Десятичные дроби. понятие десятичной дроби — в помощь студенту

  • Математика
  • 6 класс
  • Урок № 55
  • Понятие положительной десятичной дроби
  • Перечень рассматриваемых вопросов:
  • десятичная запись дробей;
  • переход от десятичной дроби к обыкновенной и наоборот;
  • десятичные дроби и метрическая система мер.
  1. Глоссарий по теме
  2. Числитель дроби – это число, записанное над дробной чертой.
  3. Знаменатель дроби – число, записанное под дробной чертой.
  4. Правильная положительная дробь – в которой числитель меньше знаменателя.
  5. Неправильная положительная дробь – в которой числитель больше знаменателя или равен ему.

Десятичная дробь – это дробь, у которой знаменатель является степенью числа 10. Десятичные дроби записывают без знаменателей, выделяя целую часть (целая часть правильной дроби считается равной 0), и отделяя её запятой от числителя дробной части.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Десятичная запись дробей встречается вокруг нас очень часто. В первую очередь, мы встречаем её в магазинах на ценниках товаров. Например, 159,80 рублей. Также десятичную запись дробей используют для более точных вычислений. Например,в статистических подсчётах, или в конструировании автомобилей. Десятичная запись дробей намного удобнее и компактнее, чем обыкновенная.

Вы, наверное, замечали, что вокруг нас часто встречаются величины, которые отличаются одна от другой в 10, 100, 1000 и т. д. раз. Рассмотрим, например, единицы длины.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Язычество на руси - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Выразим расстояние 6 дм 3 см в сантиметрах.

6 дм 3 см = 63 см

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой.

Пример

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Любую дробь, знаменатель которой выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят иначе, в виде десятичной дроби.

Для того, чтобы лучше разобраться в чтении и записи десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов.

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Здесь видно, что отсутствующий в числе разряд заменяют цифрой 0.

Например, в числе 38 целых 135 стотысячных отсутствуют разряды десятых и сотых, поэтому десятичная запись этого числа будет выглядеть таким образом: 38,00135.

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

  • Таким образом, получается, что числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей дроби.
  • Так же как и натуральное число, десятичную дробь можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.
  • Например, число 2,015 имеет две целых единицы, нуль десятых, одну сотую и пять тысячных. Получаем:
  • 2,015=2+0,01+0,005

1. Запишите обыкновенные дроби и смешанные числа в виде десятичных дробей.

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Целая часть 24 единицы, запишем 24 и отделим запятой. Знаменатель 100, значит, после запятой будет две цифры. Числитель 25, запишем его сразу после запятой,

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Целая часть 75 единиц, запишем 75 и отделим запятой. Знаменатель 10000, значит, после запятой будет четыре цифры. Числитель 8, значит разряды десятых, сотых и тысячных отсутствуют, заменим их нулями, получилось

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Дробь является неправильной, так как числитель больше знаменателя. Переведём её в смешанное число.

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Целая часть три единицы, запишем цифру 3 и отделим запятой. Знаменатель 10, значит, после запятой будет одна цифра. Числитель 7, запишем его сразу после запятой,

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

2. Запишите в виде обыкновенной дроби или смешанного числа.

При записи десятичной дроби в виде обыкновенной, работаем по правилу «как слышим, так и пишем». Помним, что количество нулей в знаменателе равно количеству цифр после запятой.

567,39 = ?

Две цифры после запятой, значит, знаменатель 100. Читаем: «567 целых 39 сотых». Записываем. Итак,

  1. 6,005 = ?
  2. Три цифры после запятой, значит, знаменатель 1000.
  3. 3. Выразите
  • в дециметрах: 5 дм 6 см, 9 см.
  • В одном дециметре 10 см, значит, 1 см = 0,1 дм.
  • Получаем
  • 5 дм 6 см = 5,6 дм
  • 9 см = 0,9 дм
  • в тоннах и килограммах: 24,3 т, 4,05 т
  1. В одной тонне 1000 килограммов, получаем
  2. 24,3 т = 24,300 т = 24 т 300 кг
  3. 4,05 т = 4,050 т = 4 т 50 кг
  4. Рассмотрим ещё несколько примеров перехода от обыкновенной дроби к десятичной.
  5. Чтобы записать эту дробь в виде десятичной, нужно привести знаменатель к виду единицы с нулями. Это будет
  6. Разбор заданий тренировочного модуля.
  7. Выбор элемента из выпадающего списка
  8. Выберите правильный ответ.
  9. Выразите в тоннах 11 т 5 ц 6 кг.
  10. Варианты ответов:
  11. 11,56
  12. 115,6
  13. 11,506
  14. 11.056
  15. Решение.
  16. 1 ц = 0,1 т, значит, 5 ц=0,5 т
  17. 1 кг = 0,001 т, значит. 6 кг = 0,006 т
  18. Получаем: 11 т 5 ц 6 кг=11,506 т
  19. Ответ. 11,506
  20. Подчеркивания / зачеркивания элементов
  21. Подчеркните правильный ответ.
  22. Запишите в виде десятичной дроби
  23. Варианты ответов:
  24. 0,8888
  25. 0,2222
  26. 0,02222
  27. 0,00222
  28. Решение.

