Вырождение уровней по орбитальному моменту — в помощь студенту

Капельная модель ядра Коллективные возбуждения ядер

    В модели ядерных оболочек нуклоны рассматриваются как независимые частицы в самосогласованном потенциале, создаваемом всей совокупностью нуклонов в ядре. Уровни энергии нуклонов Ei определяются собственными значениями решений уравнения Шредингера

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
Ĥψi = Eiψi; Ĥ = + , (1)

где ψi – волновая функция нуклона с энергией Ei, Ĥ – оператор гамильтона, и – операторы кинетической и потенциальной энергии.     В простейших моделях сферических ядер потенциал V(r) выбирают в виде потенциала трехмерного гармонического осциллятора, либо прямоугольной потенциальной ямы (рис.1).

    Осцилляторный потенциал можно записать в виде

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту (2)

где μ – приведенная масса нуклона, ω – осцилляторная частота (ħω ≈ 41A-1/3), V0 ≈ 50 МэВ. Для потенциала гармонического осциллятора спектр энергетических уровней эквидистантный и имеет следующий вид:

Ei = EN = ħω(N + 3/2), (3)

где N = 2n + l – осцилляторное главное квантовое число, n – радиальное квантовое число (число узлов функции, кроме нуля), l – орбитальное квантовое число.     Потенциал прямоугольной потенциальной ямы

Vпя(r) = { -V0, r R

    Потенциал Вудса-Саксона

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Обменное взаимодействие - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
VВ-С(r) = -V0/[1 + exp(r — R/a)], (5)

где V0 – глубина потенциала, R = r0A1/3 – радиус ядра и a – параметр, характеризующий диффузность (размытие) края потенциала.

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студентуРис. 1. Осцилляторный потенциал, прямоугольная потенциальная яма и потенциал Вудса-Саксона. Видно, что в легких ядрах реалистический потенциал лучше воспроизводится осцилляторным, а в тяжелых — прямоугольной потенциальной ямой

    Потенциал Вудса-Саксона представляет нечто среднее между осцилляторным потенциалом и потенциалом прямоугольной ямы. В потенциале Вудса-Саксона снимаются вырождения, свойственные гармоническому осциллятору.

Однако реалистический потенциал (5), также как и осцилляторный потенциал, не в состоянии объяснить наблюдаемые в эксперименте магические числа нуклонов.     Решение проблемы было найдено  М. Гепперт-Майер и Дж.

 Иенсеном, которые добавили к центрально-симметричному потенциалу V(r) спин-орбитальное взаимодействие.

Vls(r) = f(r). (6)

    Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению уровня с данным значением l на два состояния

l + 1/2 и l — 1/2.

При этом состояние с l + 1/2 смещается вниз по энергии, а состояние с l — 1/2 — вверх. Величина спин-орбитального расщепления уровней пропорциональна величине орбитального момента l.

Поэто уровни с большими значениями орбитального момента l > 3 сильно смещаясь вниз по энергии оказываются среди уровней предыдущей оболочки, что позволяет правильно воспроизвести магические числа.

     Для протонов в самосогласованый потенциал должен быть включен также кулоновский потенциал.

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту Рис. 2. Одночастичные уровни в оболочечном потенциале. Приведено схематическое изображение уровней в потенциале Вудса-Саксона: слева без учета спин-орбитального взаимодействия, справа — с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну осцилляторную оболочку. Черным цветом дано число вакантных мест для нуклонов одного сорта, в синим приведено полное число частиц, красным указаны магические числа

    Cостояния нуклонов характеризуются квантовыми числами, которые определяют физические величины, сохраняющиеся при движении в  сферически-симметричном поле (см. рис. 2).

  Обозначения состояний — 1d5/2  означает, что радиальное квантовое число n = 1, орбитальный момент l = 2 (d-состояние), полный момент j = l + s = 5/2.     В оболочечной модели спин ядра складывается из суммы спинов и орбитальных моментов отдельных нуклонов.

Принцип Паули и специфика ядерного взаимодействия приводят к тому, что все четно-четные ядра имеют полный момент (спин) равный 0.

Четность ядерного состояния определяется произведением внутренних четностей нуклонов на четности волновых функций, описывающих движение нуклонов относительно общего центра инерции. Внутренняя четность нуклонов принята положительной. Четности ядерного состояния определяется соотношением

, (7)

где li – орбитальный момент i-го нуклона.     Оболочечная модель во многих случаях хорошо воспроизводит экспериментальные значения спинов и четностей, электрических квадрупольных и магнитных моментов атомных ядер, средние времена жизни β-радиоактивных ядер, объясняет распределение ядер изомеров.

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту Рис. 3. Зависимость энергии нейтронных одночастичных состояний от массового числа

    На рис. 3 показаны результаты расчетов нейтронных одночастичных состояний с потенциалом Вудса-Саксона, с небольшой  зависимостью его глубины от нейтронного избытка. Радиус ядерного потенциала пропорционален A1/3. Это приводит к тому, что с ростом A уменьшается расстояние между одночастичными состояниями.

Кроме увеличения плотности одночастичных состояний с ростом A, видно, что меняется последовательность состояний.     Плотность одночастичных протонных состояний больше чем нейтронных, а их последовательность для оболочек выше четвертой иная, что обусловленно дополнительным вкладом кулоновского потенциала.

Основные положения одночастичной оболочечной модели

  1. Суммарный момент основного состояния четно-четного ядра (N и Z — четные числа) равен 0.
  2. Суммарный момент основных состояний ядер с нечетным A равен полному моменту j неспаренного нуклона. Правило хорошо выполняется для ядер, у которых сверх заполненного состояния есть еще один нуклон, либо для заполнения последнего состояния недостает одного нуклона. Недостающий нуклон называется дыркой и момент ядра определяется спином и четностью этого недостающего нуклона.

  3. Суммарный момент нечетно-нечетных ядер, неспаренные нуклоны которого находятся в одинаковых состояниях, равен удвоенному полному моменту неспаренного нуклона.

  4. Энергия уровня с данным n растет с ростом l.

  5. Спин орбитальное взаимодействие для параллельных и больше, чем для антипараллельных.

