Классическая модель затухающего дипольного осциллятора — в помощь студенту

До сих пор мы изучали свойства электромагнитных волн в пустом пространстве, основываясь на уравнениях Максвелла с равными нулю источниками r и .

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Такие уравнения без источников описывают распространение волн в пустоте, но не позволяют понять, как возникают электромагнитные волны, что является источником этих волн. Ответы на эти вопросы может дать только квантовая теория.

Однако исследование именно этих вопросов и привело к открытию квантовых законов природы. Само понятие «квант» было впервые введено Максом Планком в связи с исследованием излучения нагретых тел.

Первоначально излучение ЭМВ было получено с помощью так называемого «вибратора Герца». Частота излучения вибратора Герца составляет 107 – 108 Гц. Частота видимого света порядка 1014 – 1015 Гц.

Существуют ли вибраторы Герца с такими частотами? Поскольку частота излучения возрастает при уменьшении размеров вибратора, можно предположить, что элементарный источник света обладает чрезвычайно малыми размерами. Была высказана идея, что таким источником может быть атом или молекула.

Обсуждение физики излучения можно провести на основе классической модели атома как системы заряженных частиц, связанных упругими силами.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Состав атомного ядра - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Достоинство этой модели – простота и наглядность, возможность объяснись излучение света исходя из законов электродинамики макроскопических тел. Многие выводы классической теории находят качественное и даже количественное подтверждение в квантовой теории излучения.

Классическая модель атома позволяет дать теорию целого ряда явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом: поглощение и дисперсия света, разнообразные нелинейные процессы (генерация оптических гармоник, самофокусировка света и т. д.).

Классический образ атома – пара разноименных зарядов, связанных между собой упругой силой. Как могла бы выглядеть такая система? Согласно модели, предложенной Дж. Дж.

Томсоном, атом представляет собой непрерывно распределенный в некотором объеме положительный заряд, внутри которого находился электрон, удерживаемый в положении равновесия упругой электростатической силой.

Будучи выведенным из положения равновесия, электрон совершает гармонические колебания, частота которых w0 определяемся зарядом и массой электрона, а также размером атома. Конкретный пример системы подобного типа (для атома водорода) показан на рис. 1а.

Здесь точечный отрицательно заряженный электрон находится внутри однородного положительно заряженного шара. На рис. 1б. показана аналогичная модель, которая в большей степени соответствует современным представлениям о строении атома. В этой модели точечное положительно заряженное атомное ядро окружено «электронным облаком», которое в простейшем случае имеет вид однородно заряженного шара.

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

В обеих моделях при смещении центра распределенного заряда относительно точечного заряда противоположного знака возникает кулоновская возвращающая сила F = Kx, пропорциональная величине смещения X.Т. о., заряды взаимодействуют подобно шарикам, связанным пружинкой (рис. 1в).

  • Как известно из механики, в этом случае ускоренное движение заряда описывается уравнением гармонического осциллятора.
  • ,
  • Если
  • X = ACosw0T,
  • То
  • (1)

Собственная частота осциллятора определяется массой электрона M и силовой постоянной K.

Нетрудно вычислить эту постоянную для случая, когда распределенный заряд представляет собой однородно заряженный шар с радиусом A0 и зарядом Q.

Зная напряженность электрического поля внутри шара (Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту), получим

.

Следовательно, частота колебаний электрона в атоме Томсона определяется формулой

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Полагая Q = 1,6×10–19 Кл, M = 9,1×10–31 кг, A0 = 0,5×10–10 м, получим w0 = 4,5×1016 с–1 , или в герцах n0 = 7,2×1015 Гц. Таким образом, частота атомного осциллятора в модели Томсона, вычисленная исходя из известных параметров атома (заряд, масса электрона, размер атома), оказывается близкой к частоте оптических колебаний.

Излучение диполя

Имея в виду классическую модель атома, рассмотрим излучение пары электрических зарядов +Q и –Q, связанных между собой упругой силой. Такую систему будем называть диполем.

Основной характеристикой диполя является дипольный момент, определяемый в общем случае формулой Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту, где и – радиус-векторы зарядов. Причем осцилляции дипольного момента обусловлены изменением расстояния между зарядами по гармоническому закону.

Строгое решение задачи об излучении диполя может быть получено путем решения уравнений Максвелла с учетом переменного тока, вызванного ускоренным движением зарядов. В курсе электродинамики показано, что это решение имеет вид

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

В формулах (2) – радиус-вектор, проведенный от диполя в точку наблюдения поля, – единичный вектор вдоль этого направления, C – скорость света, точка над буквой обозначает дифференцирование по времени. Решение (2) справедливо для так называемой дальней зоны, т. е. области пространства, находящейся от диполя на расстоянии много больше размера диполя и длины волны излучения.

Поле излучения диполя представляет собой сферическую волну и имеет структуру, представленную на рис. 2.

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Если для каждой точки наблюдения ввести волновой вектор , направленный из начала координат вдоль вектора , то вектора , и в этой точке образуют правую тройку. Притом индукция магнитного поля сферической электромагнитной волны в каждой точке связана с напряженностью электрического поля в этой же точке тем же соотношением, что и для плоской волны.

