 1983], решение которого при определенных предположениях относительно вероятностей перехода
 [c.111]

Пусть Pg(t) вероятности перехода системы 5 в момент времени t из состояния s. в состояние s при f j и вероятности задержки в момент времени t в состоянии s. при i=j. Если в момент времени t система находится в i-м состоянии, то можно считать, что точно в этот момент t произошла задержка системы в f-м состоянии и поэтому рй( )=1.

Следовательно, из соображений выполнения нормировочного условия pn(t)+…+pjii(t) l заключаем, что вероятность перехода системы 5 из i-ro состояния в другое j-e состояние точно в момент t будет равна нулю p..(t)—0, i j.

Поэтому вероятности перехода в случае процесса с непрерывным временем уже не играют той определяющей роли в вычислении вероятностей состояний, которую они исполняли в случае процесса с дискретным временем.

Вместо переходных вероятностей в процессе с непрерывным временем рассматривают иные характеристики процесса — так называемые плотности вероятностей перехода Л. из состояния s. в состояние sf которые определяются следующим образом.
 [c.50]

Этот оператор является стохастическим ядром4, или функцией вероятностей переходов, представляя собой обобщение матрицы вероятностей переходов (М можно рассматривать как такую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов при непрерывных / и / ). Легко видеть, что стохастическое ядро есть плотность вероятности цен в момент t в зависимости от цен в момент t — т М = f(Pt Pt T). Тогда (17) можно записать в виде
 [c.22]

Источник: https://economy-ru.info/info/73747/

Плотность вероятности и плотность потока вероятности

В квантовой механике состояние микроц описывают при помощи волновой функции Psi(overrightarrow{r},t) . Она основным носителем информации о свойствах ц. Вероятность ( dP ) нахождения цы в элементе, который имеет объем dV=dxdydz около точки с координатами (x,y,z) :

где величина равная:

называется плотностью вероятности. Она определяет вероятность того, что ца находится в единичном объеме в окрестности точки ( x,y,z ). Физический смысл имеет не сама волновая функция, квадрат её модуля ( {left|Psi
ight|}^2 ).

Так как величина {left|Psi
ight|}^2dV определена как вероятность, волновую функцию следует нормировать.

Вероятность достоверного события должна быть равна единице, если в качестве объема ( V=infty ) принимать всœе пространство. Эᴛο означает, что при данном условии ца находится в пространстве, где — либо. Условие нормировки вероятности записывается как:

Так, например, величина {left|Psi(x)
ight|}^2 определяет плотность вероятности нахождения цы в точке x одномерного движения. Отсюда следует, что, среднее значение координаты цы можно найти как:

Плотность потока вероятности

  • Найдем производную по времени ( frac{d}{dt} ) от вероятности нахождения цы в объеме V , то есть:
  • В классической физике функцией Гамильтона ( Hleft(overrightarrow{r},overrightarrow{p}
    ight) ) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты цыВажно сказать, что для однои̌ цы полная энергия равна:
  • В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (7) вместо вектора импульса подставить оператор hat{p} , равный:
  • Таким образом имеем:
  • Используя выражение (9), запишем:
  • Получаем, применяя (10):
  • Применим тождество:
  • Получаем:
  • где вектор overrightarrow{j} равен выражению:
  • По теореме Гаусса имеем:

Из выражения (15) видно, что вектор overrightarrow{j} может быть назван вектором плотности потока вероятности (плотность потока). Интеграл от данного вектора по поверхности S — вероятность того, что ца за единицу времени пересечет выделенную поверхность. Вектор плотности потока вероятности и плотность вероятности удовлетворяют уравнению:

Уравнение (16) можно назвать аналогом уравнения непрерывности в классической физике.

Пример 1

  1. Задание: Собственная волновая функция цы, которая находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике, равна: Psileft(x
    ight)=sqrt{frac{2}{l}}{sin left(frac{pi nx}{l}
    ight) }left(n=1,2,3,dots ight), где l — длина ящика, x — координата ( 0
  2. Решение:
  3. Вероятность ( dP ) нахождения цы в интервале dx определим, используя плотность вероятности {left|Psi
    ight|}^2 и выражение ( одномерного случая):
  4. Отсюда следует, что, сама вероятность будет найдена как:

[dP={left|Psi
ight|}^2dxleft(1.1
ight).] [P=intlimits^{frac{l}{3}}_0{{left|Psi
ight|}^2dxleft(1.2
ight)}.]

Если ца находится в основном состоянии, то нее n=1 . Используем волновую функцию, заданную в условиях, подставим её в интеграл (1.2), получим:

[P=intlimits^{frac{l}{3}}_0{{left(sqrt{frac{2}{l}}{sin left(frac{pi x}{l}
ight) }
ight)}^2dx=frac{2}{l}intlimits^{frac{l}{3}}_0{{left({sin left(frac{pi x}{l}
ight) }
ight)}^2dx}left(1.3
ight).}]

  • Применим тригонометрическую формулу:
  • Вычислим интеграл (1.3), получаем:
  • Ответ: P=0,195.

[{sin}^2alpha =frac{1-{cos left(2alpha ight) }}{2}left(1.4
ight).] [P=frac{1}{l}left[intlimits^{frac{l}{3}}_0{dx}-intlimits^{frac{l}{3}}_0{{
m cos}Psi(frac{2pi x}{l})dx}
ight]=frac{1}{l}left[frac{l}{3}-frac{l}{2pi }{
m sin}Psi(frac{2pi x}{l})
ight]=frac{1}{3}-frac{sqrt{3}}{4pi }approx 0,195.]

Пример 2

Задание: Частица находится в сферически симметричном потенциальном поле. Волновая функция некоторой цы имеет вид: Psileft(r
ight)=frac{1}{sqrt{2pi a}}frac{e^{-frac{r}{a}}}{r} , где r — расстояние от цы до силового центра, a=const . Каково среднее расстояние ( leftlangle r
ight
angle ) от цы до силового центра.

  1. Решение:
  2. Используем формулу, вычисления среднᴇᴦο значения величины, через плотность вероятности:
  3. где dV=4pi r^2dr- сферический слой с радиусами r и r+dr .
  4. В интеграл (2.1) подставим {left|Psileft(r
    ight)
    ight|}^2 , возьмем интеграл по частям, имеем:
  5. Ответ: leftlangle r
    ight
    angle =frac{a}{2} .

[leftlangle r
ight
angle =int{{left|Psileft(r
ight)
ight|}^2rdVleft(2.1
ight),}] [leftlangle r
ight
angle =frac{1}{2pi a}intlimits^{infty }_0{frac{e^{-2frac{r}{a}}}{r^2}r4pi r^2dr=frac{2}{a}intlimits^{infty }_0{e^{-2frac{r}{a}}cdot rdr=frac{a}{2}}(2.2)}.]

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1937_plotnost_veroyatnosti_i_plotnost_potoka_veroyatnosti

Ссылка на основную публикацию