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту Рис. 4. Возбужденные уровни 209Pb

    Наилучшие предсказания оболочечная модель дает для ядер вблизи заполненных оболочек, для которых самосогласованный потенциал сферически-симметричный. Простейший вариант оболочечной модели – одночастичная оболочечная модель.    На рис. 4 показаны возбужденные состояния дважды магического ядра  с одним валентным нуклоном 209Pb.

Большинство состояний (кроме 1/2-) описываются одночастичной оболочечной моделью.    Наряду со сферическими существуют деформированные ядра. Впервые расчеты одночастичных состояний с использованием деформированного аксиально-симметричного потенциала были выполнены в 1955 году C.Нильссоном .

    Деформированный потенциал Нильссона:

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту (8)

где x1, x2 и x3 — координаты нуклона во внутренней системе координат.

    Первый член в выражении (8) является потенциалом деформированного трехмерного гармонического осциллятора, частоты колебаний которого в направлении оси симметрии (3) и в направлении перпендикулярном к ней () не совпадают между собой.

К нему добавляется обычный спин-орбитальный член и член, который учитывает реальную радиальную зависимость оболочечного потенциала, опуская вниз одночастичные уровни энергии с большим орбитальным моментом l (D 

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/spargalka/015.htm

Вырождение уровней по орбитальному моменту

Строение электронных орбиталей имеет сферическую симметрию не во всех случаях. Тогда, когда на решение уравнения Шредингера не наложены ограничения по сферической симметрии, строение орбиталей определяют квантовые числа, и соответствующие им физические величины. Данные параметры являются целыми числами.

Так, главное квантовое число ($n$) отвечает за квантование энергии электрона в атоме:

и связано с размером (объемом) орбитали электрона. При увеличении $n$ расстояние от максимума электронной плотности до центра атома (ядра) увеличивается.

  • Орбитальное квантовое число ($l$) отвечает за форму орбиталей и квантование орбитального момента количества движения электрона $(L)$:
  • Магнитное квантовое число $m$ ответственно за ориентацию орбитали и квантование проекции орбитального момента электрона на избранное направление (например, $z$):
  • Наличие магнитного квантового числа ведет к расщеплению энергетического уровня $E_n$ на $2l+1$ подуровень, с соответствующим расщеплением линий спектра.

Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Электрон может иметь одну величину энергии (одно главное квантовое число), но при этом находиться в нескольких состояниях (то есть его состояние может описывать несколько разных волновых функций).

Состояния, имеющие одинаковую величину главного квантового числа, но разные значения орбитального и магнитного квантовых чисел называют вырожденными.

При этом количество подобных состояний является кратностью вырождений.

Охарактеризуем состояние атома с помощью орбитального квантового числа $l$, в таком случае величина $L$ определена выражением (2), его проекция находится при помощи выражения (3) и она принимает $2l+1$ значение. При этом кратность вырождения на энергоуровне $n$ найдем как сумму числа проекций $L_z$ по всем величинам $l$ от $0$ до $n-1$. При этом имеем арифметическую последовательность:

Орбитальный механический момент электрона

  1. Решение уравнения Шредингера дает то, что момент импульса электрона (механический орбитальный момент) ($L$) не может принимать произвольные значения, он квантуется и дискретен, причем его величина определена выражением:
  2. где $l$ — орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме.
  3. Кроме того, следствием того же уравнения является вывод о том, что вектор $overrightarrow{L}$ может быть ориентирован в пространстве только таким образом, что его проекция на избранное направление (например z) ($L_z$) внешнего магнитного поля имеет квантованные величины, которые определены формулой:
  4. Так как магнитное квантовое число ($m$) при заданном $l$, может иметь $2l+1$ значение, то вектор $overrightarrow{L}$ имеет в атоме такое же число ориентаций.

Магнитный момент электрона

В том случае, если заряженная части имеет орбитальный механический момент, то она обладает и магнитным моментом. Величину данного момента можно вычислить, рассматривая круговую орбиту движения частицы (электрона). Магнитный момент ($overrightarrow{p_m}$) для кругового тока можно представить как:

где $T$ — период обращения электрона по орбите, $S$ — площадь, которую охватывает орбита электрона. Если рассматривать поле центральных сил, то момент импульса $(L)$ — интеграл движения, то есть можно записать:

где $m_e$ — масса электрона, $
ho $ и $varphi $ полярные координаты (рис.1). Начало системы координат разместим в ядре. Площадь орбиты электрона найдем как:

Подставим результат, полученный для площади орбиты электрона в (5), имеем:

Вообще говоря, магнитный и механические моменты — векторные величины. Для частицы с положительным зарядом направления магнитного и механического моментов совпадут, тогда как для частицы, заряд которой меньше нуля направления рассматриваемых векторов, противоположны. Следовательно, для точечной частицы, имеющей заряд q, массу $m_q$ запишем:

  • Для электрона магнитный момент представляют как:
  • где ${mu }_B=frac{q_ehbar }{2m_e}=9,27cdot {10}^{-24}Acdot м^2$ — магнетон Бора, здесь $m_e$ — масса электрона.
  • В квантовой теории вместо векторов применяют операторы, соотношения между ними запишем как:
  • где $widehat{p_m}$ — оператор магнитного момента электрона. Для проекций операторов на направление $z$, имеем:
  • где $m=0,pm 1,pm 2,dots $ — магнитное квантовое число. При этом модуль магнитного момента электрона равен:

Пример 1

  1. Задание: Найдите отношение орбитального механического момента импульса электрона, который находится в $f$ — состоянии к аналогичной величине, но для электрона в состоянии $p$ ($frac{L_f}{L_p}$).
  2. Решение:
  3. За основу решения задачи примем формулу квантования момента импульса:
  4. Для $f$ — состояния электрона $l=3$, поэтому выражение (1.1) преобразуется к виду:
  5. Для $p$ — состояния электрона $l=1$, поэтому выражение (1.1) преобразуется к виду:
  6. Искомое отношение будет равно:
  7. Ответ: $frac{L_f}{L_p}=sqrt{6}.$

[L=hbar sqrt{lleft(l+1
ight)}left(1.1
ight).]
[L_f=hbar sqrt{3left(3+1
ight)}=hbar sqrt{12}left(1.2
ight).]
[L_p=hbar sqrt{1left(1+1
ight)}=hbar sqrt{2}left(1.3
ight).]
[frac{L_f}{L_p}=frac{hbar sqrt{12}}{hbar sqrt{2}}=sqrt{6}.]