Сократим дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на 4, для того чтобы в знаменателе получилось число, являющееся степенью числа 10.

Теперь можно записать в виде десятичной дроби. Целая часть равна нулю, после запятой должно быть пять знаков. Получаем: 0,02222

  • Ответ:
  • 0,8888
  • 0,2222
  • 0,02222
  • 0,00222

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6903/conspect/

Десятичные дроби

14 августа 2011

Из множества дробей, встречающихся в арифметике, отдельного внимания заслуживают такие, у которых в знаменателе стоит 10, 100, 1000 — в общем, любая степень десятки. У этих дробей есть специальное название и форма записи.

Десятичная дробь — это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Примеры десятичных дробей:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Зачем вообще потребовалось выделять такие дроби? Почему для них нужна собственная форма записи? На то есть как минимум три причины:

  1. Десятичные дроби намного удобнее сравнивать. Вспомните: для сравнения обычных дробей их требуется вычесть друг из друга и, в частности, привести дроби к общему знаменателю. В десятичных дробях ничего подобного не требуется;
  2. Сокращение вычислений. Десятичные дроби складываются и умножаются по собственным правилам, и после небольшой тренировки вы будете работать с ними намного быстрее, чем с обычными;
  3. Удобство записи. В отличие от обычных дробей, десятичные записываются в одну строчку без потери наглядности.

Большинство калькуляторов также дают ответы именно в десятичных дробях. В некоторых случаях другой формат записи может привести к проблемам. Например, что, если потребовать в магазине сдачу в размере 2/3 рубля 🙂

Правила записи десятичных дробей

Основное преимущество десятичных дробей — удобная и наглядная запись. А именно:

Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

Например, 0,3 (читается: «ноль целых, 3 десятых»); 7,25 (7 целых, 25 сотых); 3,049 (3 целых, 49 тысячных). Все примеры взяты из предыдущего определения.

На письме в качестве десятичной точки обычно используется запятая. Здесь и далее на всем сайте тоже будет использоваться именно запятая.

Чтобы записать произвольную десятичную дробь в указанной форме, надо выполнить три простых шага:

  1. Выписать отдельно числитель;
  2. Сдвинуть десятичную точку влево на столько знаков, сколько нулей содержит знаменатель. Считать, что изначально десятичная точка стоит справа от всех цифр;
  3. Если десятичная точка сдвинулась, а после нее в конце записи остались нули, их надо зачеркнуть.

Бывает, что на втором шаге у числителя не хватает цифр для завершения сдвига. В этом случае недостающие позиции заполняются нулями. Да и вообще, слева от любого числа можно без ущерба для здоровья приписывать любое количество нулей. Это некрасиво, но иногда полезно.

На первый взгляд, данный алгоритм может показаться довольно сложным. На самом деле все очень и очень просто — надо лишь немного потренироваться. Взгляните на примеры:

Задача. Для каждой дроби укажите ее десятичную запись:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Числитель первой дроби: 73. Сдвигаем десятичную точку на один знак (т.к. в знаменателе стоит 10) — получаем 7,3.

Числитель второй дроби: 9. Сдвигаем десятичную точку на два знака (т.к. в знаменателе стоит 100) — получаем 0,09. Пришлось дописать один ноль после десятичной точки и еще один — перед ней, чтобы не оставлять странную запись вида «,09».

Числитель третьей дроби: 10029. Сдвигаем десятичную точку на три знака (т.к. в знаменателе стоит 1000) — получим 10,029.

Числитель последней дроби: 10500. Снова сдвигаем точку на три знака — получим 10,500. В конце числа образовались лишние нули. Зачеркиваем их — получаем 10,5.

Обратите внимание на два последних примера: числа 10,029 и 10,5. Согласно правилам, нули справа надо зачеркнуть, как это сделано в последнем примере. Однако ни в коем случае нельзя поступать так с нулями, стоящими внутри числа (которые окружены другими цифрами). Именно поэтому мы получили 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.

Итак, с определением и формой записи десятичных дробей разобрались. Теперь выясним, как переводить обычные дроби в десятичные — и наоборот.

