Наименьшее общее кратное — в помощь студенту

Числа, которые делятся на 10, мы называем кратными 10. Например, 30 или 50 кратны 10. 28 кратно 14. Числа, которые делятся одновременно и на 10, и на 14, естественно называть общими кратными 10 и 14.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Общих кратных мы можем найти сколько угодно. Например, 140, 280 и т. д.

Естественный вопрос: как найти самое меньшее из общих кратных, наименьшее общее кратное?

Из найденных кратных для 10 и 14 пока наименьшее – это 140. Но является ли оно наименьшим общим кратным?

  • Разложим наши числа на множители:

Сконструируем такое число, которое делится на 10 и на 14. Чтобы делиться на 10, нужно иметь множители 2 и 5. Чтобы делиться на 14, нужно иметь множители 2 и 7. Но 2 уже есть, осталось добавить 7. Полученное число 70 – это общее кратное для 10 и 14. При этом не получится построить число меньше этого, чтобы оно тоже было общим кратным.

Значит, это и есть наименьшее общее кратное. Для него мы используем обозначение НОК.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Сжатие информации с потерями - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Найдем НОД и НОК для чисел 182 и 70.

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту Наименьшее общее кратное - в помощь студенту Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

  1. Самостоятельно вычислите:
  2. 1. 
  3. 2. 

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Проверяем:

1) 

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

2) 

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

3) 

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Чтобы понять, что такое НОД и НОК, не обойтись без разложения на множители. Но, когда мы уже поняли, что это такое, уже не обязательно каждый раз раскладывать на множители.

Например:

Вы можете легко убедиться, что для двух чисел, где одно делится на другое, меньшее является их НОДом, а большее – НОКом. Попробуйте сами объяснить, почему это так.

Длина шага папы – 70 см, а у маленькой дочери – 15 см. Они начинают идти, поставив ноги на одну отметку. Какое расстояние они пройдут, чтобы их ноги опять встали вровень?

Папа и дочь начинают движение. Сначала ноги находятся на одной отметке. Пройдя несколько шагов у них ноги снова встали на одну отметку. Значит, и у папы, и дочери получилось целое количество шагов до этой отметки. Значит, расстояние до нее должно делиться на длину шага и папы, и дочери.

  • То есть мы должны найти :
  • То есть это случится через 210 см = 2 м 10 см.

Нетрудно понять, что папа сделает 3 шага, а дочь – 14 (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Задача 1

У Пети в сети «ВКонтакте» 100 друзей, а у Вани – 200. Сколько всего друзей у Пети и Вани вместе, если общих друзей 30?

Ответ 300 – неверный, ведь у них могут быть общие друзья.

Решим эту задачу так. Изобразим множество всех друзей Пети кругом. Изобразим множество друзей Вани другим кругом, побольше.

Эти круги имеют общую часть. Там находятся общие друзья. Эта общая часть называется «пересечение» двух множеств. То есть множество общих друзей – это пересечение множеств друзей каждого.

Рис. 2. Круги множеств друзей

Если общих друзей 30, то слева 70 – это друзья только Петины, а 170 – только Ванины (см. Рис. 2).

  1. Сколько всего?
  2. Всё большое множество, состоящее из двух кругов, называется объединением двух множеств.
  3. На самом деле ВК сам решает за нас задачу пересечения двух множеств, он сразу указывает множество общих друзей, когда вы заходите на страничку другого человека.
  4. Ситуация с НОДом и НОКом двух чисел очень похожа.
  5. Задача 2
  6. Рассмотрим два числа: 126 и 132.

Их простые множители изобразим в кругах (см. Рис. 3).

Рис. 3. Круги с простыми множителями

Пересечение множеств – это общие делители. Из них состоит НОД.

  • Объединение двух множеств дает нам НОК.
  •  = 2772
  • Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)

2. Интернет-сайт bymath.net (Источник)

3. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

Домашнее задание

1. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?

  1. 2. Найдите НОК чисел:
  2. a) 6 и 8
  3. b) 6 и 9
  4. c) 12 и 30
  5. d) 3 и 4
  6. 3. Найдите простые множители наименьшего общего кратного чисел:
  7. ,  и , если: , , .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/delimost-chisel/naimenshee-obschee-kratnoe-slupko-m-v-ch-2

Наибольший общий делитель — правила, алгоритмы и примеры нахождения НОД

Наименьшее общее кратное - в помощь студентуНаименьшее общее кратное - в помощь студенту
Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Понятие НОД

Определение, что такое НОД в математике, звучит следующим образом: наибольший делитель, общий для чисел a и b, есть такое наибольшее число, на которое описанные значения смогут разделиться без остатка.

