Линейные неравенства с двумя неизвестными — в помощь студенту

  • Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
  • Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными
  • Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
  •  – уравнение с двумя переменными;
  •  – неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
  • Здесь х и у – переменные, р – выражение, от них зависящее
  • Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу – найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Пример 1 – решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

  1. Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
  2. Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую
  3. Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Рис. 1. График уравнения, пример 1

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х0, х0+1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту. Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Понятие информации, ее виды и свойства - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 – решить уравнение и неравенство:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Мы знаем, что заданное уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В произвольной точке х0 уравнение имеет два решения: (х0; у0) и (х0; -у0).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

  • Рассмотрим уравнение с модулями.
  • Пример 3 – решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х0; у0) является решением, то и точка (х0; -у0) – также решение, точки (-х0; у0) и (-х0; -у0) также являются решением.

  1. Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
  2. Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

  • Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
  • Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
  • Пример 4 – изобразить множество решений неравенства:
  • Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

  1. Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
  2. ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.
  3. Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
  4. Строим график функции.                                 
  5. Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой  и ломаной . внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной  и прямой  – область D2, ниже прямой  – область D3, между отрезком ломаной  и прямой  – область D4

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области  возьмем точку (0;1). Имеем:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

  • Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
  • В области  возьмем точку (10;1). Имеем:
  • Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
  • В области  возьмем точку (0;-5). Имеем:
  • Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
  • В области  возьмем точку (-3;1). Имеем:
  • Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
  • Изобразим множество решений неравенства, как требовалось в задаче:

Рис. 5. Решение примера 4

Итак, мы рассмотрели решение различных уравнений и неравенств с двумя переменными, на следующем уроке одну из переменных назовем параметром.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Tutoronline.ru (Источник).

3. Nado5.ru (Источник).

  1. Домашнее задание
  2. 1. Решить уравнение:
  3. а) ; б) ;
  4. в) ; г) ;
  5. 2. Решить неравенство:
  6. а)  б) ; в) ; г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/uravneniya-i-neravenstva-s-dvumya-peremennymi

Линейные неравенства. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

  • Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».
  • Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.
  • Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.
  • Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!

Что такое «линейные неравенства»?

Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).

Так вот, предположим, что у Васи больше, чем   яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

  1. Если обозначить через   количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:
  2. Дальше мы делим обе части составленного неравенства на   и получаем:
  3. Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем   яблока.
  4. Ну вот и справились с неравенством!
  5. Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.
Линейные неравенства — это неравенства вида: где   и   – любые числа, причем  ;   — неизвестная переменная.

Например:

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.».

Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».

Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Правила преобразования неравенств

  • Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.
  • Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.
  • Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

ПРАВИЛО 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).
  1. Например,
  2. Таким образом, можно с уверенностью сказать, что   равносильно  .
  3. Или вот такой пример:
  4. В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:
  5. Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.
ПРАВИЛО 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.

В первом примере мы остановились на  . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число  :

Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.

Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на  . Разделим обе части неравенства на  :

Делили на положительное число  , поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства   сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.

ПРАВИЛО 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак   на знак  , и наоборот; знак   на знак  , и наоборот).

Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:

  • При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
  • При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
  • Например:
  • Делим на отрицательное число  , тогда знак неравенства меняется на противоположный:
  • Заметил, знак   (меньше) заменили на знак   (больше)?
  • Или вот такой пример:
  • Делим обе части на отрицательное число  , меняя при этом знак неравенства на противоположный:
  • Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах

Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.

Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.

  1. 1.  
  2. Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:
  3. А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:

Ну вот, мы почти решили наше неравенство – осталось записать ответ в виде промежутка. Неравенство у нас нестрогое, поэтому число   включается в наш промежуток. Для наглядности изображу решения на оси:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

  • Запишем ответ:  .
  • 2.  
  • Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:
  • Неравенство у нас нестрогое, поэтому число   включается в наш промежуток:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Ответ:  

3.  

Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»?

Читайте также:  Древняя месопотамия - в помощь студенту

Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.

Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число  . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!

  1. Неравенство нестрогое, значит,   включается в наш промежуток.
  2. Ответ:  
  3. 4.  
  4. Проводим соответствующие преобразования:
  5. Делим обе части на отрицательное число  , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:
  6. Неравенство нестрогое, поэтому   — не включается в промежуток:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

  • Ответ:  
  • 5.  
  • Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:
  • Ответ:  

Линейные неравенства с двумя переменными

В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства  .

Линейные неравенства с двумя переменными имеют вид: где  ,   и   – любые числа,  .

А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная  .

Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел  , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).

  1. Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.
  2. Давай разберем вот такой пример:
  3. Решение:
  4. Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.

Построим график уравнения  . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.

Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру,   и  . Вот, что у меня получилось:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Как можно заметить, прямая разбила плоскость на две полуплоскости. Все точки одной из полуплоскостей будут являться решением исходного неравенства.

Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак  , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты   и   любой точки из закрашенной области – решения неравенства.

Линейные неравенства. коротко о главном

  • Линейными неравенствами называются неравенства вида:
  • где   и   – любые числа, причем  ;   — неизвестная переменная.
  • Правила преобразования неравенств:

Правило 1.

 Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак   на знак  , и наоборот; знак  на знак  , и наоборот).

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/linejnye-neravenstva-1

Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс — Российская электронная школа

  • Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
  • Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
  • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
  • Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
  • Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
  • Нахождение площади получившейся фигуры.
  1. Глоссарий по теме
  2. Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные. 
  3. Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

Актуализация знаний

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Ответ:4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

  1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

  • Пример
  • Построить график уравнения 2х+у =1
  • у = -2х + 1
  • Если х=0, то у=1;
  • Если х=2, то у=-3.

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

  1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Пример

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

  1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
  2. Пусть точка М1(х1,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М2(х1,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2

Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

  1. Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М1(х1; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.
  2. Пример
  3. Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6
  4. Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

  1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

  • Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.
  • Решить систему – значит найти множество ее решений.
  • Пример
  • Решите систему:

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3).

Рисунок 3 – решение системы

Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

  1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

  1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
  2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

  1. Рисунок 4 – решение системы
  2. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
  3. Пример 1
  4. Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.
  1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
  2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

  • Рисунок 5 – решение неравенства
  • Пример 2
  • Изобразим на координатной плоскости множество решений системы
  • Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

  1. Рисунок 6 – решение системы
  2. Если к системе добавить еще одно неравенство
  3. , то получится система трех неравенств с двумя переменными
  4. Этой системой задается треугольник (рис. 7)
  5. Рисунок 7 – решение системы
  6. Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6122/conspect/

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства c и 0·x0 в первом, и a·x>c – во втором;

  • допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 — в первом, и a=0 — во втором.
  • Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

    Определение 3

    Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

    Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-27, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

    Как решить линейное неравенство

    Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a, ≥) при а=0.

    Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

    Используя равносильные преобразования

    Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

    Определение 4

    Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b, ≥) при a≠0

    • число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x, ≥);
    • будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

    Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

    Пример 1

    Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

    Решение

    Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

    Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

    Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

    • Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
    • 3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.
    • Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].
    Читайте также:  Затраты, расходы, издержки - в помощь студенту

    Пример 2

    Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

    Решение

    Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

    Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)0 получим значение -35. Изобразим графически.

    Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

    Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

    Линейные неравенства с двумя неизвестными - в помощь студенту

    Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

    Ответ: -∞, -35 или x0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

    1. 7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0
    2. Это приводит решение к линейному неравенству.
    3. Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.
    4. Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

    Определение 9

    • раскрыть скобки;
    • слева собрать переменные, а справа числа;
    • привести подобные слагаемые;
    • разделить обе части на коэффициент при x.

    Пример 9

    Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

    Решение

    Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.  Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

    Ответ: нет решений.

    Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

    Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/linejnye-neravenstva-primery-reshenija/

    Системы линейных неравенств с двумя неизвестными

    (3.30)

    Числа называются коэффициентами системы; – свободными членами; — неизвестными.