Гармонические колебания диполя

Вычислим энергетические характеристики излучения диполя, считая, что диполь совершает гармонические колебания с амплитудой A и с частотой w0:

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Так что

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

– единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей заряды (рис. 2). Используя формулы (2) и (3), получим

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту
Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

(5)

Формулы (4,5) показывают, что излучение диполя линейно поляризовано, причем вектор Лежит в плоскости векторов и , а вектор перпендикулярен этой плоскости (рис. 2). Запишем вектор потока энергии

  1. Учитывая формулы (4,5), можно записать

Из определения единичного вектора следует, что , т. к. , . Поток энергии в волновой зоне

(6)

Совпадает с направлением радиус-вектора (рис. 2). Усредняя выражение (6) по времени, получаем интенсивность излучения диполя на расстоянии R

(7)

Зависимость интенсивности от направления выражается в (7) множителем Sin2q. Максимальная интенсивность наблюдается при q = p/2 т. е. в экваториальной плоскости: максимум интенсивности соответствует направлению, перпендикулярному оси диполя. Вдоль оси диполя (q = 0) энергия не излучается.

Угловое распределение излучаемой осциллирующим диполем энергии показано на рис. 3. с помощью «диаграммы направленности». Длина отрезка, проведенного из начала координат до пересечения с линией R = Sin2q, пропорциональна интенсивности распространяющейся в данном направлении волны.

Распределение интенсивности по направлениям в пространстве характеризуется поверхностью, которая получается вращением кривой на рис. 3 вокруг оси OX.

Полную энергию, излучаемую диполем за 1 с по всем направлениям (мощность излучения) можно найти, вычисляя через поверхность сферы радиусом R с центром в начале координат.

Разобьем сферу на кольца координатными поверхностями q = Const и q + DQ = Const. Площадь такого кольца равна 2pR2SinQDQ, а значение во всех его точках можно считать одинаковым.

Поэтому полная излучаемая мощность

(8)

Согласно формуле (8), излучаемая осциллятором мощность пропорциональна квадрату амплитуды его дипольного момента и четвертой степени частоты (обратно пропорциональна четвертой степени длины волны). Этот закон играет большую роль в теории рассеяния света. Короткие волны рассеиваются сильнее чем длинные. Этим объясняется голубой цвет неба и красный цвет Солнца на закате.

Выражаемый формулой (8) поток излучения осциллятора через поверхность сферы не зависит от ее радиуса, т. е. через любую охватывающую осциллятор замкнутую поверхность протекает за 1 с одинаковая энергия. Этот факт объясняет характер зависимости напряженности электрического поля в формуле (2).

Радиационное затухание

Осциллятор совершает незатухающие колебания лишь в том случае, когда эти колебания поддерживаются каким-либо внешним источником. Без такого источника колебания будут затухать даже при движении в абсолютно пустом пространстве, так как осциллятор теряет энергию на излучение.

Затухание колебаний атомного осциллятора, связанное с потерей энергии на излучение, получило название Радиационного затухания. Затухание колебаний можно описать, вводя в уравнение движения излучающего заряда некоторую эффективную «силу трения» таким образом, чтобы потеря энергии на излучение могла быть представлена как средняя работа этой силы.

Полагая эту силу пропорциональной скорости движения заряда , уравнение движения заряда запишем в виде

  • Надо помнить, однако, что никаких сил сопротивления, никакой «вязкости» в обычном смысле этого слова здесь нет.
  • Используя полученное выше выражение (8) для излучаемой осциллятором мощности, можно сделать оценку времени жизни атома в возбужденном состоянии.
  • Энергия осциллятора состоит из кинетической () и потенциальной (), средние значения которых равны между собой. Полная энергия осциллятора
  • (9)

Пропорциональна квадрату амплитуды. Излучаемая осциллятором мощность Pизл, представляющая собой скорость уменьшения энергии (–DW/Dt) в соответствии с (8) также пропорциональна квадрату амплитуды. Выражая A2 через энергию W из (9) и подставляя в правую часть (8), получаем, что скорость уменьшения энергии осциллятора пропорциональна его энергии:

  1. , (10)
  2. Где
  3. (11)
  4. Из уравнения (10) следует, что энергия возбуждения осциллятора уменьшается вследствие потерь на излучение по экспоненциальному закону:
  5. Здесь tЭ = 1/2g – время радиационного затухания, в течение которого энергия осциллятора уменьшаемся в E = 2,72 раз. Амплитуда A колебаний осциллятора также убывает экспоненциально:
  6. (12)

Длительность этого процесса характеризуемся временем t затухания амплитуды: t = 1/g (время жизни колебаний), которое в два раза превышает время затухания энергии: t = 2tэ.

Принимая в формуле (11) для w0 = 2pC/l0 значение, соответствующее l0  = 0,5 мкм (видимый свет), находим, что g»108 с–1, поэтому время жизни возбужденного состояния атома, обусловленное радиационным затуханием, по порядку величины равно 10–8 с.