Пример 2

  • Задание: Какова максимальная величина проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля ($L_z$), если электрон в атоме находится в $f$ — состоянии?
  • Решение:
  • Если электрон по условию задачи находится в $f$ — состоянии, то орбитальное квантовое число равно $3$ ($l=3$). Тогда магнитное квантовое число может принимать следующие значения:
  • Проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поля ($L_z$) определяется как:
  • Она будет максимальной в случае максимально возможного значения магнитного квантового числа, из условий задачи $m_{max}=3,$ следовательно:
  • Ответ: $L_{zmax}=3hbar .$

[m=0,pm 1,pm 2,dots ,pm l o m=0,pm 1,pm 2,pm 3left(2.1
ight).]
[L_z=hbar m left(2.2
ight).]
[L_{zmax}=3hbar .]

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/vyrozhdenie_urovney_po_orbitalnomu_momentu/

Вырождение энергетических уровней

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЭЮЯ Вырождение энергетических уровней, существование двух или более стационарных состояний квантовой системы (атома, молекулы) с одинаковыми значениями энергии.

Читайте также:  Влияние на механизм времени жизни интермедиата - в помощь студенту

Система, полная энергия к-рой определяется заданием оператора Я (гамильтониана), может иметь т стационарных состояний, для к-рых ур-ние Шрёдингера определяет соответствующие волновые ф-ции(i = 1, 2, …, т)и одно значение энергии Е, одинаковое для всех т состояний. Энергетич. уровень с энергией Е при наз. вырожденным, число т разл. независимых волновых ф-ций — кратностью вырождения уровня. О состояниях с волновыми ф-циями говорят как о состояниях, вырожденных по энергии, или вырожденных состояниях. Если одному значению энергии отвечает одно состояние, т.е. m=1, уровень наз. невырожденным.

Вырождение энергетических уровней играет важную роль при вычислении макроскопич. характеристик в-ва методами статистич. термодинамики. В выражении для статистич. суммы (суммы по состояниям) газа, состоящего из одинаковых молекул, m-кратно вырожденному энергетич. уровню молекулы с энергией Е отвечает вклад mехр( — E/kT), где k — постоянная Больцмана, Т — абс. т-ра. Т. обр., в условиях термодинамич. равновесия заселенность энергетич. уровня определяется не только значением энергии системы, но и кратностью вырождения этого уровня.

Как правило, вырождение энергетических уровней связано с определенными св-вами симметрии квантовой системы. Для таких систем, у к-рых все направления в пространстве равноправны (напр., для своб.

частиц), вырождение энергетических уровней обусловлено наличием состояний с разными направлениями импульса, но с одинаковыми значениями квадрата импульса. Система, симметричная относительно всевозможных поворотов в пространстве, напр.

частица, движущаяся в сферически симметричном поле, имеет вырождение по энергии, вызванное существованием (2L + 1) состояний с разными значениями проекции момента импульса на заданную ось при фиксиров. значении квадрата полного момента импульса , где-постоянная Планка, L — квантовое число, равное 1, 2, 3, … (при L = О вырождение не имеет места). Этим обусловлено, напр., вырождение энергетических уровней электрона в атоме, отвечающих одному значению орбитального квантового числа, вырождение вращат. состояний молекулы (см. Вращательные спектры). Если ядерная конфигурация молекулы имеет ось симметрии порядка выше 2-го, возможно вырождение и электронных состояний молекулы (см. Электронные спектры).

Помимо вырождения энергетических уровней, явно связанного с определенными св-вами симметрии системы, возможно и т. наз. случайное вырождение, когда совпадение энергий для ряда состояний происходит без видимых причин. Важный пример случайного вырождения — совпадение энергий возбужденных колебат. состояний для разных степеней свободы молекулы (см. Колебательные спектры).

При нек-рых воздействиях на систему вырождение энергетических уровней может сниматься, т. е. ранее вырожденные состояния начинают различаться по энергии. Происходит расщепление уровней, что приводит к появлению ряда новых линий в спектре атома или молекулы.

Вырождение снимается, по крайней мере частично, при любом воздействии, по-разному влияющем на вырожденные состояния. Обычно такие воздействия приводят к понижению симметрии системы (см. Симметрия молекул). Вырождение энергетических уровней атома водорода частично снимается во внеш. электрич. поле. Подобное явление используют, в частности, для эксперим.

определения дипольных моментов молекул. Расщепление уровней нередко происходит и во внеш. магн. поле (см. Зеемана эффект).

Теоретич. анализ энергетич. состояний молекул проводят, как правило, с помощью упрощенных моделей, не учитывающих в полной мере всех взаимод. в системе ядер и электронов. При этом характерно появление вырождения энергетических уровней, к-рое, однако, снимается при переходе к моделям более высокого уровня.

Так, при оценке первых потенциалов ионизации молекулы СН4 по методу молекулярных орбиталей получают 4-кратное вырождение основного электронного состояния иона СН4, к-рое отвечает удалению электрона с одной из четырех локализованных молекулярных орбиталей связи С—Н. Модели, более полно учитывающие электронную корреляцию (см.

Конфигурационного взаимодействия метод), предсказывают снятие 4-кратного вырождения и появление 3-кратно вырожденного и одного невырожденного уровня (при сохранении эквивалентности всех четырех С—Н связей).

Соответственно для молекулы СН4 должны наблюдаться хотя бы два различных, но близких по величине потенциала ионизации, что подтверждено экспериментально. Точно так же учет колебательно-вращат. взаимодействий снимает вырождение вращат. состояний молекул; снятие случайного вырождения колебат.

состояний связывают с учетом ангармоничности потенциальных пов-стей; спин-орбитальное взаимод. частично снимает вырождение энергетических уровней с различными значениями проекции спина на ось. Для квантовой химии очень важен эффект снятия вырождения электронных состояний молекулы при изменении ее ядерной конфигурации.

Так, учет электронно-колебат. взаимодействия снимает упомянутое выше 3-кратное вырождение энергетических уровней иона СН4 и объясняет колебат. структуру фотоэлектронных спектров СН4.

Вырождение электронных состояний молекул (пересечение пов-стей потенциальной энергии) наблюдается довольно редко. Существует правило, согласно к-рому такое вырождение возможно лишь для симметричных конфигураций ядер, если состояния относятся к разным типам симметрии (т. наз. правило непересечения).