    Решением системы неравенств называется упорядоченная пара чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое неравенство системы превращается в верное числовое неравенство. Система неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система неравенств не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

    Система неравенств (3.30) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

    (3.31)

    В отличие от однородной, систему неравенств общего вида (3.30) называют неоднородной.

    Систему (3.30) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы неравенств

    свободные члены записываем в столбец свободных членов , а неизвестные — в столбец неизвестных .

    Матричная запись неоднородной системы неравенств (3.30) имеет

    (3.32)

    а однородной:

    (3.33)

    где символ в правой части обозначает нулевой столбец размеров .

    Сравнение левой и правой частей неравенств (3.32), (3.33) выполняется покомпонентно: два столбца и одинаковых размеров удовлетворяют неравенству тогда и только тогда, когда все неравенства выполняются одновременно.

    Блочная матрица , называется расширенной матрицей системы неравенств (3.30).

    Рассматривается случай, когда все неравенства системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого неравенства не равны нулю одновременно. Поэтому матрица системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.

    В соответствии с матричной записью решением системы (3.32) называется столбец , при подстановке которого в (3.32) получаем верное неравенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец о является решением однородной системы (3.33), т.е. любая однородная система неравенств совместна.

    Рангом системы неравенств (3.30) называется ранг матрицы системы: , т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы (максимальное число линейно независимых неравенств системы). Поскольку матрица системы (3.30) ненулевая, то ее ранг может быть равен либо единице (, если все строки матрицы пропорциональны), либо двум (, если имеются хотя бы две непропорциональные строки).

    Выясним геометрический смысл и свойства решений системы неравенств (3.30). Напомним, что множество точек (на плоскости или в пространстве) называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки (рис.3.32,а). Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, по определению считаются выпуклыми.

    Отрезок, луч, прямая, треугольник (вместе с внутренними его точками), круг, плоскость, полуплоскость, треугольная пирамида, шар и т.п. являются выпуклыми множествами. Фигура, изображенная на рис.3.32,б, не является выпуклой, поскольку отрезок (штриховая линия), соединяющий две точки фигуры, не принадлежит целиком этой фигуре.

    Примерами невыпуклых множеств являются также ломаная, окружность, сфера и т.п.

    Отметим важное свойство выпуклых множеств: пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

    Действительно, пусть две точки принадлежат пересечению двух выпуклых множеств и (рис.3.32,в), т.е. обе точки принадлежат каждому из множеств и . Тогда весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит каждому из множеств и , поскольку они выпуклые. Следовательно, весь отрезок принадлежит пересечению . Это рассуждение распространяется на любое количество выпуклых множеств.

    Пусть на плоскости задана аффинная система координат . Как показано в разд.3.2.1, множество точек , координаты которых удовлетворяют линейному неравенству с двумя неизвестными , представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой .

    Поэтому множество решений системы неравенств является пересечением полуплоскостей , . Поскольку полуплоскость является выпуклым множеством, пересечение конечного числа полуплоскостей также является выпуклым множеством, которое называется выпуклым многоугольным множеством.

    Таким образом, множество решений системы неравенств (3.30) — это выпуклое многоугольное множество.

    Примеры пересечения полуплоскостей

    Если ранг системы (3.30) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех неравенств пропорциональны. В этом случае все прямые, ограничивающие полуплоскости, параллельны. Пересечение таких полуплоскостей может быть либо пустым множеством (система неравенств несовместна), либо прямой (рис.3.33,а), либо полосой (рис.3.

    33,6), либо полупространством (рис.3.33,в). Здесь и далее на рисунках прямая, ограничивающая полуплоскость, изображается со стрелками, указывающими на выбранную полуплоскость, а также, как правило, штриховкой, которой отмечается другая полуплоскость, не удовлетворяющая неравенству.

    При пересечении полуплоскостей заштрихованное множество не удовлетворяет системе неравенств.

