Компланарные векторы — в помощь студенту

На данном уроке мы введем понятие компланарных векторов, вспомним теорему о разложении вектора на плоскости, введем и докажем теорему о разложении вектора в пространстве.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

  • Тема: Векторы в пространстве
  • Урок: Компланарные векторы
  • Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
  • Рассмотрим векторы  и : рис. 1

Компланарные векторы - в помощь студенту

Рис. 1. Векторы  и

Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам: рис. 2, 3.

Компланарные векторы - в помощь студенту

Рис. 2. Векторы на плоскости

Компланарные векторы - в помощь студенту

Рис. 3. Разложение вектора через два неколлинеарных

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Анализ платежного баланса на примере россии - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:

Компланарные векторы - в помощь студенту

Напомним, что коллинеарными называются векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.

Если вектор  можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то вектора  и  компланарны.

Компланарные векторы - в помощь студенту

Рис. 4. Сложение векторов в пространстве

Рассмотрим три вектора  и  в пространстве. На плоскости мы строили параллелограмм на двух заданных векторах. В пространстве же мы можем построить параллелепипед на трех заданных векторах. Найдем сумму этих векторов (рис. 4).

Компланарные векторы - в помощь студенту Компланарные векторы - в помощь студенту Компланарные векторы - в помощь студенту

Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Компланарные векторы - в помощь студенту

Рис. 5. Разложение вектора по трем некомпланарным

Дано: некомпланарные векторы  и , произвольный вектор .

Построим все заданные векторы из одной точки – точки О (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами  и . Из точки Р проведем прямую , параллельно направлению .  – точка пересечения плоскости и прямой.

Векторы  и  по построению коллинеарны, значит имеем: . Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: . Вектор  мы нашли.

Вектор  , согласно построению, лежит в плоскости векторов  и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: .

Компланарные векторы - в помощь студенту

Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. . Имеем систему:

  1. Вычтем из первого уравнения второе:
  2. Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: , , .
  3. Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.
  4. Итак, мы рассмотрели понятие компланарности векторов, доказали теоремы о разложении векторов на плоскости и в пространстве, рассмотрели сумму векторов в пространстве.
  5. Список литературы
  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

  1. в тетраэдре DABC M – точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите вектор  по векторам
  2. в параллелепипеде  точка М принадлежит ребру AD, причем АМ:MD=1:3. Точка Р принадлежит ребру DC, . Разложите вектор  по векторам
  3. используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/komplanarnye-vektory

Лекция по математике на тему "Компланарные вектора"

Лекция по теме «Компланарные вектора»

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

  • Иначе:
  • векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
  • Текст
  • Определение.
  • Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

На рисунке векторы  CA,CA1,DD1 компланарны, так как, если отложить от точки C вектор CC1=DD1 то все три вектора CA, CA1,CC1  и окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы DC,CA,DD1 не компланарны, так как вектор DD1 не лежит в плоскости ACD.

Рисунок параллелепипеда

Компланарные векторы - в помощь студенту

  1. –компланарные
  2. и
  3. Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Текст

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Докажем признак компланарности трех векторов. Если вектор можно представить в виде =x, где х и у – некоторые числа, то векторы – компланарны.

  • Текст
  • Признак компланарности трех векторов
  • Если вектор можно представить в виде =x, где х и у – некоторые числа, то векторы – компланарны.

Для доказательства будем считать, что векторы а и в неколлинеарны, так как если они коллинеарны, то компланарность очевидна. Отложим от произвольной точки О векторы ОА и ОВ, равные соответственно векторам данным а и в. Вектороы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.

Вектор ОА1 равен вектору ОА, умноженному на число х. Вектор ОВ1 равен вектору ОВ, умноженному на число у. Векторы ОА1 и ОВ1 так же лежат в этой плоскости. Следовательно, их сумма тоже лежит в этой плоскости. А их сумма равна вектору с. Значит , и вектор с лежит в этой плоскости.

Векторы а, в и с компланарны. Что и требовалось доказать.

  1. Текст
  2. Признак компланарности трех векторов
  3. Дано:;
  4. =x
  5. Доказать: – компланарны.
  6. Доказательство:
  7. Рисунок параллелограмма

Компланарные векторы - в помощь студенту

Текст

Компланарные векторы - в помощь студентуКомпланарные векторы - в помощь студенту,

Компланарные векторы - в помощь студенту

, т.е. –компланарны

  • Справедливо и утверждение, обратное признаку компланарности векторов:
  • Если векторы а, в, с компланарны, а векторы а и в неколлинеарны, то вектор с можно представить как сумму x, при чем коэффициенты х и у определяются единственным образом.
  • В таком случае говорят, что вектор с разложен по векторам а и в.
  • Текст
  • Утверждение, обратное признаку компланарности векторов
  • Если векторы – компланарны, то вектор можно представить в виде =x.
  • Рассмотрим задачу №355(а) Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
  • Компланарны ли векторы АА1, СС1, ВВ1?