Переход от обычных дробей к десятичным

Рассмотрим простую числовую дробь вида a/b. Можно воспользоваться основным свойством дроби и умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы внизу получилась степень десятки. Но прежде, чем это делать, прочитайте следующее:

Существуют знаменатели, которые не приводятся к степени десятки. Учитесь распознавать такие дроби, потому что с ними нельзя работать по алгоритму, описанному ниже.

Вот такие дела. Ну и как понять, приводится знаменатель к степени десятки или нет?

Ответ прост: разложите знаменатель на простые множители. Если в разложении присутствуют только множители 2 и 5, это число можно привести к степени десятки. Если найдутся другие числа (3, 7, 11 — что угодно), о степени десятки можно забыть.

Задача. Проверить, можно ли представить указанные дроби в виде десятичных:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Выпишем и разложим на множители знаменатели этих дробей:

20 = 4 · 5 = 22 · 5 — присутствуют только числа 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.

12 = 4 · 3 = 22 · 3 — есть «запретный» множитель 3. Дробь не представима в виде десятичной.

640 = 8 · 8 · 10 = 23 · 23 · 2 · 5 = 27 · 5. Все в порядке: кроме чисел 2 и 5 ничего нет. Дробь представима в виде десятичной.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 23 = 24 · 3. Снова «всплыл» множитель 3. Представить в виде десятичной дроби нельзя.

Итак, со знаменателем разобрались — теперь рассмотрим весь алгоритм перехода к десятичным дробям:

  1. Разложить знаменатель исходной дроби на множители и убедиться, что она вообще представима в виде десятичной. Т.е. проверить, чтобы в разложении присутствовали только множители 2 и 5. Иначе алгоритм не работает;
  2. Сосчитать, сколько двоек и пятерок присутствует в разложении (других чисел там уже не будет, помните?). Подобрать такой дополнительный множитель, чтобы количество двоек и пятерок сравнялось.
  3. Собственно, умножить числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель — получим искомое представление, т.е. в знаменателе будет стоять степень десятки.

Разумеется, дополнительный множитель тоже будет разлагаться только на двойки и пятерки. При этом, чтобы не усложнять себе жизнь, следует выбирать наименьший такой множитель из всех возможных.

И еще: если в исходной дроби присутствует целая часть, обязательно переведите эту дробь в неправильную — и только затем применяйте описанный алгоритм.

Задача. Перевести данные числовые дроби в десятичные:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Разложим на множители знаменатель первой дроби: 4 = 2 · 2 = 22. Следовательно, дробь представима в виде десятичной. В разложении присутствуют две двойки и ни одной пятерки, поэтому дополнительный множитель равен 52 = 25. С ним количество двоек и пятерок сравняется. Имеем:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Теперь разберемся со второй дробью. Для этого заметим, что 24 = 3 · 8 = 3 · 23 — в разложении присутствует тройка, поэтому дробь не представима в виде десятичной.

Две последних дроби имеют знаменатели 5 (простое число) и 20 = 4 · 5 = 22 · 5 соответственно — везде присутствуют только двойки и пятерки. При этом в первом случае «для полного счастья» не хватает множителя 2, а во втором — 5. Получаем:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Переход от десятичных дробей к обычным

Обратное преобразование — от десятичной формы записи к обычной — выполняется намного проще. Здесь нет ограничений и специальных проверок, поэтому перевести десятичную дробь в классическую «двухэтажную» можно всегда.

Алгоритм перевода следующий:

  1. Зачеркните все нули, стоящие в десятичной дроби слева, а также десятичную точку. Это будет числитель искомой дроби. Главное — не переусердствуйте и не зачеркните внутренние нули, окруженные другими цифрами;
  2. Подсчитайте, сколько знаков стоит в исходной десятичной дроби после запятой. Возьмите цифру 1 и припишите справа столько нулей, сколько знаков вы насчитали. Это будет знаменатель;
  3. Собственно, запишите дробь, числитель и знаменатель которой мы только что нашли. По возможности, сократите. Если в исходной дроби присутствовала целая часть, сейчас мы получим неправильную дробь, что очень удобно для дальнейших вычислений.

Задача. Перевести десятичные дроби в обычные: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Зачеркнем нули слева и запятые — получим следующие числа (это будут числители): 8; 3107; 225; 72008.

В первой и во второй дробях после запятой стоит по 3 знака, во второй — 2, а в третьей — целых 4 знака. Получим знаменатели: 1000; 1000; 100; 10000.