Этот результат согласуется с опытными данными. Затухание колебаний излучающего электрона, описываемое формулой

,

Представлено на рис. 4 в искаженном масштабе. За время затухания осциллятор совершает около 107 полных колебаний, период которых T»10–15 с. Время t определяет продолжительность цуга волн, испускаемых возбужденным осциллятором (неподвижным изолированным атомом).

Зависимость поля излучения E(T) отдельного атома от времени подобна зависимости, показанной на рис. 4.

  • В фиксированной точке пространства поле излучения имеет вид модулированного колебания и его можно приближенно записать в виде
  • , (13)
  • Где E0 и j – начальные амплитуда и фаза колебаний электрического поля в точке наблюдения, w0 и t – частота и время затухания свободных электронных колебаний.

Рассмотрим спектральный состав модулированного колебания (13), т. е. спектральный состав излучения, представляющего собой одиночный затухающий волновой цуг конечной длительности.

  1. Естественная ширина линии излучения
  2. Полагая в (13) начальную фазу равной нулю, напряженность поля в волне, испускаемой затухающим осциллятором, представим в виде
  3. (14)
  4. Где постоянная g = 1/t определяется соотношением (11). Для нахождения спектра излучения выполним обратное преобразование Фурье
  5. (15)
  6. Для вычисления интеграла (15) удобно CosW0T выразить через показательные функции
  7. ,
  8. Тогда
  9. (16)
  10. Рассчитаем первый интеграл
  11. И рассмотрим функцию – спектральную плотность энергии с учетом только одного слагаемого
  12. (17)
Читайте также:  Куликовская битва - в помощь студенту

Согласно (17), S(w) имеет максимум в точке w = w0. При g 

Источник: https://www.webpoliteh.ru/3-1-klassicheskaya-model-izluchatelya-emv/

Поле дипольного осциллятора — Физика

Уравнение электромагнитной волны

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Дифференциальные уравнения

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Электромагни́тные во́лныэлектромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Электромагнитной волной называют распространяющеесяэлектромагнитное поле.

Монохроматическая волна. Плоская волна. Сферическая волна

Монохроматическая волна — это строго синусоидальная волна с постоянной во времени частотой , амплитудой и начальной фазой .

На практике чисто монохроматическая волна не осуществима, так как должна была бы быть бесконечной — прежде всего, во времени. Реальные процессы излучения ограничены во времени, и поэтому под монохроматической обычно понимается волна с очень узким спектром. Чем уже интервал, в котором находятся частоты реальной волны, тем «монохроматичнее» излучение.

В общем случае уравнение монохроматической волны имеет вид

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Плоская волна — волна, фронт которой имеет форму плоскости.

Фронт плоской волны неограничен по размерам, вектор фазовой скорости перпендикулярен фронту. такая волна в природе не существует. Кроме того, плоская волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия.

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

  • Сферическая волна
  • волна, фронт которой представляет собой сферу.
  • Вектор фазовой скорости расходящейся сферической волны ориентирован в радиальном направлении от источника
  • В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.
  • Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту Следовательно, уравнение сферической волны:
  • Излучение электромагнитной волны

Электромагнитные волны возбуждаются изменяющимся во времени электрическими токами, а так же отдельными движущимися электрическими зарядами. Процесс возбуждения электромагнитных волн электрический системой называется излучение электромагнитных волн.

поле дипольного осциллятора

Излучение диполя

Покоящийся заряд создает электростатическое поле. При движении заряда возникает магнитное поле. По классической электродинамике излучение электромагнитных волн происходит только при ускоренном движении электрического заряда. Если по проводнику протекает постоянный ток, то он создает вокруг себя магнитное поле.

При этом такой проводник создает слабое электрическое поле, т.к. сумма зарядов на проводнике, как правило, очень мала. Поэтому особый интерес представляет излучение электромагнитных волн электрически нейтральной системой. Простейшая модель излучателя – это диполь, момент которого изменяется по гармоническому закону.

ненулевой дипольный момент — это диполь (две точечные частицы с одинаковыми по величине разноимёнными зарядами).

Источник: https://student2.ru/fizika/1893557-pole-dipolnogo-oscillyatora/

Осциллятор. Базовые формы звуковых волн

Что же такое осциллятор? Википедия трактует это понятие следующим образом.

Осцилля́тор (от лат. oscillo — качаюсь) — система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Если говорить на понятном языке, осциллятор в электронной музыке – это генератор звуковой волны.

В аналоговых синтезаторах источником звука служит электрическая схема, на выходе которой создается периодическое изменение напряжения – вибрация, но электрическая. В цифровых синтезаторах и сэмплерах – цифро-аналоговый преобразователь, на выходе которого также создается изменяющееся напряжение.

Осциллятор может генерировать различные формы волн, но из них можно выделить несколько базовых:

  1. Синусоидальная
  2. Треугольная
  3. Пилообразная
  4. Прямоугольная

Все электронные звуки представляют собой комбинацию этих волн. Некоторые генераторы имеют возможность производить более сложные формы волн, но они являются производными от базовых.

Синусоидальная форма волны (sine) является самой простой. Такой сигнал мягкий и чистый (с лёгкой размытостью) не содержащий дополнительных гармоник.