Однако если определенной конфигурации ядер молекулы все же соответствует вырождение ее электронных состояний, то вблизи этой конфигурации поведение системы существенно усложняется, напр. нарушается адиабатическое приближение, может наблюдаться предиссоциация.

Изменение кратности вырождения электронных состояний молекулярных комплексов при изменении их строения качественно описывает кристаллического поля теория. По характеру вырождения энергетических уровней можно судить о симметрии молекулы, величине колебательно-вращат. взаимодействия.

Снятие вырождения энергетических уровней молекулярной системы под действием разл. факторов лежит в основе мн. эксперим. методик исследования молекул (напр., мессбауэровской спектроскопии, ЭПР, ЯМР). В. И. Пупышев. ===

  • Исп. литература для статьи «Вырождение энергетических уровней»: нет данных
  • Страница «Вырождение энергетических уровней» подготовлена по материалам химической энциклопедии.

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЭЮЯ Вырождение уровней по орбитальному моменту - в помощь студенту

Источник: http://www.xumuk.ru/encyklopedia/841.html

ПОИСК

    Влияние кристаллического поля достаточно велико, для того чтобы разорвать взаимодействие между I и 5 при этом / уже не является хорошим квантовым числом. Расщепление уровней с разными гпь велико (т. е. орбитальное вырождение снято), и переходы в спектре ЭПР описываются правилом отбора Дт8= 1.

К такому типу относятся металлы первого переходного периода. Как указано в приложении I, в данном случае нельзя вычислить магнитные моменты по уравнению (10-3), и их значения ближе к чисто спиновым [уравнение (1-1) приложения I с = 2.

Выше мы видели, что при этом орбитальное вырождение не снимается полностью из-за влияния спин-орбитального взаимодействия и, следовательно, появляется результирующий орбитальный магнитный момент, соответствующий значению , отличному от значения для свободного электрона, которого можно было бы ожидать, если бы орбитальное вырождение было полностью снято, но более близкому к величине [c.365]     Однако очень часто вырождение орбитальных уровней отсутствует. Например, в солях железа и меди парамагнитные ионы металла находятся в обладающих низкой симметрией электрических полях, создаваемых молекулами и ионами окружения, которые приводят к снятию орбитального вырождения ( замораживание орбитального движения), и величина -фактора не совпадает с рассчитанной по формуле (1Х.З), а оказывается близкой к чисто спиновому значению 2. [c.226]

    Одним из важных следствий электрон-электронного отталкивания является снятие орбитального вырождения, предполагаемого решением волнового уравнения для атома водорода.

В то вре- [c.72]

    Собственно говоря, найденная последовательность энергетических уровней является результатом расчетов, основанных на нерелятивистском подходе к водородоподобному атому в отсутствие внешнего электрического или магнитного поля.

Используя релятивистскую форму волнового уравнения, можно снять орбитальное вырождение, что приведет к экспериментально наблюдаемой тонкой структуре. К сожалению, из-за крайней сложности математического аппарата релятивистское решение трудно применять практически.

Для более сложных атомов, как мы увидим, орбитальное вырождение можно снять, учитывая эффект электрон-электронного отталкивания. [c.63]

    Для ионов (Р-, и д приведенное вырождение низшего состояния не соответствует только спиновому вырождению.

Однако из теории следует [4, 37], что эти ионы, которые без спин-орбитального взаимодействия имеют орбитальное вырождение, вероятно.

должны иметь очень небольшие искажения, приводящие к снятию орбитального вырождения и оставляющие ион в дважды вырожденном состоянии (или даже в синглетном, если он имеет [c.451]

    Снятие орбитального вырождения в кристаллических электрических полях [c.279]

    У иона в S-состоянии (например, Мп +) нет орбитального вырождения. Однако кристаллическое поле может вызвать некоторое снятие спинового вырождения (разд. 11-8). [c.296]

    Одним из важных следствий электрон-электронного отталкивания является снятие орбитального вырождения, предполагаемого решением волнового уравнения для атома водорода.

В то время как для атома водорода все уровни являются вырожденными и, следовательно, имеют одну и ту же энергию, в более сложных атомах уровни, как найдено, расщеплены.

Это расщепление можно проиллюстрировать схемой уровней обычного гелия, показанной на рис. 2-6, из которой видно, что порядок уровней следующий  [c.69]

    И соответствующие р-орбитали. Участие таких р-орбиталей могло бы привести к смещению неспаренного электрона из области между атомами и тем самым к ослаблению разрыхляющего характера орбитали, на которой он находится. С другой стороны, если бы меньшую энергию имело состояние Т2, можно было бы ожидать снятия орбитального вырождения вследствие эффекта Яна — Теллера. Если бы в результате этого симметрия радикала понизилась до Сги, состояние могло бы расщепиться так, как это было описано выше. Возникшее из состояние -Л, может иметь значительную примесь орбитали 45 центрального атома, которая взаимодействует с молекулярной а,-орбиталью радикала. Все это вместе может привести к конфигурации возмущенного радикала в состоянии М , идентичной с рассмотренной вьппе. Если радикал имеет конфигурацию искаженного тетраэдра, то основная задача в этом случае сводится к выяснению вклада орбиталей и правильного тетраэдра в конечное возмущенное состояние. В принципе данную [c.210]

    Однако в большинстве случаев парамагнитные частицы, исследуемые методом ЭПР, не являются свободными атомами. Неспаренные электроны находятся в сравнительно сильных электрических полях кристаллической решетки или сольватной оболочки (в случае растворов парамагнитных ионов), или окружающих атомов и валентных электронов химических связей.

Все эти поля редко имеют сферическую симметрию. Наличие электрических полей может привести к полному или частичному снятию орбитального вырождения и через спин-орбитальную связь повлиять на Зеемановское расщепление.

Как мы увидим дальше, в спектрах ЭПР жидких и твердых образцов это может проявиться в смещении «-фактора за пределы, значительно превосходящие указанные в формуле (3.11), к появлению анизотропии й -фактора и так называемой тонкой структуры спектров ЭПР.