Для наилучшего понимания того, как найти НОД двух чисел, вместо указанных переменных достаточно подставлять простые числа, например, 12 и 9. То есть самым наименьшим делимым числом для 12 и 9 является то, которое позволяет найти решение без остатка.

Задача по нахождению НОД может решаться тремя способами. Каждый из них применяется в зависимости от того, насколько быстро требуется найти необходимый показатель:

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

  1. Первый метод схож с алгоритмом Евклида для нахождения НОД. Он достаточно трудоемкий и канонический. Необходимо искать все возможные делители, а через них — наибольший делитель, являющийся общим для значений. Если выписывать все показатели, на которые поделятся 12 и 9, наибольшим окажется 3.
  2. Второй способ предполагает разложение пары чисел на простые множители и перемножение наибольших из них между собой.
  3. Суть следующего способа: компоненты, которые подлежат поиску наибольшего общего делителя, начинают раскладывать на простые множители. Это значит, что из разложения первого нужно вычеркнуть множители, какие не попадают во второе значение. Остальные показатели в первом разложении перемножаются и оказываются НОД.

Лучше всего рассматривать применение указанных методов через определенный класс задач, которые помогают при дальнейшем изучении теорем, касающихся дробей. Формулы для указанной темы очень доступны для понимания ученикам и учителям.

Метод разложения

Суть второй методики заключается в разложении на простые множители и перемножении общих из них. В качестве примера можно рассмотреть представление НОД для показателей 18 и 24:

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

  1. Оба параметра раскладываются на множители — 24 на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а 18 на 1, 2, 3, 6, 9, 18. Происходит поиск общих значений.
  2. Необходимо перемножать между собой общие множители. Если есть риск запутаться, то стоит подчеркивать общие значения.
  3. В результате поиска соотношений выделяют в качестве общих значений 2 и 3. После перемножения они дают число 6. Именно это линейное число и считается наибольшим объединенным делителем.

Способ является достаточно простым. Однако из-за некоторого объема операций можно оказаться в сложной ситуации с поиском общих делителей, поэтому следует рассмотреть еще один способ.

Вычеркивание показателей

Для третьей методики характерно вычеркивание из разложения тех показателей, которые не проходят во второе число. Есть такие виды НОД, которые могут сильно отличаться, но все равно позволяют найти нужный показатель. Например, нужно найти наибольший делитель для значений 28 и 16:

  1. Сначала раскладывают оба параметра на простые множители. Для 28 таковыми считаются 1, 2, 4, 7, 14, 28, для 16 это 1, 2, 4, 8,16.
  2. Из разложения первого объекта по формуле следует вычеркнуть показатель 7, так как он не входит в группу делителей второго.
  3. После перемножения наибольшим делителем оказывается 4. Проверка в виде деления на него 28 и 16 показывает, что именно он и является нужным НОДом.

Аналогично можно отыскать для других значений, например, 100 и 40. После разложения из первого перечеркивается лишняя пятерка. Перемножение дает 20, который после поверки оказывается наибольшим делителем.

Несколько значений

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Несмотря на кажущуюся сложность, доказать, что возможно найти НОД для нескольких чисел без помощи онлайн-калькуляторов, вполне реально. Значения, подлежащие поиску, необходимо разложить на множители. После чего ищется произведение общих простейших множителей.

Есть такие числа как 18, 24 и 36. Разложение 18 дает такие коэффициенты как 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Затем 24 и 36 необходимо править по аналогичному методу. Если составить таблицу, то можно найти следующие общие показатели в виде 2 и 3. Они считаются общими для всех трех чисел.

Перемножив между собой, получается делимое число 6. Оно также подходит под разложение 18, 24 и 36, а также считается наибольшим общим делителем для всех трех параметров. Аналогичный принцип срабатывает и для четырех и более чисел, когда потребуется найти делитель на любом уровне сложности вплоть до максимального.

Наименьшее общее кратное

Помимо НОД, существует еще и наименьшее общее кратное, или НОК. Если сказать по-другому, то таковым свойством можно считать число, которое без остатка будет разделяться на число a и число b.