Синусоидальная звуковая волна

http://fierymusic.ru/wp-content/uploads/2011/12/Sine.mp3

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Треугольная форма волны (triangle) является как бы промежуточным этапом между синусоидальной и прямоугольной формами. Эта форма волны имеет похожий мягкий звук, но он более ярковыраженный (без размытости).

Треугольная звуковая волна

http://fierymusic.ru/wp-content/uploads/2011/12/Triangle.mp3

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Пилообразная форма волны (saw tooth) наиболее богата гармониками. Её звук резкий, режущий, едкий, напоминающий жужжание.

Пилообразная звуковая волна

http://fierymusic.ru/wp-content/uploads/2011/12/Sawtooth.mp3

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Прямоугольная форма волны (square) создаёт более жесткий, давящий звук. Из перечисленных форм волн с помощью аналоговой электрической цепи проще всего сформировать именно прямоугольную.

Прямоугольная звуковая волна

http://fierymusic.ru/wp-content/uploads/2011/12/Square.mp3

Классическая модель затухающего дипольного осциллятора - в помощь студенту

Источник: https://fierymusic.ru/teoriya-zvuka/oscillator

Осцилляторная модель диэлектрической функции среды. модель лоренца

В этом параграфе изложим достаточно простую феноменологическую модель, которая позволяет описать диэлектрическую функцию среды, e(oj). В своей основе модель использует простые гармонические осцилляторы, или осцилляторы Лоренца. Поэтому в литературе эту модель называют еще и осцилляторной моделью Лоренца.

Подход Лоренца оказался очень конструктивным, поскольку его легко адаптировать к разнообразным физическим объектам, в которых проявляются гармонические свойства осцилляторов. К числу таких объектов относятся оптические фононы, слабо связанные центры в полупроводниках и диэлектриках, F-центры в щелочно-галлоид- ных кристаллах, экситонно-примесные комплексы и пр.

В рамках осцилляторной модели удается описать как внут- рицентровые, так и межзонные оптические переходы.

6.1. МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим модель Лоренца подробнее. На рисунке 6.1 схематически изображен ансамбль несвязанных между собой идентичных гармонических осцилляторов, представляющих возбуждения в полупроводнике.

Каждый осциллятор имеет точечный заряд — (—е), массу т, характеризуется силовой константой, или константой упругости р, резонансной частотой со0 = v;'p и имеет конечное затухание у.

Поскольку среда, которую мы пытаемся описать на языке простых гармонических осцилля-

Рис. 6.1

Качественное изображение ансамбля не связанных между собой гармонических осцилляторов, моделирующих возбуждения в полупроводнике:

а — все осцилляторы в исходном равновесном состоянии; Ь — все осцилляторы совершают колебания в фазе (длина волны /. -»оо); с — все осцилляторы колеблются в противофазе (X — 2а, а — период упорядоченного расположения осцилляторов); d — возбуждение «волновогопакета».

торов, электрически нейтральна, предполагается, что отрицательные заряды осцилляторов полностью компенсируются положительно заряженным фоном, проистекающим, например, от атомных остовов (модель желе).

Теперь мы хотим проанализировать действие на данные осцилляторы электромагнитного поля световой волны.

Поскольку каждый осциллятор заряжен, электрическое поле световой волны выводит осциллятор из равновесного положения и тем самым поляризует его, т. е. индуцирует в нем дипольный момент.

Электромагнитное поле световой волны полагается слишком слабым, чтобы происходили процессы ионизации. Индуцированный полем дипольный момент осциллирует синхронно с полем.

Будем считать, что плоская электромагнитная волна, линейно поляризованная вдоль направления х, проходит сквозь среду в направлении г:

Запишем дифференциальное уравнение движения одиночного осциллятора в поле линейно поляризованной электромагнитной волны в виде:

После включения внешней силы еЕ0е~ш в момент времени t0 реакция системы описывается двумя слагаемыми соответствующего решения уравнения (6.1):

Первое слагаемое в правой части (6.3) характеризует затухающие колебания с собственной резонансной частотой со0. Это слагаемое исчезающе мало на временах t з> у-1. Второе слагаемое описывает колебания осциллятора, индуцированные полем электромагнитной волны. Амплитуда смещения осциллятора относительно равновесного положения, xd, описываются формулой:

Осциллирующие смещения непосредственно определяют осцилляции дипольного момента, р = -exd(oi), и соответствующую поляризуемость:

Источник: https://ozlib.com/803811/fizika/gpava_ostsillyatornaya_model_dielektricheskoy_funktsii_sredy_model_lorentsa

Модель гармонического осциллятора

Для наглядности будем рассматривать простейший случай – колебание двухатомной молекулы, для определенности выберем молекулу хлористого водорода HCl.

Решение любой задачи подразумевает выбор некоторой модели, по возможности более простой, но отражающей основные свойства реальной системы.

Определимся с моделью двухатомной молекулы, объясняющей инфракрасные колебательные спектры поглощения.

В начале будем исходить из максимально упрощенной модели. Очевидно, таковой является система из двух материальных точек с массами, равными массам ядер молекулы, и противоположными зарядами. В случае молекул, состоящих из одинаковых атомов, например H2, материальные точки нашей модели не имеют заряда.

