Тождественные преобразования — в помощь студенту

Тождественные преобразования - в помощь студенту

При упрощении выражений, вычислении их значений, при решении уравнений и неравенств необходимо производить тождественные преобразования заданных выражений. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ошибки при тождественных преобразованиях.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Нарушение порядка действий

  • K Упражнение. Упростить выражение
  • [1-frac{sqrt{x}}{x-1}:frac{sqrt{x}-1}{x}]
  • L Неправильное решение. 
  • Сначала
  • [1-frac{sqrt{x}}{x-1}=frac{x-1-sqrt{x}}{x-1}]
  • затем
  • [frac{x-1-sqrt{x}}{x-1}:frac{sqrt{x}-1}{x}]
  • и так далее. 
  • J Правильное решение.
  • Сначала следует выполнить
  • [frac{sqrt{x}}{x-1}:frac{sqrt{x}-1}{x}]
  • затем произвести вычитание.

Тождественные преобразования - в помощь студенту

  1. Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:
  2. первая ступень – сложение и вычитание,
  3. вторая ступень – умножение и деление.
  4. При нахождении значения выражения или его упрощении действия выполняются в следующем порядке:
  1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, тогда все операции выполняются по порядку слева на право.

  2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени. Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.

  3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.

Нарушение правил действий над степенями и многочленами

Нередко учащиеся неверно применяют формулы сокращенного умножения, нарушают правила действий над степенями с рациональным показателем.

L Неправильное решение J Правильное решение
[left(a^{frac{1}{2}}+b^{frac{1}{2}}
ight)^{-3}=frac{1}{a^{frac{3}{2}}+b^{frac{3}{2}}}]
[left(a^{frac{1}{2}}+b^{frac{1}{2}}
ight)^{-3}=frac{1}{left(a^{frac{1}{2}}+b^{frac{1}{2}}
ight)^{3}}]
[frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2-b^2] [frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2]
[left(a-b
ight)^{frac{1}{2}}=a^{frac{1}{2}}-b^{frac{1}{2}}]
[left(a-b
ight)^{frac{1}{2}}=sqrt{a-b}]
[a^{-1}+b^{-1}=frac{1}{a+b}] [a^{-1}+b^{-1}=frac{1}{a}+frac{1}{b}]
[16^x-4^x=(16-4)^x] [16^x-4^x=4^x(4^x-1)]
[9^{2-x}=9^2-9^x] [9^{2-x}=9^2:9^x]

Тождественные преобразования - в помощь студенту

Разложение многочленов на множители выполняется нерационально или не доводится до конца.

K Упражнение. Разложить многочлен x3 – x2 – x + 1 на множители.

  • L Неправильное решение.
  • x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x + 1) =  дальше продолжить не удалось.
  • J Правильное решение. 
  • x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x – 1) = (x2 – 1) · (x – 1) =
  • = (x + 1) · (x – 1) · (x – 1) = (x + 1) · (x – 1)2.

Сокращение дробей

Очень распространенной ошибкой является попытка сократить стоящие в числителе и знаменателе одинаковые выражения, одно из которых (или в числителе, или в знаменателе), а порой и оба, являются не сомножителями, а слагаемыми.

L Неправильное решение J Правильное решение
[frac{2m+2(m+n)^3}{(m+n)^2(2m+n)}=frac{2m+2(m+n)}{2m+n}] Сократить нельзя
[frac{sin alpha +cos alpha }{sin alpha}=1+cos alpha] Сократить нельзя
[frac{a^4-b^4}{a-b}=a^3-b^3] [frac{a^4-b^4}{a-b}=frac{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}{(a-b)}=] [=(a^2+b^2)(a+b)]
[frac{sin alpha +sin 2alpha -sin 3alpha }{cos alpha +cos 2alpha -cos 3alpha }=] [= an alpha + an 2alpha- an 3alpha] Сократить нельзя
[frac{sqrt{a^3b}left(asqrt{a}+bsqrt{b}
ight)}{sqrt{a}+sqrt{b}}] Сокращение не произведено
  1. [frac{sqrt{a^3b}left(asqrt{a}+bsqrt{b}
    ight)}{sqrt{a}+sqrt{b}}=]
  2. [=frac{sqrt{a^3b}left(sqrt{a}+sqrt{b}
    ight)left(a-sqrt{ab}+b
    ight)}{sqrt{a}+sqrt{b}}=]
  3. [=sqrt{a^3b}left(a-sqrt{ab}+b
    ight)]