В дальнейшем все внешние по отношению к неспаренным электронам электрические поля мы будем называть кристаллическими полями , а все окружение парамагнитного атома — кристаллической решеткой или просто решеткой , хотя речь может идти об аморфных или жидких образцах или даже об отдельных молекулах.  [c.42]

    Вопрос о том, какая гибридизация возникает при введении атома в ту или иную молекулу или кристалл, решается таким же путем, какой мы продемонстрировали, рассматривая зр2-гибридизацию.

Если предполагается, что данное вещество может иметь несколько структур, то вопрос о том, какова она, решается лишь при расчете энергии состояния системы.

При этом следует учитывать, что в вырожденном электронном состоянии конфигурация нелинейной молекулярной системы изменяется так, что вырождение оказывается снятым (теорема Яна—Теллера). Теорема Яна—Теллера помогает понять связь некоторых свойств молекул и кристаллов с их симметрией.

Так, например, ионы переходных металлов, орбитальное состояние которых является вырожденным вследствие их симметрии, в октаэдрических полях образуют комплексы не с октаэдрической, а с более низкой симметрией, например тетрагональной. Вследствие снятия вырождения у иона в кристалле его энергия уменьшается, что обеспечивает комплексу большую устойчивость. [c.92]

    Хотя связь между вращением молекулы и орбитальным движением электронов очень мала, она приводит к снятию вырождения в случаях, когда Л 0. Это расщепление называется удвоением А-типа. Для электронных состояний расщепление описывается уравнением [c.45]

    В органических свободных радикалах обычно неспаренный электрон находится на сильно делокализованных орбиталях и вырождение орбитальных уровней снято. Например, в ион-радикале /г-бензосемихиноне [c.226]

    Искажения октаэдра только что рассмотренного типа весьма часто наблюдаются в кристаллах. Причина их возникновения лежит в доказанной Яном и Теллером общей теореме, которая гласит, что если нелирюйная молекула находится в орбитально-вырожденном состоянии, то она будет искал аться, чтобы снять это вырождение (доказательство см. в [2]).

Из этой теоремы следует, например, ян-теллеровская нестабильность основных состояний октаэдрических комплексов слабого поля Eg- или T g симметрии. Таким образом, следует ожидать, что и случае слабого поля как правильные октаэдры существуют только комплексы с конфигурациями d , основные состояния которьгх Mjg и 2g соответственно. [c.

272]

    В сильных электрических полях низкой симметрии происходит частичное снятие орбитального вырождения. Остальное вырождение снимается за счет взаимодействия орбитального магнитного момента и СПИ1ЮВ0Г0.

Это так называемое спин-орбитальное взаимодействие можно рассматривать как поле более низкой, а именно, осевой симметрии, создаваемое спином. Каждый из орбитальных уровней дважды вырожден по спину.

Это вырождение снимается внешним полем. [c.20]

    При рассмотрении конфигураций, у которых погашение орбитального углового момента должно быть неполным, следует учесть, что орбитальное вырождение основных состояний (следствием которого является возникновение остаточных орбитальных угловых моментов) может быть снято как за счет спин-орбитального взаимодействия, так и вследствие наличия нолей лигандов с симметрией ниже октаэдрической (нанример, тетрагональной или тригональпой). Если пренебречь сначала полями низкой симметрии, можно точно вычислить магнитные моменты каждой из рассматриваемых конфигураций в зависимости от константы спин-орбитального взаимодействия и температуры. Результаты таких вычислений приведены на рис. 81 [44а]. Если рассматриваемая конфигурация возникает вследствие расщепления /»-терма свободного иона, необходимо рассмотреть два приближения 1) когда поле лигандов является слабым по [c.395]

    Одним из важных следствий электрон-электронного отталкивания является снятие орбитального вырождения, предпола- [c.65]

    На рис. 12-18 случай связи а по Гунду был упрощен. Если Л =7 0, то существует остаточное орбитальное вырождение, которое не показано.

Взаимодействие орбитального и вращательного моментов ведет к снятию вырождения. Расщепление ( Л-удвоение ) состояний, которые обозначаются индексами + и — , увеличивается с ростом /.

Полное снятие Л-вырож-дения делает возможными четыре перехода для каждой линии. [c.377]

    Несколько сложнее второй этап расчета, когда интересующее пас электронное состояние вырождено по орбитальному движению. Такой случай иногда реализуется в свободных радикалах и ионах группы железа в симметричных кристаллических полях.

В таких случаях часто бывает необходимо учитывать взаимодействие парамагнитной частицы с матрицей.

Другой причиной, которая также может приводить к снятию орбитального вырождения, является электронно-колебательное взаимодействие, которое приведет к деформации структуры парамагнитной частицы .

Для результирующей деформированной невырожденной структуры спин-га-иильтониан определяется обычным образом. Мы не будем здесь входить в детали этой достаточно специфической области. Многие относящиеся сюда вопросы читатель может найти в соответствующих монографиях [5, 6]. [c.10]

    Рассуждения типа приведенных выше полностью применимы и в случае органических свободных радикалов.

Орбитальное вырождение (для р-электронов) практически всегда полностью снято, так как ориентация орбитальных моментов жестко связана с ориентацией волновых функций электронов, которая в свою очередь строго определяется системой ковалентных связей и всей геометрией молекулы — радикала. Например, в случае плоских ароматических свободных радикалов типа семихинонов (см. гл. VIII) неспаренный электрон является 2р п-электроном, а орбитальные уровни, соответствующие рх- и р ,-ориентациям, лежат значительно выше основного состояния. Эти орбитальные уровни соответствуют возбуждению типа л- о (возбуждение неспаренного я-электрона на разрыхляющую а-орбиту) и типа а —> я (возбуждение связывающего а-электрона на я-орбиту). [c.69]

Читайте также:  Устройства ввода информации - в помощь студенту

    Из материала, изложенного в этой главе, легко видеть, что теория спектров ЭПР наиболее полно разработана для парамагнитных ионов переменной валентности в кристаллических полях разной симметрии.

Теория спектров ЭПР органических свободных радикалов — объектов, наиболее интересных для химии, находится в самой начальной стадии развития.

Совершенно неудовлетворительно обстоит дело с теорией смещения g-фактора и его анизотропии для органических структур, в которых снятие орбитального вырождения обусловлено не электрическими полями кристаллической решетки, а обменными взаимодействиями.