В случае же молекулы HCl, точка, соответствующая водороду, имеет отрицательный заряд, а точка, соответствующая хлору – положительный. В данном приближении дипольный момент d молекулы линейно зависит от расстояния между ядрами. Далее, предположим, что потенциал взаимодействия ядер строго гармонический, т.е.

потенциальная энергия пропорциональна квадрату отклонения расстояния между ядрами R от равновесного расстояния Re: . Здесь – коэффициент жесткости связи ядер. В дальнейшем отклонение будем обозначать как r.

Как известно, задачу колебания двух материальных точек с массами m1 и m2 можно свести к задаче колебания одной точки с массой . Масса называется приведенной. Тогда частота колебаний ядер в нашей модели равна . Теперь становится ясным, что простейшей моделью двухатомной молекулы как колебательной системы, является одномерный гармонический осциллятор.

  • Для гармонического осциллятора имеется точное решение уравнения Шредингера: известны и волновые функции и соответствующие им значения энергии. Именно, энергетический спектр (набор разрешенных энергий) одномерного гармонического осциллятора задается выражением
  • ,
  • Естественно этой же формулой задается и энергетический спектр двухатомной молекулы в гармоническом приближении.

Здесь уместно сделать замечание относительно размерностей используемых физических величин. В спектроскопии часто используется частота (иначе, волновое число), по определению она равна отношению. Частота имеет размерность длины в минус первой степени. Как правило, в литературе используется единица измерения см-1, реже применяется м-1. Кроме того, часто формально заменяется на , благодаря чему энергия также принимает размерность см-1. Энергия гармонического осциллятора тогда запишется как

Можно легко показать (см. раздел 2.1), что в рамках нашей модели поглощение и испускание электромагнитного излучения двухатомными молекулами, состоящими из одинаковых атомов (дипольный момент которых равен нулю) невозможно. Для модели молекул, состоящих из различных атомов (дипольный момент отличен от нуля), существует правило отбора Dn=+1, т.е.

с n‑го уровня она может перейти лишь на n-1-й уровень (испуская при этом квант электромагнитного излучения) либо на n+1-й (поглощая квант).

Это означает, что если бы данная модель совершенно точно описывала реальную молекулу, то в колебательном спектре поглощения двухатомных молекул была бы лишь одна линия с частотой w, соответствующей разности энергий двух соседних линий:

В действительности же молекулы, не имеющие дипольного момента, могут поглощать и испускать излучение за счет отличных от нуля

4 мультипольных моментов: квадрупольного, октупольного, гексадекапольного и т.д. моментов. Обычно интенсивность взаимодействия таких молекул с излучением очень низка, и мы не будем рассматривать этот случай здесь.

Как показывает детальный расчет, для молекул, состоящих из различных атомов, вклад квадрупольного и последующих моментов оказывается пренебрежимо малым, поэтому в дальнейшем мы будем считать, что молекулы имеют только дипольный момент.

В спектрах поглощения реальных молекул, состоящих из разных атомов, помимо интенсивной линии основного тона, имеющей частоту примерно равную w (переход 0→1), имеются и гораздо более слабые линии обертонов с частотами приблизительно 2w, 3w, … (переходы 0→2, 0→3, …). Таким образом, наша простейшая модель описывает реальную молекулу лишь приближенно. Для более точного описания спектров необходимо усложнить нашу модель — ввести понятие ангармоничности.

Обсуждая ангармоничность колебаний молекул, следует отметить, что существует механическая ангармоничность и электрооптическая ангармоничность.

Механическая ангармоничность связана с отличием потенциала взаимодействия ядер молекулы от строго гармонического.

Как известно, потенциальная функция реальных молекул имеет минимум при r=0 (равновесное расстояние между ядрами), стремится к бесконечности при стремлении r к 0 (возрастание силы отталкивания при сближении ядер на малое расстояние) и стремится к некоторой постоянной величине при стремлении r к бесконечности. Формально механическая ангармоничность описывается введением разложения потенциальной функции по колебательной координате r:

Механическая ангармоничность приводит к смещению энергетических уровней молекулы от уровней гармонического осциллятора . Зависимость энергетических уровней молекулы En от квантового числа n принято записывать в виде ряда по степеням числа :

Безразмерные коэффициенты не равны нулю лишь для ангармонических колебаний и поэтому называются параметрами ангармоничности. Перед определен знак минус, потому что для всех молекул данное слагаемое дает отрицательный вклад в энергию и тогда оказывается положительным, что удобно при вычислениях. Величины параметров ангармоничности быстро убывают с возрастанием номера соответствующего слагаемого:

Источник: https://studopedia.ru/3_11687_model-garmonicheskogo-ostsillyatora.html

Шпора!

  • Собственные и затухающие колебания Гармонического осциллятора
  • Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука):
  • Затухающий гармонический осциллятор
  • Основная статья: Затухающие колебания

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент γ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

  1. Решение же распадается на три случая.
  2. При малом трении (γ < ω0) общее решение записывается в виде:
  3. , где  — частота свободных колебаний.