    Если ранг равен 2, то не все прямые , параллельны. В этом случае пересечение полуплоскостей может быть либо пустым множеством, либо точкой (рис.3.34,а), либо полупрямой (рис.3.34,б), либо отрезком (рис.3.34,в), либо многоугольником (рис.3.34,г), либо выпуклым многоугольным множеством (рис.3.34,д).

    Метод исключения неизвестных

    Для решения системы (3.30) можно применить метод исключения неизвестных. При этом нужно учитывать, что в отличие от уравнений линейная комбинация неравенств является следствием системы неравенств только при положительных коэффициентах, т.е.

    при , за исключением случая . Такие линейные комбинации называются положительными. Поэтому метод Гаусса, где используются линейные комбинации с положительными и отрицательными коэффициентами, для систем неравенств неприменим.

    Рассмотрим метод исключения неизвестных, применяемый для решения системы (3.30).

    1. Выбираем в матрице системы неравенств (3.32) столбец, в котором имеются нулевые элементы или элементы противоположных знаков (такой столбец называется ведущим, его элементы – ведущими, а неизвестная, соответствующая ведущему столбцу, — ведущей). По ведущему столбцу формируется новая система неравенств , в которой ведущая неизвестная отсутствует (исключается ведущая неизвестная).

    • Например, если первый столбец матрицы ведущий, то в новую систему записываем:
    • – все неравенства исходной системы, в которых неизвестная входит с нулевым коэффициентом;
    • – положительную линейную комбинацию -го и -го неравенств, если и :

    то есть к j-му неравенству , умноженному на , прибавляем i-е неравенство , умноженное на . В этой комбинации неравенств коэффициент при неизвестной получается равным нулю. Другими словами (при исключении неизвестной ), расширенная матрица новой системы составляется из строк расширенной матрицы системы (3.

    32) с нулевыми ведущими элементами, и положительных комбинаций строк матрицы с ведущими элементами противоположных знаков (коэффициенты положительной комбинации выбираются так, чтобы ведущие элементы взаимно уничтожались). После процедуры исключения неизвестной в матрице первый столбец оказывается нулевым.

    Если в матрице нет ведущего столбца (элементы каждого столбца матрицы отличны от нуля и имеют одинаковые знаки), то исключить неизвестную в этой системе нельзя.

    2. Если в системе исключена неизвестная , то решаем систему с одной неизвестной , преобразуя ее к системе .состоящей из одного или двух неравенств. В результате получаем один из пяти частных случаев:

    В случае «а» неравенство не имеет решений, следовательно, исходная система неравенств несовместна (процесс решения заканчивается). В остальных случаях исходная система совместна.

    Если в исходной системе нельзя исключить одну неизвестную, то полагаем формально . Этому неравенству удовлетворяют любые значения неизвестной , т.е. .

    3. Преобразуем исходную систему неравенств , выражая неизвестную через . Получим систему , разрешенную относительно .

    4. Записываем «цепочку» систем:

    полученных в пунктах 2,3. Эти системы задают полное описание множества решений исходной системы (считаются ее полным решением). Чтобы получить какое-либо одно решение исходной системы, нужно взять фиксированное решение системы , подставить его в систему и найти какое-либо ее решение . Столбец будет решением исходной системы (3.32).

    1. Первые два пункта алгоритма составляют прямой ход метода исключения, третий и четвертый – обратный ход.
    2. Замечания 3.7
    3. 1. При исключении неизвестной (прямой ход) получаем следствие исходной системы:

    2. Множество решений системы неравенств после исключения неизвестной представляет собой проекцию на ось (вдоль оси ) множества решений исходной системы неравенств.

    Поскольку — выпуклое многоугольное множество, то его проекция на ось представляет собой либо пустое множество (см. пункт 2,»а»), либо ось (см. пункт 2,»б»), либо луч (см. пункт 2,»в»,»г»), либо отрезок (см.