Из-за отсутствия этой теории для химика потерян важный догюлнительный источник информации, которую могли бы дать спектры ЭПР органических свободных радикалов.

До сих пор остается неясным вопрос о связи распределения спиновой и зарядовой плотностей, что имеет прямое отношение к механизму и кинетике радикальных реакций. Список таких нерешенных проблем можно было бы продолжить. Таким образом, спектроскопия электронного парамагнитного резонанса является благодарной областью работы для физиков-теоретиков, заинтересованных в том, чтобы их исследования помогали решению важных химических проблем. [c.85]

    Когда выражают энергию электрона с помощью 5-, р-, Л- и /-состояний, в действительности принимают во внимание только два из четырех квантовых чисел, необходимых для полного оппсанпя энергии электрона в атоме.

Вообще такая конфигурация будет сильно вырожденной, поскольку ие учитывается межэлектронное отталкивание и спин-орбитальное взаимодействие.

Хотя эти силы могут быть относительно малы, они тем не менее способствуют снятию сильного вырождения, которое может быть у данной электронной конфигурации, включающей в себя электроны, расположенные вне заполненного электронного слоя.

Чтобы узнать, как эти дополнительные взаимодействия снимают вырождение у электронной конфигурации, полезно рассмотреть два крайних случая связь Рассел — Саундерса или 5-связь, с одной стороны, и //-связь — с другой. [c.179]

    Токи, связанные с орбитальным движением электрона и с его спином, взаимодействуют друг с другом. Каждый из этих токов создает магнитное поле, которое воздействует на другой ток. Взаимодействие магнитных полей, создаваемых токами, обусловливает зависимость орбитального и спинового моментов количества движения совокупности электронов, его называют спин-орбитальным взаимодействием или спин-орвитальнай связью. Энергия спин-ор-битального взаимодействия много меньше разности энергетических уровней электронов, но, несмотря на это, она оказывает существенное влияние на стационарные состояния атома. Это влияние приводит к снятию вырождения состояний с одним и тем же квантовым числом орбитального движения. Подобное снятие вырождения служит основьюй причиной появления тонкой структуры атомных спектров (см. разд. 3.9) в отсутствие внешних полей. Строгое рассмотрение спин-орбитального взаимодействия возможно при решении релятивистского уравнения Дирака. Однако полуклассический подход позволяет выявить наиболее важные детали этого эффекта. [c.77]

Источник: https://www.chem21.info/info/671814/

Квантовая теория

Главная / Учёба / Учебный план / Квантовая теория

Очевидная неприменимость классической физики, механики и электродинамики, для описания микрообъектов, атомов, молекул, электронов и излучения. Проблема равновесного теплового излучения. Проблема устойчивости вещества. Дискретность в микромире. Спектральные линии. Опыты Франка и Герца.

Дискретность в классической физике. Аналогия с задачами на собственные значения. Колебания струны, волновое уравнение, граничные условия. Необходимость волнового описания микрочастиц. Экспериментальные указания на волновые свойства микрообъектов. Дифракция электронов. Опыты Дэвиссона и Джермера.

Волновая и геометрическая оптика. Описание волновых полей в пределе малых длин волн как потоков частиц. Идея Де-Бройля о построении квантовой или волновой механики.

Элементы классической механики: принцип наименьшего действия, функция Лагранжа, действие как функция координат, запись принципа наименьшего действия через функцию Гамильтона. Уравнение Гамильтона-Якоби. Укороченное действие. Действие свободно движущейся частицы

Волновое уравнение в классической физике. Монохроматические волны. Уравнение Гельмгольца.

Восстановление волнового уравнения для свободной частицы по дисперсионному соотношению. Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы.

2. Физические величины в классике и квантовой механике.

Необходимость введения физических величин как операторов, на примере операторов импульса и Гамильтона. Интерпретация волновой функции. Амплитуда вероятности. Принцип суперпозиции. Сложение амплитуд.

Мысленный эксперимент с двумя щелями. Амплитуда перехода. Амплитуда перехода как функция Грина уравнения Шредингера. Интерференция амплитуд. Аналогия с принципом Гюйгенса-Френеля. Композиция амплитуд.

Распределение вероятностей для координаты и для импульса. Переход в k — представление. Преобразование Фурье как разложение по собственным функциям оператора импульса. Интерпретация собственных значений операторов как наблюдаемых физических величин.

Дельта-функция как ядро единичного оператора. Различные представления

дельта-функции. Вычисление гауссовых интегралов. Немного математики. Воспоминания о математической физике и новый взгляд.

3. Общая теория операторов физических величин.

Задачи на собственные значения. Квантовые числа. Что значит «физическая величина имеет определенное значение». Дискретный и сплошной спектры.

Эрмитовость-определение. Действительность средних и собственных значений. Ортогональность и нормированность. Волновые функции как вектора. Скалярное произведение функций.

Разложение функций по собственным функциям оператора. Базисные функции и разложения. Вычисление коэффициентов. Операторы как матрицы. Непрерывные и дискретные индексы. Представления операторов умножения и дифференцирования как матриц.

Обозначения Дирака. Абстрактные вектора и абстрактные операторы. Представления и переход к различным базисам.

4. Измерение в квантовой механике.

Макроскопичность и классичность измерительного прибора. Измерение — «разложение» по собственным функциям прибора.

5. Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы.

Решение методом Фурье. Волновой пакет. Принцип неопределенности. Некоммутативность операторов импульса и координаты. От каких переменных зависит волновая функция. Понятие полного набора. Отсутствие траектории.

Коммутируемость операторов и существование общих собственных функций.

Необходимость и достаточность. Еще раз о переходе к различным базисам.

Преобразования операторов и векторов состояний. Унитарные операторы — операторы сохраняющие ортонормированность.

Нестационарное уравнение Шредингера. Оператор эволюции. Функция Грина. Функции от операторов. Построение оператора эволюции путем разложения по собственным функциям стационарного уравнения. Оператор производной физической величины по времени.

6. Представление Гейзенберга.

Уравнения Гейзенберга. Уравнение Шредингера для связанных и асимптотически свободных систем.

7. Запутанные и независимые состояния.

Условие существования волновой функции у подсистемы. Чистые и смешанные состояния подсистемы. Описание смешанных состояний с помощью матрицы плотности. Правило вычисления средних. Эволюция матрицы плотности. Уравнение фон-Неймана.