Затухание γ = ω0 называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

При сильном же трении γ > ω0 решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия.

Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания.

Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q. По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора.

Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз.

Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

  • Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.
  • Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на π.
  • В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:
Читайте также:  Компланарные векторы - в помощь студенту

Время жизни колебаний, оно же время затухания, оно же время релаксации. τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

τ = 1 / γ

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

Источник: http://student48.ru/shpora/theme-1/6/

ПОИСК

    Классическая механика, действительно, оперирует со средними значениями квантовой механики, и при больших квантовых числах квантовые законы приближаются к классическим. Однако это достигается введением определенных ограничений или запретов (правила отбора).

Так, гармонический осциллятор (электрон) согласно квантовым представлениям может находиться в различных дискретных состояниях и испускать определенный набор волн с различными частотами.

Допустим, что квантовые числа осциллятора возрастают— соответственно уменьшается интервал между уровнями если наложить ограничение на переходы, потребовав, чтобы разрешенными были только переходы между соседними уровнями, то при больших квантовых числах осциллятор будет испускать излучение лишь одной частоты, т. е.

будет вести себя как классический осциллятор. Поэтому правила отбора по существу представляют собой мост между классической и квантовой механикой. [c.50]     Для гармонического осциллятора правило отбора До 1 сохраняется. [c.

256]

    При поглощении кванта ИК-излучения происходит переход из состояния в состояние +1 (рис. 74, а). Для гармонического осциллятора правила отбора допускают только переходы Аи=1. Относительное число молекул, находящихся на каждом из колебательных уровней в условиях теплового равновесия, о) еделяется законом Больцмана и пропорционально величине е где [c.200]

    Величина Хе — поправка на ангармоничность — значительно меньше 1 и играет роль при больших числах V. Ее наличие приводит к тому, что колебательные уровни ангармонического осциллятора сближаются с ростом V.

Для ангармонического осциллятора правило отбора Аи = 1 выполняется не так строго, как для гармонического. Могут происходить и переходы с Ау = 2, 3 хотя и с гораздо меньшей интенсивностью.

Это приводит к тому, что в инфракрасном спектре поглощения кроме основной частоты наблюдаются переходы с примерно удвоенной, утроенной и т. д. частотами. [c.199]

    Гомонуклеарные молекулы Hj, Oj, lj и т. п. не имеют дипольного момента, и при колебаниях он не появляется. Поэтому = О и эти молекулы неактивны в спектрах поглощения и испускания. Гетеронуклеарные молекулы типа НС1, НВг, КС1 и т. д.

, напротив, активны в этих спектрах, так как их дипольные моменты изменяются при колебаниях, и тем сильнее, чем более они полярны.

Из вида волновых функций 1 5 ол следует правило отбора для гармонического осциллятора переходы с поглощением или испусканием света возможны только между соседними уровнями  [c.159]

    Правила отбора и спектр поглощения ангармонического осциллятора. Так же как и для гармонического осциллятора, интенсивность [c.161]

    Найти правила отбора по симметрии для дипольного момента перехода гармонического осциллятора. [c.230]

    Переход А , у = А о = vo является единственным для гармонического осциллятора в основном колебательном состоянии. Частоты любых переходов, кроме первого (основного), ангармонического осциллятора называют обертонами. Правило отбора здесь, имеет вид Аи = 1, 2, 3,. . ..  [c.345]

    Ко всему сказанному относительно спектра поглощения в близкой инфракрасной области следует добавить следующее.

Во-первых, правило отбора Av = 1, строго справедливое для гармонического осциллятора, может нарушаться при ангармоническом осцилляторе, представляющем молекулярную модель более точного приближения.

Поэтому в действительности наблюдается не одна основная полоса поглощения, но и ряд значительно менее интенсивных полос (вторая полоса менее интенсивная приблизительно в 10, третья — в 100, четвертая — в 1000 раз). [c.252]

    Частное правило отбора, определяющее колебательные переходы в двухатомном гармоническом осцилляторе, имеет вид Ди = 1, и следовало бы ожидать, что единственная появляющаяся в спектре частота представляет собой основную частоту vo. На самом деле это не [c.68]

    Приближение гармонического осциллятора достаточно корректно для описания основного колебания, т. е. перехода от и = 0 к 0=1. Помимо требований об изменении дипольного момента при ИК-переходах это приближение приводит еще к одному правилу отбора для поглощения света А1 = + 1.

Поскольку при комнатной температуре большинство молекул находится в состоянии с и = 0. наблюдается практически только основное колебание. Нарушения этого правила связаны с ангармоничностью. Переходы ио 02-, ио- 1>з носят название первого и второго обертонов.

Интенсивность первого обертона на порядок, а второго — на два порядка ниже интенсивности основного перехода. [c.268]

    Ранее мы уже обсуждали вывод правил отбора для жесткого ротатора и гармонического осциллятора. Теперь мы рассмотрим вывод правил отбора для атомной спектроскопии на основании учета симметрии.

Интенсивность поглощения энергии при переходе из состояния i в состояние / можно определить как энергию, поглощаемую из падающего пучка с единичным поперечным сечением за единицу времени.