Наконец, объединим числители и знаменатели в обычные дроби:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Как видно из примеров, полученную дробь очень часто можно сократить. Еще раз отмечу, что любая десятичная дробь представима в виде обычной. Обратное преобразование можно выполнить не всегда.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/decimal/

Десятичные дроби, примеры и определения

Дроби записанные в форме 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 называют десятичными. На самом деле десятичные дроби это упрощенная запись обычных дробей. Эту запись удобно использовать для всех дробей, у которых знаменатели равны 10, 100, 1000 и так далее.

Рассмотрим примеры  (0,5 читают как, ноль целых пять десятых);

(0,15 читают как, ноль целых пятнадцать сотых);

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Обратим внимание, что в записи десятичной дроби запятая отделяет целую часть числа от дробной, целая часть правильной дроби рана 0. Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.

Читайте также:  Понятие информации, ее виды и свойства - в помощь студенту

Рассмотрим пример, Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студентуДесятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студентуДесятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту.

В некоторых случаях бывает необходимо рассматривать натуральное число как десятичную дробь, у которой дробная часть равна нулю. Принято записывать что, 5 = 5,0; 245 = 245,0 и так далее.

Заметим, что в десятичной записи натурального числа единица младшего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего старшего разряда. Таким же свойством обладает запись десятичных дробей. Поэтому сразу после запятой идет разряд десятых, далее разряд сотых, затем разряд тысячных и так далее.

Ниже приведены названия разрядов числа 31,85431 первые два столбца — целая часть, остальные столбцы — дробная часть.

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Читается эта дробь как тридцать одна целая восемьдесят пять тысяч четыреста тридцать одна стотысячная.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

как видно из примера этот способ очень неудобный и лучше воспользоваться вторым способом более правильным, не обращая десятичные дроби в обыкновенные. Для того чтобы сложить две десятичные дроби, надо:

  • уравнять в слагаемых количество цифр после запятой;
  • записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
  • сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
  • поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.
  • Рассмотрим примеры:
  • Этим способом так же можно вычитать десятичные дроби. Для того чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо:
  • уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой;
  • записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
  • произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;
  • поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Рассмотрим примеры:

В рассмотренных выше примерах видно, что сложение и вычитание десятичных дробей выполнялось поразрядно, то есть так, как мы производили аналогичные действия с натуральными числами. Это и есть главное преимущество десятичной формы записи дробей.

Умножение десятичных дробей

Для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры. Следовательно, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и так далее цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1000 и так далее раз. Для того чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

  • умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
  • в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.
  1. Встречаются случаи, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведением дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.
  2. Рассмотрим примеры: 2 * 4 = 8, тогда 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, тогда 0,023 * 0,35 = 0,00805.
  3. Встречаются случаи, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, удобнее пользоваться следующим правилом.
  • Для того чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, надо в этой десятичной дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры.

Рассмотрим примеры: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для десятичных дробей.

  • ab = ba — переместительное свойство умножения;
  • (ab) c = a (bc) — сочетательное свойство умножения;
  • a (b + c) = ab + ac — распределительное свойство умножения, относительно сложения.

Деление десятичных дробей

Известно, если разделить натуральное число a на натуральное число  b означает найти такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это правило остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.

Рассмотрим пример, требуется разделить 43,52 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом.

  • Бывают случаи когда делимое меньше делителя, тогда целая часть частного равна нулю. Рассмотрим пример:
  • Рассмотрим еще один интересный пример.

Процесс деления остановлен, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Известно, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятно, что цифры делимого закончится не могут.

Для того чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и так далее цифры. Рассмотрим пример: 5,14 : 10 = 0,514; 2 : 100 = 0,02; 37,51 : 1000 = 0,03751.

  1. Если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1000 и так далее раз, то частное не изменится.
  2. Рассмотрим пример: 39,44 : 1,6 = 24,65 увеличим делимое и делитель в 10 раз 394,4 : 16 = 24,65 справедливо заметить, что делить десятичную дробь на натуральное число во втором примере легче.
  3. Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:
  • перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
  • выполнить деление на натуральное число.

Рассмотрим пример: 23,6 : 0,02 заметим, что в делителе стоит два знака после запятой, следовательно умножаем оба числа на 100 получаем 2360 : 2 = 1180 делим результат на 100 и получаем ответ 11,80 или 23,6 : 0,02 = 11,8.

Сравнение десятичных дробей

Существует два способа сравнения десятичных дробей. Способ первый, требуется сравнить две десятичные дроби 4,321 и 4,32 уравниваем количество знаков после запятой и начинаем сравнивать поразрядно, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее в итоге получаем 4,321 > 4,320.