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Как и для НОД, поиск НОК может осуществляться тремя похожими с предшествующими способами. Каждым из них можно воспользоваться в зависимости от ситуации и удобства решения задания:

  • Первый метод достаточно простой и распространенный. Необходимо записать кратные первых чисел, после чего подобрать такое число, чтобы оно являлось общим для всех и наименьшим.
  • Также возможно раскладывать кратные на простые натуральные множители. В этом случае переписываются множители из первого разложения и прибавляются недостающие во второе. Получаемые значения перемножают между собой и получают НОК.
  • Особняком стоит третий метод, который работает при соблюдении определенных условий. Одним из них является то, что НОК ищут для двух чисел, и на предыдущих этапах был найден наибольший общий делитель.

На последнем методе стоит остановиться несколько подробнее. Он является не только сравнительно менее громоздким, но и обладает определенным преимуществом в виде уже найденного НОД и более простого алгоритма решения.

Совмещение делителей

Такая методика характерна для тех примеров, в которых требуется единовременное нахождение НОД и НОК двух чисел. Например, необходимо отыскать для чисел 24 и 12 НОК и НОК. Действовать нужно в следующем порядке:

  • Первым делом нужно найти НОД. Для этого надлежит раскладывать оба числа, отыскать общий показатель 12.
  • После этого 24 и 12 перемножаются между собой. Результатом становится 288.
  • Полученное число требуется разделять на НОД от 24 и 12. Полученный ответ 24 говорит о том, что именно оно является наименьшим общим кратным для 24 и 12.

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Сходный механизм действует и при поиске НОК и НОД исходя из другой пары чисел. В каждом примере необходимо сначала отыскать наибольший делитель, перемножить два числа и получить наименьшее кратное.

Что касается решения с помощью интернет-ресурсов, то на сегодняшний день имеется много онлайн-калькуляторов и программ, которые дают возможность сравнительно быстро найти НОД и НОК и подсказать грамотные пути решения.

Нахождение наибольшего делителя и НОК является не только распространенной, но и сравнительно трудной задачей для учеников средней школы. Ведь если не рассмотреть подробно такую тему, то дальнейшее изучение дробей, которые включают в себя числитель и знаменатель, окажется практически невозможным.

Важно грамотно использовать ресурсы на специальных математических сайтах, где могут подробно и понятно объяснить разложение дробей и нахождение общих делителей. Бояться ошибиться в такой теме не стоит, поскольку при правильном подходе она пройдет достаточно быстро, а вычисление различных по уровню сложности примеров не составит особых сложностей.

Источник: https://nauka.club/matematika/naibolshii-obshchii-delitel.html

Наименьшее общее кратное

Найти наибольший общий делитель(НОД) Найти наименьшее общее кратное (НОК

  • Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
  • Кратное числу «a» — это число, которое само делится на число «a» без остатка.
  • Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
  • Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Читайте также:  Тонкая структура спектра атома водорода. формула дирака - в помощь студенту

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Запомните!

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

  1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
  2. Кратное числа «a» обозначаем большой буквой «К».

    К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

  1. К (8) = {8, 16, 24, 32, …}
  2. НОК (6, 8) = 24
  3. Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
  1. Разложить данные числа на простые множители. Подробнее правила разложения на простые множители вы можете прочитать в теме как найти наибольший общий делитель (НОД). Наименьшее общее кратное - в помощь студенту
  2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел. Запомните!

    Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

    60 = 2 · 2 · 3 · 5

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

  3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  4. Полученное произведение записать в ответ. Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту 24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

  • Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16.
  • НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
  • Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
  1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

    Например, НОК (60, 15) = 60

  2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    Пример.

    НОК (8, 9) = 72

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Ffind_nod_and_nok%2Ffind_nok.php

Наименьшее общее кратное

Главная ← Математика ← Теория ← Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное чисел – это наименьшее число, которое делится на все заданные числа.

Алгоритм поиска НОК

Вычисление НОК похоже на поиск НОД. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно использовать следующий алгоритм:

  1. Разложить все числа на простые множители, используя признаки делимости чисел.
  2. Найти совпадающие множители во всех числах и выписать их.
  3. Выписать все несовпадающие множители.
  4. Перемножить все выписанные множители.

Если среди множителей чисел не были найдены одинаковые, НОК числа находится перемножением этих чисел.

Примеры поиска наименьшего общего кратного

Рассмотрим, как найти НОК с помощью алгоритма на нескольких примерах.