Математически этому определению отвечает соотношение (см. разд. 6.7) [c.176]

    Квантовомеханическое рассмотрение переходов между колебательными уровнями показывает, что для гармонического осциллятора с дипольным моментом, пропорциональным межъядерному расстоянию, правило отбора имеет вид [c.463]

    Ангармоничность приводит к тому, что правило отбора для гармонических осцилляторов становится не столь строгим, а это способствует возникновению обертонов и составных полос (рис. 5.3).

В общем случае поглощение обертонов колебаний попадает приблизительно в область (2ух) — Ь, где Ь = 2 — 10 см (иногда и больше). Некоторые полосы имеют отрицательную ангармоничность. Это озна- [c.

151]

    Это правило отбора утверждает, что для наблюдения перехода-между некоторыми двумя состояниями соответствующий переходный диполь должен иметь хотя бы одну ненулевую компоненту (либо координату, так как (1 = ег или, в других обозначениях, ед).

В отличие от ситуации в микроволновой спектроскопии координаты атомов (а следовательно, и диполь молекулы) изменяются в процессе колебаний.

Поскольку мы уже получили выражение для гейзенберговской матрицы О, нам известно, какие колебательные состояния имеют компоненты координат, связывающие их, и это сразу же позволяет вывести правила отбора для инфракрасных спектров в приближении гармонического осциллятора. Из уравнения (4.19) следует, что [c.85]

    Колебательная спектроскопия включает также метод комбинационного рассеяния. Спектроскопия комбинационного рассеяния основана на явлении неупругого рассеяния света. Энергия рассеиваемого света отличается от энергии падающего света на величину, соответствующую энергии колебательного возбуждения.

Взаимодействие между светом и колеблющейся молекулой зависит от ее поляризуемости. Соответствующий оператор, по которому определяется правило отбора, представляет собой оператор квадрупольного момента, включающий квадраты координат. Уравнение (4.25) определяет гейзенберговскую матрицу для (Х .

Эта матрица имеет ненулевые элементы на диагонали и на расстоянии двух элементов от нее. На первый взгляд может показаться, что Ап должно быть равно 2, однако исследование матричных элементов показывает, что они зависят только от ненулевых элементов матрицы О.

Поэтому правило отбора в спектроскопии комбинационного рассеяния, выраженное через Ап, в приближении гармонического осциллятора должно было бы совпадать с правилом отбора в спектроскопии инфракрасного поглощения.

Однако в дальнейшем мы убедимся, что существуют налагаемые симметрией правила отбора, которые неодинаковы для инфракрасной спектроскопии и спектроскопии комбинационного рассеяния. [c.86]

    В результате квантования кол получается набор колебательных уровней, характерной особенностью которых является то, что они отличаются друг от друга на одну и ту же величину энергии, равную Ьуо (см. рис. 14.4.44, а). Правило отбора для переходов между колебательными уровнями гармонического осциллятора имеет вид [c.430]

    Действительно, из правил отбора для матричных элементов координаты гармонического осциллятора следует, что под влиянием взаимодействия, пропорционального ху, переходы г 1 г 1 в одном осцилляторе сопровождаются переходом 2 -> г з + 1 в другом осцилляторе.

В первом случае изменение колебательной энергии равно АЕ = ЙАм = = Й((й1 — (О2), во втором — И ((О1 4- (Оз)- При условии, когда параметр Месси (ОТ велик, можно ограничиться рассмотрением процессов, которые протекают с минимальным выделением или поглощением кинети- [c.

173]

    Колебательные правила отбора получаются из уравнения (9), если подставить в него вместо собственных волновых функций г произведение функций гармонического осциллятора и вместо компонент поляризуемости—разложение в ряд, даваемое выражением (4). Тогда для матричных элементов получается выражение [c.133]

    Для гармонического осциллятора имеем нижеследующее правило отбора для комбинационного рассеяния. Допустим, что гармонический осциллятор находится первоначально в состоянии а с квантовым числом п. Тогда матричный элемент [c.163]

    Второе правило отбора выводится на основе приближения гармонического осциллятора.

Это правило, строгое для гармонического колебания, утверждает, что при поглощении излучения могут происходить только переходы, при которых Ао= + 1.

Поскольку большинство молекул находится при комнатной температуре на колебательном уровне с Uo, большинство переходов происходит с Vo на Vi. [c.209]

    Согласно правилу отбора для гармонического осциллятора, разрещены все переходы, соответствующие Ду= 1 (разд. 2 ч. I). Но при обычных условиях могут наблюдаться только фундаментальные частоты, которые возникают при переходе с уровня у=0 на уровень v = в основном электронном состоянии молекулы.

Это происходит вследствие того, что большинство переходов характеризуется начальным состоянием и = 0, так как при комнатной температуре число молекул в этом состоянии исключительно велико по сравнению с числом молекул в возбужденных состояниях (закон распределения Максвелла—Больцмана).

Кроме правила отбора для гармонического осциллятора, дополнительное ограничение накладывается симметрией молекулы (разд. 9 ч. I). Вследствие этого число разрешенных переходов в многоатомных молекулах значительно уменьшается. Обертона и составные частоты этих фундаментальных частот правилом отбора для гармонического осциллятора запрещены. Однако вследствие ангармоничности колебаний (разд.