Второй способ сравнения десятичных дробей производится с помощью умножения, умножим вышеприведенный пример на 1000 и сравним 4321 > 4320. Какой способ удобней, каждый выбирает для себя сам.

Источник: https://prostoi-sovet.ru/desyatichnye-drobi-primery-i-opredeleniya.html

Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями, бесконечные периодические десятичные дроби

Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби.

Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей.

Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34,21, 0,35035044, 0,0001, 11 231 552,9 и др.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5.67, 6789.1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей

Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Определение 1

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000, 100, 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 610 мы можем указать 0,6, вместо 2510000 – 0, 0023, вместо 5123100 –  512,03.

О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.

Как правильно читать десятичные дроби

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0,14, которой соответствует 14100, читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56,002, которой соответствует 5621000, мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Что такое разряды в десятичных дробях

Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0,7 семерка – это десятые доли, в 0,0007 – десятитысячные, а в дроби 70 000,345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Разберем пример.

Пример 1

У нас есть десятичная дробь 43,098. У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9, тысячных – 8.

Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим.

Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые.

Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 10-тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Пример 2

  • Попробуем разложить дробь 56,0455 по разрядам.
  • У нас получится:
  • 56,0455 =50+6+0,4+0,005+0,0005

Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56+0,0455, или 56,0055+0,4 и др.

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:

Определение 1

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Примерами таких дробей могут быть 0,367, 3,7, 55,102567958, 231 032,49 и др.

Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части).

Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал.

Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь 5,63 мы можем привести к виду 563100, а 0,2 соответствует 210 (или любая другая равная ей дробь, например, 420 или 15.)

Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 513 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100, 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Определение 2

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть 0,143346732…, 3,1415989032…, 153,0245005…, 2,66666666666…, 69,748768152…. и т.д.

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Определение 3

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

К примеру, для дроби 3,444444…. периодом будет цифра 4, а для 76, 134134134134… – группа 134.

Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3,444444…. правильно будет записать как 3,(4), а 76, 134134134134…– как 76,(134).

В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0,677777 – это то же самое, что 0,6(7) и 0,6(77) и т.д. Также допустимы записи вида 0,67777(7), 0,67(7777) и др.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0,6(7), а, например, в случае с дробью 8,9134343434 будем писать 8,91(34).

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2, то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.

В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45,32. В периодическом виде она будет выглядеть как 45,32(0). Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9, например, 4,89 (9), 31,6(9).

Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 0, поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом.

При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0). Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

К примеру, дробь 8,31(9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8,32(0). Или 4,(9)=5,(0)=5.

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

Определение 4

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9,03003000300003… на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Основные действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.

Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным.

Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей.

Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.

Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме.

Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления.

Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.

Читайте также:  Права и обязанности собственников жилья - в помощь студенту

Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.

Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.

Положение десятичных дробей на оси координат

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 1410 – это то же самое, что и 1,4, поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15,4008, то мы предварительно представим это число в виде суммы 15+0,4+,0008.

Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15,4008.

Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко.

В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2=1,41421…

, и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью).

Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку.

После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Выше мы приводили рисунок с точкой M. Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1,4.

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/desjatichnye-drobi-opredelenija-zapis-primery-dejs/

Урок математики по теме «Чтение и запись десятичных дробей»

  • Урок математики 5 класс
  • Тема: Чтение и запись десятичных дробей
  • Цели обучения: Научить учащихся читать и записывать десятичные дроби

Цели урока: Вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению.

Через работу в группе над проблемным заданием учащиеся научатся переводить обыкновенную дробь в десятичную дробь, закрепят навыки чтения и записи десятичных дробей, навыки говорения через умение называть разряды десятичной дроби, будут объяснять, какие дроби можно перевести в конечные десятичные, а какие нельзя.

  1. Языковые цели: Понимать и объяснять, используя математическую терминологию и своими словами, какую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную дробь, называть разряды десятичной дроби.
  2. Предметная лексика и терминология: Десятичная дробь – decimal fraction, запятая — decimal point.
  3. Разряды десятичной дроби, обыкновенная дробь, разрядная единица, числитель, знаменатель.

Разряды дробной части: десятые, сотые, тысячные и т.д.;

Разряды целой части: единицы, десятки, сотни и т.д.

  • Серия полезных фраз для диалога/письма:
  • Десятичная дробь – это другая запись обыкновенной дроби
  • Чтобы записать данную дробь в виде десятичной дроби, надо…
  • Целая часть отделяется от дробной запятой

Дробь читается: …целых, … (десятых, сотых, и т.д.)