  • Пример 1:
  • Найдите наименьшее общее кратное чисел 420 и 990.
  • Решение:
  • Разложим оба числа на простые множители:

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Получили, что:

420 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

990 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

Выпишем все совпадающие множители:

Выпишем все несовпадающие множители:

2, 7 – из первого числа

3, 11 – из второго числа

Перемножим полученные множители:

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 11 = 13860

Ответ: 13860

  1. Пример 2
  2. Найдите наименьшее общее кратное чисел 96 и 378.
  3. Решение:
  4. Разложим оба числа на простые множители:

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Получили, что:

96 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

378 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Выпишем все совпадающие множители:

Выпишем все несовпадающие множители:

2, 2, 2, 2 – из первого числа

3, 3, 7 – из второго числа

Перемножим полученные множители:

НОК = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 6048

Ответ: 6048

  • Пример 3:
  • Найдите наименьшее общее кратное чисел 330 и 343.
  • Решение:
  • Разложим оба числа на простые множители:

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Получили, что:

330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

343 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7

Совпадающих множителей у этих 2 чисел нет, поэтому для получения НОК будет достаточно перемножить исходные числа:

Ответ: 113190

Источник: http://worksbase.ru/matematika/teoriya/20-naimenshee-obshchee-kratnoe.html

Как найти НОК

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Наименьшее общее кратное - в помощь студенту

Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

22 · 32 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 – взаимно простые. Поэтому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

  1. Определяем наибольшее число из данных чисел.
  2. Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них – это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

  • 24 · 1 = 24 – делится на 3, но не делится на 18.
  • 24 · 2 = 48 – делится на 3, но не делится на 18.
  • 24 · 3 = 72 – делится на 3 и на 18.
  • Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.
  • Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.
  • НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

  1. 12 · 8 = 96.
  2. Делим произведение на их НОД:
  3. 96 : 4 = 24.
  4. Таким образом, НОК (12, 8) = 24.
  5. Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:
  1. Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
  2. Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
  3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
  4. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа – 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

  • 24 · 9 = 216.
  • Делим произведение на их НОД:
  • 216 : 3 = 72.
  • Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/nok2.php

3.9. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

  • Главная >
    Образование >
    Математика >
    МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >
  • Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

  1. 140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
  2. Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:
  3. 2, 5, 7.
  4. Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:
  5. 2∙2 = 4,  2∙5 = 10,  2∙7 = 14,  5∙7 = 35.
  6. Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:
  7. 2∙2∙5 = 20,  2∙2∙7 = 28,  2∙5∙7 = 70.
  8. Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:
  9. 1, 140.
  10. Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:
  11. Множество делителей числа 140 =
  12. {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,

  • Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
  • Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения
  • 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
  • мы получаем:
  • Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.
  • От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:
  • ПД(140) = {2, 5, 7}.
  • ПД(105) = {3, 5, 7}.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) — только один. Множество ПД(140) — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

  1. Сокращение дробей. Наибольший общий делитель
  2. Рассмотрим дробь
  3. 105 / 140.

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.

  • Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};
  • Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
  • Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =
  • {1, 5, 7, 35}.
  • Последнее равенство можно записать короче, а именно:
  • Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.

Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».

[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

  1. ПД(105) = {3, 5, 7};
  2. ПД(140) = {2, 5, 7};
  3. ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]
  4. Итак, мы выяснили, что дробь
  5. 105 / 140
  6. можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству
  7. Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}
  8. и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):
 105  =   105/5  =   21 ;
 140   140/5   28 
 105  =   105/7  =   15 ;
 140   140/7   20 
 105  =   105/35  =   3 .
 140   140/35   4 

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 105 и 140. Это записывается как

  • НОД(105, 140) = 35.
  • Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:
  • 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;
  • 140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
  • Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:
  • НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
  • Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:
  • 168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
  • 396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
  • Отсюда видно, что
  • НОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
  • Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:
  • 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
  • 55 = 5 ∙ 11.
  • В этом случае,
  • НОД(42, 55) = 1.
  • Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,
  • 42 / 55,
  • то такая дробь является несократимой.
  • Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:
 a   =   a / НОД(a, b)  .
 b  b / НОД(a, b)

Здесь предполагается, что a и b — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

  1. Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное
  2. Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:
  3. Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:
  4. 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;
  5. 140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
  6. Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:
  7. 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
  8. Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 105 и 140. Это записывается так:
  9. НОК(105, 140) = 420.
  10. Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что
  11. 105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).
  12. Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d:
  13. b ∙ d = НОК(b, d) ∙ НОД(b, d).
  14. Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:
      1  +        1  =
 3 ∙ 5 ∙ 7   2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 
         2 ∙ 2  +             3  =
 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7   2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 
        4 + 3  = 
 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 
  • Подобным же образом можно посчитать разность:
  • Из «бесконечного» сборника типовых упражнений
  • Задачи, где требуется разлагать числа на простые множители

Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа a называется число a, помноженное само на себя, то есть a∙a. (Как нетрудно видеть, оно равно площади квадрата со стороной a).