Решение : Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. А в нашем случае все три вектора являются коллинеарными так как лежат на параллельных ребрах параллелепипеда, значит, эти векторы компланарны.

  1. Текст
  2. Задача №355(а)
  3. Рисунок параллелепипеда
Читайте также:  Раннеэлладский период - в помощь студенту

Компланарные векторы - в помощь студенту

Текст

Т.к. АА1||BB1||CC1, то Компланарные векторы - в помощь студенту–коллинеарные,

  • Компланарные векторы - в помощь студентуКомпланарные векторы - в помощь студенту— компланарны
  • Рассмотрим задачу
  • Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
  • Компланарны ли векторы АD, СС1, А1В1?

Решение: Вектор АА1 равен вектору СС1, вектор АВ равен А1В1. Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. Значит, и АD, СС1, А1В1- некомпланарны.

  1. Текст
  2. Задача
  3. Рисунок параллелепипеда

Компланарные векторы - в помощь студенту

  • Текст
  • , ,
  • ,
  • — некомпланарны

Источник: https://infourok.ru/lekciya-po-matematike-na-temu-komplanarnie-vektora-1447830.html

Компланарные векторы — презентация, доклад, проект

Слайд 1Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Компланарные векторы Урок 5

Слайд 2Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Цели урока Ввести определение компланарных векторов. Рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

Слайд 3Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Почему? Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Слайд 4Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал Устно: 355

Слайд 5Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал Признак компланарности трех векторов:

Слайд 6Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал Признак компланарности трех векторов:

Слайд 7Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал

Слайд 8Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал

Слайд 9Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал Определение.

Слайд 10Компланарные векторы - в помощь студентуОписание слайда:

Новый материал

Слайд 11Описание слайда:

Новый материал Мы умеем на плоскости складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма. А если в пространстве? Для сложения трех некомпланарных векторов пользуются правилом параллелепипеда. В чем оно заключается?

Слайд 12Описание слайда:

Решение упражнений 360(а)

Слайд 13Описание слайда:

Домашнее задание п. 39, 40 вопросы 13-15 стр. 97 358, 360(б), 368(а, б)

Слайд 14

Источник: https://myslide.ru/presentation/komplanarnye-vektory

Компланарные векторы

Материал урока.

Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.

Компланарные векторы - в помощь студенту Компланарные векторы - в помощь студенту Компланарные векторы - в помощь студенту

И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.

Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.

Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

  • Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.
  • Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
  • Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.

Компланарные векторы - в помощь студенту

Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.

Компланарные векторы - в помощь студенту

Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.

Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.

Задача.

Компланарные векторы - в помощь студенту

Компланарны ли векторы?

а) , ,

  1. Решение.
  2. Первой рассмотрим тройку .
  3. Через векторы  и  проведём плоскость ACC1.

Рассмотрим следующую тройку векторов. .

  • В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.
  • Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.

Если вектор  можно разложить по векторам  и , то есть представить его в таком виде , где x и y некоторые числа. То векторы ,  и  компланарны.

Докажем данный признак.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора  и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.

Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.

По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы ,  и  действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.

Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.

Если векторы ,  и  компланарны, а векторы ,  не коллинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы  и  являются такими по условию.

Тогда отложим векторы ,  и  от некоторой точки О плоскости.

Вектор  равен сумме векторов  и , каждый из которых коллинеарен векторам  и  соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор  представить в виде произведения вектора  и некоторого числа x, а вектор  — в виде произведения вектора  и некоторого числа y.

  1. Отсюда получаем, что вектор  равен сумме произведений вектора  на число x и вектора  на число y.
  2. Тем самым мы смогли разложить вектор  по векторам  и .
  3. Что и требовалось доказать.
  4. Задача.
  5. Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 среди данных троек векторов найти компланарные.
  6. Решение.                                                                  
  7. Первой рассмотрим тройку векторов .

Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.

Далее рассмотрим векторы ,  и .

Векторы и  лежат в одной плоскости, а вектор  пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.

Следующей рассмотрим тройку векторов  ,  и .

Среди них есть пара коллинеарных векторов,  и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.

Осталось рассмотреть тройку векторов ,  и .

В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору . Но для вектора  в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.

Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.

Задача.  тетраэдр. Точки  и  — середины сторон  и . Доказать, что . Компланарны ли векторы ,  и ?

Итак, сначала проведём доказательство.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что . С другой стороны вектор .

Сложим покомпонентно эти два равенства.

.

Векторы  и , а также  и  противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.

  • Тогда мы получаем, что .
  • Что и требовалось доказать.
  • Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы ,  и .
  • Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.
  • Так мы записали разложение вектора  по векторам  и , где оба коэффициента разложения равны .
  • Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.
  • Подведём итоги нашего урока.
  • Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.
  • Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
  • На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
  • Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
  • В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.
  • Если вектор  можно разложить по неколлинеарным векторам  и , то векторы ,  и  компланарны.
  • Справедливо также и обратное утверждение.
  • Если векторы ,  и  компланарны, а векторы  и  не коллинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Источник: https://videouroki.net/video/37-komplanarnyie-viektory.html

Компланарность векторов. Условия компланарности векторов

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).

Компланарные векторы - в помощь студенту
рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

  • Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
  • Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =    1     1     1    =
  1     3     1  
  2     2     2  

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

  1     1     1    ~
  1     2     0  
  0     -1     1  
  3     3     3  

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

  1     1     1    ~    1     1     1    ~ 
  1 — 1     2 — 1     0 — 1     0     1     -1  
  0     -1     1     0     -1     1  
  3 — 3     3 — 3     3 — 3     0     0     0  

к 3-тей строке добавим 2-рую

  1     1     1    ~    1     1     1  
  0     1     -1     0     1     -1  
  0 + 0     -1 + 1     1 + (-1)     0     0     0  
  3 — 3     3 — 3     3 — 3     0     0     0  

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

© 2011-2020 Довжик МихаилКопирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/coplanarity/

9.2. Компланарные векторы

 Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом

Определение 9.10. 

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

Компланарные векторы - в помощь студенту1
Рисунок 9.2.1

На рисунке 9.2.1 векторы   и компланарны, так как, если отложить от точки C вектор то все три вектора   и окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы   и не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ACD.

Теорема 9.4. Теорема о разложении по базису в плоскости.

Пусть векторы и не коллинеарны, тогда для любого вектора лежащего в одной плоскости с и существует единственная пара чисел α и β, такая, что

Эта теорема верна и для того случая, когда векторы   и параллельны одной плоскости.

2

Отложим от произвольной точки векторы и Спроектируем конец вектора на прямые, задаваемые векторами и в направлении, параллельном другому вектору (рис. 9.2.2).

Обозначим вектора с началами в точке O и с концами в полученных точках соответственно и Так как эти вектора лежат на тех же прямых, что и , и то по теореме 9.

3 существуют такие числа α и β, что   При этом по правилу параллелограмма  Значит,

Докажем теперь, что такая пара чисел единственна.

Предположим, что нашлось два разложения вектора по векторам и то есть нашлись две пары чисел   и   таких, что   и справедливы разложения: и Вычитая из первого равенства второе, получаем Отсюда, ввиду того что следует, что то есть что по условию не так. Полученное противоречие означает, что неравенство невозможно, а значит Аналогично доказывается, что Теорема доказана.

Читайте также:  Церковь в великом новгороде - в помощь студенту

Теорема 9.5. 

Если векторы   и , отложенные от одной точки, не лежат в одной плоскости, то равенство верно только при x = y = z = 0.

Действительно, из того, что следует, что Значит, вектор лежит в одной плоскости с векторами и что неверно. Поэтому x = 0. По той же причине y = 0 и z = 0.

Эта теорема позволяет от одного векторного равенства переходить к системе числовых равенств.

Теорема 9.6. Теорема о разложении по базису в пространстве.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Эта теорема доказывается аналогично теореме 9.4, и поэтому мы не будем на ней подробно останавливаться.



Источник: https://multiring.ru/course/stereometry/content/chapter9/section/paragraph2/theory.html

Презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему: Компланарные векторы | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Компланарные векторы Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11» 1

Слайд 2

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны. 2

  • Слайд 3
  • Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k 3
  • Слайд 4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C Являются ли векторы ВВ 1 , О D и ОЕ компланарными? В B 1 4

Слайд 5

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными? 5

Слайд 6

B C A 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B компланарными? Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 . Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. A D 6

Слайд 7

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. 7

Слайд 8

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АА 1 , СС 1 , ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. 8

Слайд 9

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АВ, А D , АА 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. 9

Слайд 10

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. 10

Слайд 11

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы не компланарны 11

Слайд 12

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности 12

Слайд 13

c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В 1 А 1 А С ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору . c c a 13

Слайд 14

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны.

c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение.

Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b 14

Слайд 15

Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС П О В Т О Р И М 15

Слайд 16

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + А D = АС А В D C П О В Т О Р И М 16

Слайд 17

Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М 17

  1. Слайд 18
  2. A В С В 1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD = 18
  3. Слайд 19

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения.

p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y 19

  • Слайд 20
  • p = xa + yb + zc Докажем, что любой вектор можно представить в виде p b c a p C B P 1 A P P 2 a b c p O По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р ОР 2 = x OA Р 2 Р 1 = у O В Р 1 Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc 20
  • Слайд 21

Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x 1 a + y 1 b + z 1 c p = xa + yb + zc – o = ( x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Это равенство выполняется только тогда, когда o o o Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы.

Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. 21

  1. Слайд 22
  2. D В A С B 1 C 1 D 1 №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + А D + АА 1 A 1 = AC 1 22
  3. Слайд 23
  4. В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: D А + DC + DD 1 A 1 = DB 1 B 1 23
  5. Слайд 24
  6. В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = DB 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC + DD 1 + DA 24
  7. Слайд 25
  8. В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = A 1 C B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1 25
  9. Слайд 26
  10. В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = BD 1 B 1 B 1 A 1 + BB 1 + BC BA + BB 1 + BC 26
  11. Слайд 27

В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Разложите вектор BD 1 по векторам BA , ВС и ВВ 1 . A 1 B 1 В D 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда 27

Слайд 28

В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A , А 1 В и А 1 D 1 . A 1 B 1 В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1 По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : из А 1 В 1 B = ( В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = = = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1 28

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2016/07/26/komplanarnye-vektory

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана — Аналитическая геометрия (1-й курс, 1-й семестр)

авторы А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Это расширенный вариант лекций, читаемых студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Баумана.

Дополнительный материал, включенный в этот вариант, представлен теми вопросами, которые вынесены на самостоятельное изучение и в аудитории, как правило, не рассматриваются (исключение — теория определителей, не отраженная в данных лекциях).

Кроме того, увеличено количество примеров решения типовых задач, что, на наш взгляд, также будет полезным при изучении курса (но при этом не отменяет семинарские занятия). Пока в текст не включена заключительная лекция по комплексным числам и многочленам, которая на экзамен не выносится и необходима для изучения математики во 2-м семестре.

В начале каждой лекции приведено краткое содержание, которое почти дословно совпадает с календарным планом по курсу (расхождения в основном вызваны разделением материала на отдельные лекции).  pdf  Скачать все лекции в одном файле

pdf  Лекция 1 . Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теоремы о проекциях.

pdf  Лекция 2 . Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости двух и трех векторов, линейная зависимость четырех векторов. Векторные пространства V1, V2, V3 и базисы в них. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Ортонормированный базис.

Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Направляющие косинусы вектора.

pdf  Лекция 3 . Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения.

Вычисление векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения.

Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов. 

pdf  Лекция 4 . Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Радиус-вектор точки, координаты точки; связь координат вектора с координатами его начала и конца. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении.

Геометрический смысл уравнения f(x,y)=0 на плоскости и F(x,y,z)=0 в пространстве. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках». Нормальный и направляющий векторы прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Вычисление угла между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

pdf  Лекция 5 . Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее уравнение плоскости; уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости «в отрезках». *Связка плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. 

pdf  Лекция 6 . Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой; векторное уравнение прямой; канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.

 

Лекции 7-8. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод их канонических уравнений. Исследование формы кривых второго порядка. Параметры кривых второго порядка (полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет). Оптическое свойство. Смещенные кривые второго порядка. Исследование неполного уравнения кривой второго порядка. 

pdf  Лекция 9 . Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Конус. Гиперболоиды. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

pdf  Лекция 10 . Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции с матрицами и их свойства. Транспонирование матриц. Операция умножения и ее свойства. Элементарные преобразования матриц, приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Блочные матрицы и операции с ними. *Прямая сумма матриц и ее свойства.

pdf  Лекция 11 . Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица.

Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц.

Решение матричных уравнений вида AX=B и XA=B с невырожденной матрицей А. Формулы Крамера. 

pdf  Лекция 12 . Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Способы вычисления ранга матрицы. (pdf)

pdf  Лекция 13 . Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ. Однородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ. 

pdf  Лекция 14 . Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Источник: http://fn.bmstu.ru/educational-work-fs-12/70-lections/239-ag

Ссылка на основную публикацию