  1. Воспитательный и развивающий аспект урока: Развивать вычислительные навыки, математическую речь, внимание, мышление; вырабатывать этические и эстетические нормы поведения на уроке, чувство ответственности через само и взаимное оценивание.
  2. Тип урока: Урок закрепления знаний.
  3. ЗУН учащихся на выходе: Учащиеся будут:
  4. уметь читать и записывать десятичные дроби;
  5. уметь называть разряды десятичной дроби;
  6. уметь переводить обыкновенные дроби в десятичные двумя способами;
  7. понимать, какие дроби можно перевести в конечные десятичные, а какие нельзя;
  8. — выполнять на микрокалькуляторе перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь.
  9. Привитие ценностей: Привитие ценностей — честности, ответственности, уважения осуществляется посредством работы в группе и через само и взаимно оценивание, глобальное гражданство через экскурс в историю развития понятия десятичной дроби, знакомство с современными способами записи десятичных дробей.

Межпредметные связи: Возможна межпредметная связь с русским языком через развитие говорения с применением чтения десятичных дробей и выражений с десятичными дробями. Межпредметная интеграция на уроке реализуется посредством деятельности, через чтение десятичных дробей и просмотр видео.

  • Предварительные знания: Обыкновенные дроби, правильныенеправильные дроби, связь деления и дроби, основное свойство дроби, смешанные числа, разряды натуральных чисел.
  • Ход урока:
  • Организационный момент. (5 минут)

Деление на 2 команды. Метод «Собери картину». Учащиеся находят свои части и составляют картину. (Можно разделить на больше групп, в зависимости от наполняемости класса)

Картина для первой команды:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Картина для второй команды:

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

На обратной стороне картины предложена задача. Командам необходимо решить задачу.

Задача для 1 команды: Перед зимней спячкой медведь накопил жир и стал весить 250 кг. За зиму он потеряет своего веса. Сколько килограммов будет весить медведь после зимней спячки?

Задача для 1 команды: Семья мышки заготовила на зиму 70 кг зерна. Во время зимовки они съедят запасов. Сколько килограммов зерна останется после зимовки?

  1. Ответ сверяют с ответом заготовленным учителем на такой же картинке.
  2. Актуализация опорных знаний и их коррекция. (5 минут)
  3. Игра-эстафета: «Кто быстрее?»
  4. Учащиеся выходят по одному цепочкой от каждой команды и записывают обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби.
1 команда 2 команда
15= =
= 3=
1= 34=
12= 5=
8= 17=
71= 2=
9= 25=

Определение границ (возможностей) применения знаний.

Закрепляем алгоритмы.Упражнения по образцу и в сходных условиях с целью выработки умений безошибочного применения знаний.

1. Работа по карточкам в команде. Оформляют единое решение на кластере:

  • Вариант 1 (для 1 команды)
  • Запишите в виде десятичной дроби числа
  • , 3, 12, 7, 14, , , 2
  • Запишите в виде десятичной дроби числа
  • а) 5 целых 7 десятых; б) 0 целых 3 десятых; в)14 целых 4 сотых; г) 0 целых 72 тысячных.
  • Сколько цифр после запятой получится в десятичной записи дроби ?
  • Вариант 2 (для 2 команды)
  • Запишите в виде десятичной дроби числа
  • 5, 7, 7, 5, 2, , ,
  • Запишите в виде десятичной дроби числа
  • а) 3 целых 7 десятых; б) 0 целых 11 сотых; в)12 целых 4 сотых; г) 8 целых 27 тысячных.
  • Сколько цифр после запятой получится в десятичной записи дроби ?

Меняются карточками и передают свои решения. Идёт взаимопроверка.

2. Заполните таблицу. С последующей взаимопроверкой.

Читается Количество цифр после запятой в десятичной дроби Запись в виде десятичной дроби
1 0 целых 8 десятых 1 0,8
2 6 целых 53 сотых
3 10 целых 108 тысячных
4 4 целых 5 сотых
5 0 целых 19 тысячных
6 100 целых 1 тысячная
7 14 целых 305 десятитысячных
8 0 целых 6 десятитысячных
9 0 целых 2147 стотысячных
10 3 целых 48 стотысячных
11 1 целая 2 миллионных

Диктант. Самопроверка и проверка в команде.

  1. а) 3 целых 3 десятых; б) 15 целых 55 сотых; в) 0 целых 67 сотых;
  2. г) 5 целых 404 тысячная; д) 87 целых 1 сотая; е) 72 целых 12 тысячных;
  3. ж) 6 целых 62 тысячных; з) 2 целых 2 сотых; и) 0 целых 2 сотых.
  4. Работа с моделями. Взаимопроверка в команде и команд

Дан квадрат. Закрасьте указанную часть этого квадрата.