8. Одномерное движение.

Одномерное уравнение Шредингера. Общие теоремы. Сплошной и дискретный спектры. Решение задач с кусочно-постоянными потенциалами. Граничные условия на скачках потенциала. Поиск дискретных уровней и собственных функций в прямоугольных потенциалах.

Осцилляционная теорема. Вариационный принцип. Пример мелкой ямы. Существование связанного состояние в яме любой глубины в размерности 1 и 2. Одномерная задача рассеяния. Четные потенциалы. Оператор четности.

Закон сохранения четности — принципиально квантовый ЗС не имеющий аналога в классике.

9. Точнорешаемые потенциалы.

Постоянная сила. Гармонический осциллятор. Потенциал Морса. Потенциал Эпштейна. Безотражательные потенциалы. Упоминание об обратной задаче теории рассеяния. Метод Лапласа.

Гипергеометрическая и вырожденная гипергеометрическая функции. Поиск решения в виде ряда. Аналитическое продолжение. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Трехмерное уравнение Шредингера.

Центрально-симметричный потенциал. Изотропия.

10. Гармонический осциллятор.

Подход операторов рождения и уничтожения. A la Feinman, «Статистическая физика». Вычисление собственных функций, нормировок и матричных элементов. Уравнение Эрмита. Метод Лапласа. Поиск решения в виде ряда. Нахождение собственных значений из условия обрыва ряда.

11. Оператор орбитального момента.

Преобразование вращения. Определение. Коммутационные соотношения. Собственные функции и числа. Явные выражения для операторов орбитального момента в сферических координатах. Вывод собственных чисел и функций операторов.

Матричные элементы операторов орбитального момента. Симметрия по отношению к преобразованию инверсии. Истинные и псевдо скаляры, векторы и тензоры. Четность различных сферических гармоник.

Рекуррентное выражение для собственных функций момента.

12. Движение в центральном поле.

Общие свойства. Центробежная энергия. Нормировка и ортогональность. Свободное движение в сферических координатах.

Сферические функции Бесселя и их выражения через элементарные функции.

Задача о трехмерной прямоугольной яме. Критическая глубина для существования связанного состояния. Сферический гармонический осциллятор. Решение в декартовой и сферической системе координат. Собственные функции. Вырожденная гипергеометрическая функция. Уравнение. Решение в виде степенного ряда. Квантование — следствие конечности ряда.

13. Кулоново поле.

Безразмерные переменные, кулонова система единиц. Решение в сферической системе координат. Дискретный спектр. Выражение для собственных значений энергии. Связь главного и радиального квантовых чисел. Подсчет степени вырождения. Наличие дополнительного вырождения.

14. Теория возмущений.

Стационарная теория возмущений. Общая теория. Операторная геометрическая прогрессия. Стационарная теория возмущений. Поправки к частоте для слабо ангармонического осциллятора.

Стационарная теория возмущений в случае вырождения. Секулярное уравнение. Задача об электроне в поле двух одинаковых ядер. Правильные функции нулевого приближения. Интегралы перекрытия. Нестационарная теория возмущений.

Общая теория. Резонансный случай. Золотое правило Ферми.

15. Квазиклассическое приближение.

Базисные решения. Локальная точность. Линейный слой. Функция Эйри. ВКБ решение. Метод Цвана. Задача о потенциальной яме. Правила квантования Бора-Зоммерфельда. ВКБ приближение. Задача о подбарьерном прохождении. Задача о надбарьерном отражении.

16. Спин.

Многокомпонентная волновая функция. Аналог поляризации электромагнитных волн. Опыт Штерна-Герлаха. Спиновая переменная. Инфинитиземальное преобразование вращения и оператор спина.

Коммутационные соотношения. Собственные числа и собственные функции операторов спина. Матричные элементы. Спин 1/2. Матрицы Паули. Коммутационные и антикоммутационные соотношения. Алгебра матриц Паули. Вычисление произвольной функции от спинового скаляра.

Оператор конечных вращений. Вывод с помощью матричного дифференциального уравнения. Преобразование к линейной по s форме. Матрицы Ux,y,z. Определение интенсивностей пучков в опытах Штерна-Герлаха при вращении анализатора.

17. Движение электрона в магнитном поле.

Уравнение Паули. Гиромагнитное отношение. Роль потенциалов в квантовой механике. Калибровочная инвариантность. Эффект Бома-Аронова. Коммутационные соотношения для скоростей. Движение электрона в однородном магнитном поле. Калибровка Ландау. Решение уравнения. Уровни Ландау. Оператор координаты ведущего центра. Коммутационные соотношения для него.

Рекомендуемая литература

Основная литература

  1. Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, т. 3, Москва, «Наука», 1989
  2. Л.Шифф, Квантовая механика, Москва, ИЛ, 1967
  3. А. Мессиа, Квантовая механика, т.1,2, М. Наука, 1978
  4. А. С. Давыдов, Квантовая механика, М.

    Наука, 1973

  5. Д.И.Блохинцев, Основы квантовой механики, Москва, «Наука», 1976.
  6. В.Г. Левич, Ю. А. Вдовин, В. А. Мямлин, Курс теоретической физики, т.2
  7. Л.И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.

Дополнительная литература

  1. Р. Фейнман, Лейтон, Сэндс, Фейнмановские лекции по физике (ФЛФ), т. 3,8,9
  2. Э. Ферми, Квантовая механика, М. Мир, 1968
  3. Г. Бете, Квантовая механика, М. Мир, 1965
  4. П. Дирак, Принципы квантовой механики, М. Наука, 1979
  5. В. Балашов, В. Долинов, Курс квантовой механики, изд. МГУ, Москва

Задачники

  1. А.М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган, Задачи по квантовой механике. Москва, «Наука», 1981.
  2. М.Ш. Гольдман, В. Л. Кривченков, М. Наука, 1968
  3. З. Флюгге, Задачи по квантовой механике, т. 1,2 М. Мир, 1974