>

Источник: https://www.nekin.info/math/m0309.htm

«Применение НОК и НОД в практической жизни людей»

Слайд 1

Научно-исследовательская работа на тему: «Применение НОК и НОД в практической жизни людей» Автор : Кулинич Дарья 6 «А», школа №9 г.Саранск Руководитель: Беляева Лидия Кузьминична

Слайд 2

Актуальность : многие школьники считают изучение НОК и НОД бесполезным занятием, или заучивают правила лишь для получения оценки, но в дальнейшем сталкиваясь с ситуациями аналогичными ситуациям задач учебника, не могут грамотно действовать, приходят в тупик.

Цель работы: приобщение школьников к изучению математических терминов НОК и НОД и математики в целом, приобретение математических знаний для будущей учебной и практической деятельности. Гипотеза: я считаю, изучение исследуемых мною понятий поможет мне и моим сверстникам в дальнейшей жизни .

Методика работы : Метод теоретического исследования Исследование. Опрос. Счёт. Наблюдение. Фотографирование. Обобщение и систематизация полученных данных.

Слайд 3

Немного из теории. НОК (Наименьшее Общее Кратное) чисел a и b – самое маленькое число, которое делится на числа а и b без остатка. НОД (Наибольший Общий Делитель) a и b – самое большое число, на которое числа а и b делятся без остатка. На уроках математики эти термины также можно применить при сокращении дробей, при их сложении и вычитании.

Слайд 4

Самые распространенные среди школьников алгоритмы нахождения НОК и НОД: НОК ( a и b ) НОД ( a и b ) Метод перебора. Метод перебора 1.Выписать все делители числа а. 2. Выписать все делители числа b. 3. Выбрать среди них общие делители. 4. Среди общих делителей выбрать самое большое число. Метод нахождения НОД с помощью разложения на простые множители. 1.

Найти разложение чисел a и b на простые множители. 2. Подчеркнуть общие числа. 3. Найти произведение подчеркнутых чисел у одного числа. Метод нахождения НОК с помощью разложения на простые множители. 1.Выписать первые кратные a и b 2 .Затем выбрать среди этих кратных самое маленькое число, которое будет общим для a и b . 1.Найти разложение чисел a и b на простые множители. 2.

Выписать множители, входящие в разложение a . 3. Добавить к ним недостающие множители из разложения b . 4.Найти произведение получившихся множителей. Эти способы также применяются также при нахождении НОК и НОД 3-х и более чисел. Причем самый эффективный и удобный из представленных ( т. к.

ещё существует древний алгоритм Евклида на нахождение НОД, о котором речь пойдет позже) второй — при помощи разложения на простые множители.

Слайд 5

Историческая справка. Алгоритм Евклида и его применение. Алгоритм нахождения НОД, используемый в компьютерных программах и сейчас, был описан 2300 лет назад Евклидом – древнегреческим математиком, в книгах «Начал».

По алгоритму Евклида, чтобы найти НОД a и b нужно большее число поделить на меньшее. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД. А если есть остаток, большее число надо заменить на остаток от деления и перейти к первому действию.

Удивительно, но НОК также можно найти без разложения на простые множители. Евклид – великий ученый.

Слайд 6

Запуск проекта: «Что ты знаешь о НОК и НОД?» Для того чтобы выяснить насколько хорошо мои одноклассники знают изучаемую мной тему, а заодно и заинтересовать их в изучении математики, я под руководством учителя провела математическую викторину.

Она состояла из двух частей: первая часть проверяла теоретические знания, а вторая помогала школьникам применить знания на практике, посредством математической игры. Ребята разделились на три команды и сообща решали задания.

В конце урока прошло награждение отличившейся команды.