а) б) в)
0,07 0,4 0,65

Какая часть квадрата закрашена? Выразите ответ сначала десятичной дробью, а потом обыкновенной. Закрасьте такую же часть соседнего квадрата каким-нибудь другим способом.

Проблемное задание.

«Как записать дробь в виде десятичной дроби?» На размышление 1 минута.

Через 1 минуту подвести учащихся к первому способу опираясь на значение дробной черты – деление.

1 способ: 1 разделить на 2 уголком. (Можно использовать видео ресурс «Перевод обыкновенной дроби в десятичную»

Примеры на закрепление. Учащиеся выполняют в группах и проверяют по образцу ответа одной из команд.

Запишите в виде десятичной дроби:

= ; = ; ; = ;

Подведите учащихся к данному способу, опираясь на основное свойство дроби и подведите учащихся к необходимости приведения к новому знаменателю, разрядной единице. Предварительно обратите внимание на составляющие множители разрядных единиц.

  • 2 способ: знаменатель умножить на такое число, чтобы в знаменателе наименьшее из возможных произведений было разрядной единицей – 10, 100,1000 …
  • или .
  • Переведите в десятичную дробь и заполните таблицу:
0,5

Представьте дробь в виде десятичной дроби. Что получилось? Проверьте на микрокалькуляторе.

Почему так получилось? Подумайте в команде и объясните.

Тест Самопроверка по образцу ответов.

Вариант 1. 1. Какие из дробей можно записать в виде десятичных дробей:

1) 2)  3)  4)  5) 
  1. А) все;  B) 2,3,4,5;  C) 2,4,5; 
  2. D) 2,5.
  3. 2. Запишите дробь в виде десятичной дроби
  4. А) 75,00;  B) 7,5;  C) 0,75 
  5. D) 0,075.
  6. 3.В записи числа 738,923 на месте числа сотых долей стоит цифра:
  7. А) 2;  B) 3;  C) 7; 
  8. D) 9.
  9. 4.С помощью десятичной дроби запишите в килограммах 73 грамма:
  10. А) 73,000;  B) 7,3;  C) 0,73 
  11. D) 0,073.
  12. 5.Запишите в виде десятичной дроби три целых семьдесят пять сотых:
  13. А) 3,705;  B) 3,75;  C) 3,075; 
  14. D) 3,0075.

Вариант 2.

1. Какие из дробей можно записать в виде десятичных дробей:

1)  2)  3)  4)  5) 
  • А) 2,4;  B) все;  C) 2,3,4,5; 
  • D) 2,3,4.
  • 2. Запишите дробь в виде десятичной дроби
  • А) 47,00;  B) 4,7;  C) 0,47 
  • D) 0,047
  • 3. В записи числа 567,368 на месте числа десятых долей стоит цифра:
  • А) 3;  B) 6;  C) 7; 
  • D) 8.
  • 4. С помощью десятичной дроби запишите в килограммах 89 граммов:
  • А) 89,000;  B) 8,9;  C) 0,89 
  • D) 0,089.
  • 5. Запишите в виде десятичной дроби пять целых шестьдесят восемь сотых:
  • А) 5,68;  B) 5,608;  C) 5,068; 
  • D) 5,0068.
  1. Подведение итогов урока.
  2. — Что такое «десятичная дробь»?
  3. — Где используется десятичная дробь?
  4. — Какую обыкновенную дробь можно заменить десятичной?

— Как называют число, записанное перед запятой? — Как называют число, записанное после запятой? — Как определить, сколько знаков должно быть после запятой?

  • — Сколько знаков будет после запятой, если знаменатель 10, 100, 1000, 10000?
  • Рефлексия
  • — что узнал, чему научился?
  • — что осталось непонятным?
  • — над чем необходимо работать?
  • Домашнее задание:
  • Какой из знаков, применяемые в математике, следует поставить между числами 4 и 5, чтобы получить число, большее четырех, но меньшее пяти?
  • Представьте число в виде десятичной дроби:
  • а) 2 б) 11 в) 5 г) 17

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/urok_matematiki_po_teme_chtenie_i_zapis_desyatichni_185007.html

«Введение в десятичную дробь»

«Введение в десятичную дробь»

Методические рекомендации к уроку математики в 5-6 классах

Современное образование в России переживает период перехода в новое качество: социально значимыми становятся способности к самостоятельному выбору, построению или освоению новых способов деятельности.

Технология деятельностного метода дает возможность детям вырасти людьми, способными понимать и оценивать информацию; анализировать ее на основе системы теоретических знаний, обладающими навыками к применению этих знаний в нестандартных условиях; способных принимать решения на основе проведенного анализа.