Вопросы для контроля

  1. Докажите, что уравнение Шредингера сохраняет плотность вероятности.
  2. Докажите, что собственные функции УШ инфинитного движения дважды вырождены.
  3. Докажите, что собственные функции УШ свободного движения, соответствующие разным импульсам ортогональны.
  4. Докажите, что собственные функции дискретного спектра невырождены.
  5. Докажите, что собственные функции дискретного спектра УШ с четной ямой либо четны, либо нечетны.
  6. Найдите собственную функцию УШ с линейным потенциалом.
  7. Определите уровни энергии в симметричной прямоугольной яме конечной глубины.
  8. Выведите граничные условия и определите коэффициент отражения от дельта-потенциала.
  9. Напишите уравнение для собственных функций гармонического осциллятора и приведите его к безразмерному виду.
  10. Найдите собственную функцию основного состояния гармонического осциллятора. Отнормируйте её.
  11. Определите операторы рождения и уничтожения. Напишите гамильтониан гармонического осциллятора. Опишите их свойства.
  12. Решая уравнение в координатном представлении найдите собственную функцию основного состояния.
  13. Используя операторы a,a+ вычислите матричные элементы операторов x2, p2 в базисе собственных функций гармонического осциллятора.
  14. Как преобразуются координаты при инфинитезимальном (бесконечно малом) вращении.
  15. Связь оператора момента и вращения. Определение оператора момента. Выведите коммутационные соотношения между компонентами момента Выведите коммутационные соотношения между проекциями момента и координатами Выведите коммутационные соотношения между проекциями момента и импульсами l2,l_z представлении.
  16. Собственные функции момента в сферических координатах. Напишите уравнение и его решение методом разделения переменных. Выражение через присоединенные полиномы Лежандра.
  17. Четность состояния, оператор инверсии. Скаляры и псевдоскаляры, полярные и аксиальные векторы. Примеры.
  18. Преобразование инверсии в сферических координатах. Связь четности с орбитальным моментом.
  19. Сведите задачу двух тел к задаче движения одной частицы в центральном поле.
  20. Разделите переменные УШ для центрального поля и напишите общее решение.
  21. Напишите условие ортонормированности. Сколько квантовых чисел и каких образуют полный набор.
  22. Определите уровни энергии частицы с моментом l, равным 0, движущейся в сферической прямоугольной яме конечной глубины. Определите минимальную глубину ямы, необходимую для существования связанного состояния.
  23. Определите уровни энергии и волновые функции сферического гармонического осциллятора путем разделения переменных в декартовых координатах. Каковы квантовые числа. Определите степень вырождения уровней.
  24. Напишите УШ для движения в кулоновом поле и приведите его к безразмерному виду. Атомная система единиц.
  25. Определите асимптотику радиальной функции движения в кулоновом поле вблизи центра.
  26. Какова степень вырождения уровней при движении в кулоновом поле.
  27. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции, соответствующей невырожденной энергии
  28. Выведите формулу для первой и второй поправок к энергии.
  29. Используя теорию возмущений найдите первую поправку к частоте слабо ангармонического осциллятора из-за возмущения. Используйте операторы рождения и уничтожения
  30. Выведите формулу для поправки к энергии в случае m кратного вырождения этого уровня. Секулярное уравнение.
  31. Выведите формулу для поправки к энергии в случае 2 кратного вырождения этого уровня. Определите правильные волновые функции нулевого приближения.
  32. Получите нестационарное уравнение Шредингера в представлении собственных функций невозмущенного гамильтониана.
  33. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции системы при произвольном нестационарном возмущении
  34. Выведите формулу для первой поправки к волновой функции системы при гармоническом нерезонансном возмущении.
  35. Выведите формулу для вероятности перехода при резонансном воздействии.
  36. Золотое правило Ферми.
  37. Выведите формулу главного члена квазиклассического асимптотического разложения.
  38. Напишите локальные условия применимости квазиклассического приближения.
  39. Напишите квазиклассическое решение для УШ, описывающее движение в однородном поле.
  40. Напишите квазиклассическое решение для УШ, описывающее движение в однородном поле слева и справа от точки поворота.
  41. Методом Цвана выведите граничные условия для перехода из полубесконечной классически запрещенной области в классически разрешенную. Каков набег фазы при отражении?
  42. В квазиклассическом приближении определите уровни энергии в потенциальной яме. Правило квантование Бора-Зоммерфельда.
  43. С помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда определите уровни энергии гармонического осциллятора. Сравнить с точным решением.
  44. Методом Цвана выведите граничные условия для перехода из полубесконечной классически разрешенной области в классически запрещенную.
  45. Понятие спина. Спиновая переменная. Аналог поляризации электромагнитных волн. Опыт Штерна-Герлаха.
  46. Инфинитиземальное преобразование вращения и оператор спина. На какие переменные действует оператор спина.
  47. Напишите коммутационные соотношения для операторов спина
  48. Докажите, что оператор s2 коммутирует с операторами проекций спина.
  49. Что такое s2, sz представление.
  50. Напишите матрицы Паули.
  51. Напишите матрицу s2.
  52. Напишите собственные функции операторов sx,y,z для s=1/2 в s2, szпредставлении.
  53. Прямым вычислением докажите антикоммутативность матриц Паули.
  54. Напишите матрицы конечных вращений Ux,y,z
  55. На прибор Штерна-Герлаха с собственной осью z падает пучок, поляризованный по x. Что на выходе?
  56. На прибор Штерна-Герлаха вдоль оси x падает пучок, поляризованный по z. Что на выходе, если ось прибора z' повернута относительно оси x на угол j?
  57. Напишите УШ бесспиновой заряженной частицы в магнитном поле
  58. Напишите УШ заряженной частица со спином 1/2 в магнитном поле.
  59. Опишите связь спина и магнитного момента частицы. Что такое гиромагнитное отношение, магнетон Бора, ядерный магнетон. Чему равно гиромагнитное отношение электрона.
  60. Роль потенциалов в квантовой механике. Калибровочная инвариантность.
  61. Удлиненные производные.
  62. Напишите выражения для операторов компонент скоростей и получите коммутационные соотношения для них при конечном магнитном поле.
  63. Напишите уравнения движения электрона в однородном магнитном поле в калибровке Ландау.
  64. Приведите УШ электрона в магнитном поле к безразмерному виду. Магнитная длина.
  65. Выведите волновые функции и значения энергии электрона в магнитном поле.
  66. Какими квантовыми числами характеризуется состояние. Уровни Ландау.

Источник: http://www.pnn.unn.ru/studies/curriculum/quantum_theory

Ссылка на основную публикацию