    пункт 2,»д» при ), либо точку (см. пункт 2,»д» при ).

    3. При исключении неизвестной из линейно зависимых неравенств получается неравенство вида , которое либо выполняется при всех значениях неизвестных (если ), либо не имеет решений (если ). В первом случае его можно удалить из системы, не изменив при этом множества ее решения. Во втором случае новая система, а также исходная система не имеют решений.

    Пример 3.18. Упростить системы неравенств:

    Найти какое-либо решение. Изобразить множество решений на координатной плоскости .

    Решение.

    1) Прямой ход. 1,2. Элементы каждого столбца матрицы системы неравенств имеют одинаковые знаки. Такую систему упростить нельзя. Прямой ход метода исключения завершается составлением неравенства , которому удовлетворяют любые значения неизвестной .

    Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную из каждого неравенства исходной системы:

    Первые два неравенства совпадают, поэтому одно из них можно удалить.

    4. Записываем «цепочку» систем, полученных в результате прямого и обратного хода:

    Эта «цепочка» систем дает полное описание множества решений исходной системы (см. рис.3.35,а). Проекция множества на ось (вдоль оси ) совпадает со всей осью (см. пункт 2 замечаний 3.7).

    Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в «цепочке», например , подставляем это значение в первую систему «цепочки» и решаем ее:

    Следовательно, любое неотрицательное значение является решением исходной системы при , например, пара — решение исходной системы.

    2) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы

    и выбираем первый столбец матрицы в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную . Прибавляем к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):

    2. Первое неравенство справедливо при любых и (его можно удалить из системы (см. пункт замечаний 3.7)). Второе неравенство справедливо для неотрицательных значений . Следовательно, исходная система совместна.

    Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную из каждого неравенства исходной системы:

    Первые два неравенства можно заменить уравнением .

    4. Записываем «цепочку» систем, полученных в результате прямого и обратного хода:

    Эта «цепочка» систем дает полное описание множества решений исходной системы (см. рис.3.35,6). Проекция множества на ось (вдоль оси ) совпадает с неотрицательной частью оси (см. пункт 2 замечаний 3.7).

    Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в «цепочке», например , подставляем это значение в первую систему «цепочки» и решаем ее:

    Получили решение (9,3) исходной системы.

    3) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы

    и выбираем первый столбец матрицы в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную . Прибавляем к первой и ко второй строкам третью. Полученные строки записываем в матрицу (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):

    2. Решаем полученную систему неравенств:

    Получили единственное решение, следовательно, исходная система неравенств совместна.

    Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную из каждого неравенства исходной системы:

    4. Записываем «цепочку» систем, полученных в результате прямого в обратного хода:

    Эта «цепочка» систем дает полное описание множества решений исходной системы (см. рис.3.35,в). Подставим в первую систему «цепочки»:

    Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1,1), отмеченное на рис.3.35,в точкой .

    4) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы

    и выбираем первый столбец матрицы в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную , комбинируя строки с ведущими элементами противоположных знаков.

    Прибавляем ко второй строке первую, а к третьей строке — первую, умноженную на 2; затем прибавляем ко второй строке четвертую, а к третьей строке — четвертую, умноженную на 2.

    Полученные строки записываем в матрицу (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):

    2. Решаем полученную систему неравенств:

    Получили отрезок оси — проекцию множества решений исходной системы неравенств. Следовательно, исходная система неравенств совместна.

    Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную из каждого неравенства исходной системы:

    Эта «цепочка» систем дает полное описание множества решений исходной системы, которое представляет собой незаштрихованный четырехугольник на рис.3.35,2.

    Найдем какое-либо решение исходной системы. Подставим, например, решение второй системы «цепочки» в первую систему «цепочки»:

    Следовательно, при любое число из промежутка удовлетворяет исходной системе. Например, пара является решением системы.

    Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=sistemy-linyeinyh-neravenstv-s-dvumya-nyeizvestnymi

    Ссылка на основную публикацию