Дидактическая система деятельностного метода обучения состоит в том, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми.

Такой подход не только обеспечивает высокий уровень математической подготовки, но и развивает мышление, способности, интерес к изучению математики, обеспечивает личностные, метапредметные и предметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

При изучении понятия десятичной дроби следует рассмотреть два вопроса:

  1. Десятичная (позиционная) система счета, которая используется для построения десятичной дроби;

  2. Целое-часть.

Название десятичная произошло от правила: единица каждого разряда в 10 раз больше предыдущего (младшего) разряда. Число 10 является основанием системы.

Разряд единиц в записи натуральных чисел самый младший, к нему не применяется правило десятичной системы.

Если же применить это правило к разряду единиц, то получим дробную часть числа, построенную следующим образом: сначала единица (целое) делится на 10 долей(десятые), затем десятая доля делится еще на 10 долей (сотые) и т.д.

Запись десятичных дробей очень красива, похожа на фонтан, «струи» симметрично бьют из разряда единиц. Мудрая красота: если известно, как построено число слева от разряда единиц, то легко понять и устройство числа справа.

Десятичные дроби. Понятие десятичной дроби - в помощь студенту

Используя данный подход для построения понятия десятичной дроби, детям нужно выполнить ряд действий, позволяющих вникнуть в сущность понятия.

  1. Предложить детям измерить предмет (отрезок) некоторой произвольной меркой Е, которая целое число раз не укладывается на длине предмета (отрезка).

  2. Теперь с помощью новой мерки дети выполняют измерение (остаток при первом измерении предусматривается таким, чтобы новая мерка укладывалась целое число раз).

тысячи сотни десятки ЕДИНИЦЫ десятые сотые тысячные
2 3
  1. Далее предложить измерить другой предмет (отрезок), где новая мерка не укладывается целое число раз.

части первоначальной мерки.

  1. Производится измерение и записывается результат. Например, 2+ +

тысячи сотни десятки ЕДИНИЦЫ десятые сотые тысячные
2 3
2 3 3
  1. С помощью третьей мерки можно выяснить, что = и записать:

2 + + = 2 .

  1. На данном этапе можно обратить внимание детей на запись измерений в таблице и ввести запись десятичной дроби, предложив отделить целую часть смешанной дроби запятой.

  2. Теперь можно предложить детям самим сформулировать определение десятичной дроби.

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/vviedieniie-v-diesiatichnuiu-drob.html

Математика 5-6 классы. 29. Понятие десятичной дроби. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную — Всё для чайников

Подробности Категория: Математика 5-6 классы

Понятие десятичной дроби

Дроби, у которых знаменатель является степенью числа 10, часто записывают в более простой форме, без знаменателя, отделяя целую и дробные части друг от друга запятой (считают при этом, что целая часть правильной дроби равна 0).

Например,

Записанные в такой форме дроби называются десятинными дробями. Так что и 2,7—разные формы записи одного и того же числа: первая — в виде обыкновенной дроби, вторая—в виде десятичной дроби. Пока мы будем рассматривать только положительные десятичные дроби.

Десятичная форма записи дробей позволяет записывать их, сравнивать и выполнять с ними арифметические действия по правилам, очень похожим на правила записи, сравнения и действий с натуральными числами.

Напомним, что в десятичной системе счисления значение каждой цифры зависит от разряда (позиции), в котором она записана. При этом единицы соседних разрядов отличаются в 10 раз. Например, десяток в 10 раз меньше сотни, единица в 10 раз меньше десятка.

Первый разряд после запятой называют разрядом десятых.

  • Например, число 2,7 состоит из 2 целых и семи десятых—читают «две целых семь десятых».
  • Второй разряд после запятой называют разрядом сотых.
  • Чтобы лучше понять правила записи и чтения десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов и приведенные в ней примеры записи чисел.

Например, число 0,35 состоит из 0 целых, 3 десятых и 5 сотых—читают «нуль целых тридцать пять сотых».

  1. Длязаписи числа в десятичной форме нужно учесть, что Так что запись числа содержит 1 тысячную и 9 десятитысячных и не содержит целых единиц, десятых, сотых — в десятичной дроби в соответствующих разрядах пишут нули.
  2. Нужно помнить, что после запятой в записи десятичной дроби должно быть столько цифр, сколько нулей содержит знаменатель этой дроби.
  3. Например,

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/177-algebra/matematika-5-6-klassy-ot-mathtutor/1826-matematika-5-6-klassy-29-obrashchenie-desyatichnoj-drobi-v-obyknovennuyu-i-obyknovennoj-v-desyatichnuyu

Ссылка на основную публикацию