Неправильное выполнение действий с арифметическими корнями 

L Неправильное решение J Правильное решение
[sqrt{left(4-sqrt{32}
ight)^2}=4-sqrt{32}]
[sqrt{left(4-sqrt{32}
ight)^2}=sqrt{32}-4]
[sqrt{frac{a+1}{(1-a)^2}}=frac{sqrt{a+1}}{1-a}] при а > 1 [sqrt{frac{a+1}{(1-a)^2}}=frac{sqrt{a+1}}{a-1}] при а > 1
[sqrt{a^2+b^2}=a+b] Упростить невозможно 
[bsqrt{2}=sqrt{2b^2}] при b < 0 [bsqrt{2}=-1sqrt{2b^2}] при b < 0 
  • Необходимо помнить, что для любого действительного числа а и натурального k верно:
  • [sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a,]
  • [sqrt[2k]{a^{2k}}=left| a
    ight|.]

Ошибки тригонометрического характера

При нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла. 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Вера и знания - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

K Упражнение. Найти  ctg α, если  sin α = 0,8.

  1. L Неправильное решение. 
  2. 1 + ctg2 α = sin–2 α, 
  3. 1 + ctg2 α = 25/16,
  4. ctg2 α = 9/16,
  5. ctg α = 3/4.

Комментарий. Здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

  • J Правильное решение.
  • Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:
  • 1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;
  • 2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

     Смотрите так же: 

  1. Ошибки в уравнениях
  2. Ошибки в системах уравнений
  3. Ошибки в неравенствах
  4. Ошибки в упражнениях с параметрами
  5. Ошибки в упражнениях о функциях
  6. Ошибки в упражнениях из начал анализа
  7. Ошибки в геометрических задачах

Тождественные преобразования - в помощь студенту

Источник: http://math4school.ru/oshibki_v_tozhdestvennih_preobrazovanijah.html

Тождество, тождественные преобразования

Определение Выражение 1 = Выражение 2тождество, если это равенство выполняется при любых значениях переменных (букв), входящих в выражения.

Правило При этом говорят, что «Выражение 1» тождественно равно «Выражению 2». Примеры x + 5x + 6 = 6x + 6 верно при любых x — тождество;

3 (xy — 16 ) + 23 — yx = 2xy — 25

верно при любых a и b — тождество;

3x + y = 6 -x — 1,3z

верно при любых x, y и z — не тождество.

Тождественные преобразования выражений

Определение Тождественным преобразованием называется замена выражения тождественно равным ему выражением.

Тождественные преобразования - в помощь студенту Правило Раскрытие скобок, вынесение общего множителя, приведение подобных, перемена мест слагаемых — примеры тождественных преобразований

выражений.

Тождественные преобразования уравнений

Правило 1 1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знаков на противоположные. Тождественные преобразования - в помощь студенту Правило 2 2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не нулевое число. Тождественные преобразования - в помощь студенту Помни ! В правой и левой частях уравнения можно выполнять любые тождественные преобразования выражений, т.е. раскрывать скобки, приводить

подобные и т.д.

Пример 2,3 ( 5 — 3m) + 2,3 = 7,6 ( m — 2 )

  • 23 ( 5 — 3m ) + 23 = 76 ( m — 2 )
  • 115 — 69m + 23 = 76m — 152
  • -69m — 76m = -152 — 115 — 23
  • -145m = -290
  • m = 2.
  • а
  • б
  • в
  • г
  • д
  • е
  • з
  • и
  • к
  • л
  • м
  • н
  • о
  • п
  • р
  • с
  • т
  • у
  • ф
  • х
  • ц
  • ч
  • э

© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/tozhdestvennye-preobrazovaniya.html

Методическая разработка по теме

                                      План – конспект открытого урока

Тема:    «Тождественные преобразования степенных выражений».31.10.2013   группа 2-11ПК     1 курс
  • Количество часов на тему: 3 часа
  • Порядковый номер урока по плану: № 15
  • Длительность:   45 минут.
  1.                                                                Ход урока
  2. 1 Организация студентов к занятию. 
  3. Организация начала занятия, обеспечение полной готовности к работе.

2 Проверка домашнего задания. Сообщение темы, цели урока. Актуализация опорных знаний  

Коррекция знаний и умений учащихся (проверка домашнего задания). Консультирует по невыполненным заданиям из домашней работы Постановка целей, определение задач на урок.

Читайте также:  Софисты и софистика - в помощь студенту

3 Краткий фронтальный и индивидуальный опрос студентов по пройденному материалу.