Слайд 7

Опрос. В математической викторине, как говорилось ранее, был помещён опрос на теоретические знания об изучаемой мною теме (в опросе участвовало 30 человек). Вот что он показал: 50 % (15 ч.) 20 % (6 ч.) 30 % (9 ч.

) Как видно из предыдущей диаграммы, знания школьников о терминах НОК и НОД довольно объёмны, но некоторые школьники вовсе не понимают данную тему. Чтобы исправить это, я показала одноклассникам свою работу и заново провела опрос (в опросе участвовало 30 человек).

Его результаты: 60 % (18 ч.) 10 % (3 ч.) 30% ( 9 ч.)

Слайд 8

Важность НОК и НОД в понимании взрослых и школьников. Чтобы выяснить, чем является НОК и НОД для учащихся и взрослых, я провела анкетирование и выяснила: НОК и НОД для: Школьников (20 ч.) Взрослых (20 ч.) 5 % (1 ч.) 65 % (13 ч.) 30% (6 ч.) 10 % (2 ч.) 60% (12 ч.) 30% (6 ч.)

Слайд 9

С помощью различных ресурсов я нашла интересные задачи, для решения которых требуются навыки нахождения НОК и НОД. В этих задачах — ситуации из жизни, с которыми может встретиться каждый. Решить ниже представленные задачи пробовали взрослые и дети-ученики начальной школы, у них это вызвало затруднения. 2. Условие: длина комнаты 575 см, а ширина 375 см.

Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится? Эта ситуация часто возникает у профессиональных строителей, или у тех кто просто затеял ремонт.

Чтобы решить задачу нужно найти НОД чисел обозначающих длину и ширину комнаты, а затем отдельно друг от друга поделить на это число длину и ширину, затем эти результаты перемножить. 3. Условие : спортсмен знает, что через каждые 400 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 700 м от старта можно попить воды.

На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды и задать вопрос наблюдателю. Такая ситуация возможна на соревнованиях по бегу и очень важна для спортсменов. Чтобы решить задачу нужно найти НОК всех расстояний указанных в условии задачи 1. Условие: рассортировать конфеты «Алёнка» (36 шт.) и «Сказка» (48 шт.) в группы, используя при этом все конфеты.

В ответе написать, сколько групп получилось. Возможно, такая ситуация встречалась кондитерам, продавцам или детям при делёжке сладостей. Решение заключалось в нахождении наибольшего общего делителя чисел обозначавших количество конфет первого и второго вида

Слайд 10

Выводы. В своей работе я выяснила, что НОК и НОД важные термины, помогающие людям в самых разнообразных сферах деятельности.

Я попробовала самостоятельно организовывать и проводить различные викторины, игры связанные с математикой. Из работы школьники узнали много нового, и приобщили свой интерес к математике.

Я считаю, что достигла всех целей поставленных в начале. В дальнейшем я планирую продолжить углубленное изучение математики.

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2019/09/05/primenenie-nok-i-nod-v-prakticheskoy-zhizni-lyudey

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина «кратное».

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

  • Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.
  • Общее кратное натуральных чисел — это такое число, которое делится на них без остатка.
  • Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) — это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.
  • Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, …}

К (6) = {12, 18, 24,  …}

  1. Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:
  2. НОК (4, 6) = 24
  3. Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.
  4. Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.
  5. Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним — остальных.
  6. В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.
  7. Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.
  8. 50 = 2 * 5 * 5
  9. 20 = 2 * 5 * 2

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители,  которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

  • Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.
  • НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
  • Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.
  • Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.
  • В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.
  • 36 = 2 * 2 * 3 * 3
  • 24 = 2 * 2 * 2 * 3
  • 16 = 2 * 2 * 2 * 2
  • Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).
  • Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.
  • НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

  1. Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.
  2. Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.
  3. Например, НОК (10, 11) = 110.

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-909370-kak-nayti-naimenshee-obschee-kratnoe-chisel

Нод и нок чисел с решением | наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 12385

Как пользоваться калькулятором

  • Введите числа в поле для ввода
  • В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
  • нажмите кнопку «Найти НОД и НОК»

Как вводить числа

  • Числа вводятся через пробел, точку или запятую
  • Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК.

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.

Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.

Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.

Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.

Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 — значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.

Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):

  1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
  3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 — это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

  1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
  2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
  3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

  1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2.
  3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
  4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
  5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, НОД = 1·2·2·3 = 12.
  6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Источник: https://programforyou.ru/calculators/nod-i-nok-chisel

Ссылка на основную публикацию