2 ч. I) они наблюдаются в спектре в виде слабых полос. Так как они менее важны, чем фундаментальные частоты, то будут рассмотрены только тогда, когда в этом будет необходимость. [c.20]

    Вычисление колебательных матричных элементов (а ц )оо и определение правил отбора для дважды вырожденных колебаний заслуживают особого внимания. Волновая функция для двумерного гармонического осциллятора в полярных координатах [c.169]

    Таким образом, и в колебательно-колебательных, и в колебательно-поступательных переходах выполняется правило отбора Ау= 1 (разд. 4.3 и 4.4.1).

Возможны три различных обменных процесса дезактивации возбужденных КО(Л22+) (у = 1, 2 или 3) при столкновениях с N2(0=0) соответствующие числа столкновений равны 2з,2 0,1=200 22,1 0,1 = 440 21,о о, 1 = 790.

Полученные численные значения показывают, что вероятность обмена при Ди = 1 возрастает почти пропорционально номеру колебательного уровня в соответствии с теорией релаксации для гармонического осциллятора [79]. [c.264]

    Правило отбора Дг= строго говоря, приложимо только к гармоническому осциллятору. Если колебания являются ангармоническими, то становятся возможными обертоны, для которых Ди = 2, 3,… ИТ. д. Такие обертоны, если они вообще наблюдаются, будут очень слабыми. Их частоты будут определяться уравнением (29.14), так как большинство молекул [c.246]

    После взаимодействия поле излучения находится в состоянии R, а молекула — в квантовом состоянии п и г — другие состояния системы, суммирование проводится по всем этим состояниям.

Анализ выражения (V, 2-8) показывает, что квантовые числа двух замкнутых резонаторов могут изменяться каждый раз на +1 или на —1. Это связано с тем, что возмущение линейно зависит от координат а что правила отбора для гармонического осциллятора имеют вид Айд= 1.

Если два осциллятора обозначить а и р соответственно, то эти изменения можно представить следующим образом  [c.157]

    Для гармонического осциллятора правило отбора записывается в впде Av = =Ы, т. е. спектр гармошгтеского осциллятора состоит из одной линии или полосы на частоте собственных колебаний i/q. [c.89]

    Правило отбора для гармонического осциллятора следующее Аи = 1, т. е. возможны только переходы между соседними уровнями. Поскольку расстояние между уровнями энергии одинаковое, то в спектре должна наблюдаться полоса только одной частоты.

Действительно, в спектрах поглощения в инфракрасной области для двухатомных молекул наблюдается одна интенсивная полоса. Полосы, соответствующие приблизительно удвоенной, утроенной и т. д. частотам, имеют значительно меньшую инхенсивность.

Их появление объясняется тем, что колеблющаяся молекула строго говоря не является гармоническим осцилля- [c.198]

    Из (5.

102) легко видеть, что уровни энергии уже не располагаются на равных расстояниях друг от друга, как у гармонического осциллятора, а образуют систему неравноотстоящих уровней, сближающихся по мере увеличения колебательного квантового числа V и, наконец, сливаются при достижении = В. Правило отбора для ангармонического осциллятора уже не имеет ограничений, характерных для гармонического осциллятора, и переходы могут реализовываться на любой уровень, т. е. [c.90]

    Бауэра и Каммингса [50], которые, подобно Такаянаги [51], применили приближение модифицированного волнового числа (МВЧ) к анализу релаксации N2(0 = 6) и N0( = 5) и получили, что в обоих случаях вероятность перехода с бо>1 на несколько порядков ниже, чем для бо = 1.

Экспериментальное исследование такого явления требует особого внимания, так как дезактивация сильно возбужденных молекул при гомомолеку-лярпых столкновениях обычно происходит в более быстром резонансном колебательно-колебательном обмене (см. ниже), а не в колебательно-поступательных переходах.

Правила отбора и зависимость скорости релаксации от и недостаточно изучены экспериментально.

Хукер и Милликен [52] наблюдали зависимость от времени излучения основной частоты (у = 1-)-0) и обертона (и = 2->0) окиси углерода, нагретой в ударной волне, и показали, что интенсивность первого излучения возрастает линейно, а увеличению второго предшествует период индукции В рамках модели многоуровневого гармонического осциллятора [54] с переходами Ди = 1 Дециус [53] установил, что для основной частоты излучения зависимость между 1 [1 — (///оо)] и временем I должна быть линейной, а коэффициент пропорциональности представляет собой величину, обратную времени релаксации для обертона должна соблюдаться линейная зависимость между lg [1 — (///оо) «] и / с тем же коэффициентом пропорциональности величина ///со — отношение текущей и равновесной интенсивностей излучения. По измерениям Милликена и Хукера, времена релаксации для у = 1 и у = 2 равны соответственно 172 и 190 мкс ). Такая разница может служить подтверждением следующего механизма возбуждения  [c.246]

Источник: https://www.chem21.info/info/147015/

Ссылка на основную публикацию