Выявить уровень знаний. Актуализировать  знания.

Обеспечение восприятия осмысления и  запоминания знаний

А)   Вопросы:   (слайды ПК)

  • Какие преобразования называются тождественными (слайд ПК)
  • Дать определение тождества (слайд ПК)
  • Какие приемы используются при тождественных преобразованиях
  • Назовите свойства степени с рациональным показателем (слайд ПК)
  • Формула перехода от корня к степени (слайд ПК)
  • Формула от отрицательного показателя (слайд ПК)
  • Формула сокращенного умножения (слайд ПК)
  • Б)   Устный счет (слайд ПК)
  • В)  Найти ошибку уже в решенных примерах, обосновывают ответ. (слайд ПК)
  • Г)  Выполняют задания по тренажерам.
  • Избавиться от корня (слайд ПК)
  • Избавиться от отрицательно показатея (слайд ПК)
  • Представить ввиде степени (слайд ПК)
  1. 4 Организация заданий по формированию и совершенствованию практических умений и навыков.
  2. Закрепить полученные знания, начать вырабатывать умения по их применению
  3. Карточки задании на приемы тождественных преобразований.
  4.  Задания решаются  у доски, с обоснованием
  • Вынесение общего множителя за знак скобки.
  • Сократить дробь
  • Решить уравнение
  • Применение формул сокращенного умножения
  • Решение по учебнику   № 74(1,3), 105(1)
  • Резерв   № 64, 84(1,3), 100(1,3)
  • 5 Закрепление материала.
  • Консультирование по выполнению самостоятельной работы.
  • Выполняют самостоятельную работу (обучающая) (слайд ПК)
  • 6 Инструктаж по домашнему заданию.
  • Объяснение домашнего задания
  • 7 Подведение итогов. Рефлексия

Дать анализ и оценку успешности достижения цели.  Рефлексия занятия.

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/obrazovanie-i-pedagogika/library/2013/12/04/metodicheskaya-razrabotka-uroka-tozhdestvennye

Преобразование выражений. Тождественные преобразования

        Итак, друзья, в прошлом уроке мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означают слова «выражение не имеет смысла». А теперь пришла пора разобраться, что же такое преобразование выражений. И самое главное – зачем оно нужно.

Что такое преобразование выражения?

        Ответ прост, до неприличия.) Это любое действие с выражением. И всё. Все эти преобразования вы делали с первого класса. Любое не буквально, конечно… Об этом чуть ниже будет.)

        Например, возьмём какое-нибудь суперкрутое числовое выражение Скажем, 3+2. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Хотя бы взять да посчитать:

  •         3+2 = 5
  •         Вот этот расчёт детского садика и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:
  •         3+2 = 2+3

        А тут мы вообще ничего не считали. Просто взяли и переписали наше выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать и по-другому. Например, вот так:

  1.         3+2 = 10-5
  2.         И эта запись – тоже преобразование выражения.
  3.         Или так:
  4.         3+2 = 10:2
  5.         Тоже преобразование выражения!
  6.         Если мы с вами постарше, с алгеброй дружим, то напишем:
  7.         

        Кто на «ты» с алгеброй, тот, даже особо не напрягаясь и ничего не считая, в уме сообразит, что слева и справа стоит обыкновенная пятёрка. Напрягитесь и попробуйте.)

  •         А если мы совсем уж старшенькие, то можем записать и такие ужастики:
  •         log28+log24 = log232
  •         Или даже такие:
  •         5sin2x+5cos2x=5tgx·ctgx
  •         

        Внушает? И таких преобразований, очевидно, можно понаделать сколько хочешь! Насколько позволяет фантазия. И набор знаний математики.)

        Уловили смысл?

        Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто.

        Простота, конечно, дело всегда хорошее и приятное, но за любую простоту где-то надо платить, да…. Есть здесь одно существенное «но».

Все эти загадочные превращения всегда подчиняются одному оч-чень важному правилу. Правило это настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики.

И нарушение этого простого правила неизбежно будет приводить к ошибкам. Вникаем?)

        Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, от балды, как-нибудь вот так:

        3+2 = 6+1

        Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде! Но… что здесь не так?

        Ответ: всё не так.) Дело всё в том, что преобразования «как попало и от балды» математику не интересуют вообще.) Почему? Потому, что вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Таково её жёсткое требование.

И нарушение этого требования будет приводить к ошибкам. Три плюс два можно записать в каком угодно виде. В каком пример требует, в том виде и запишем. Но по своей сути это всегда должно быть пять. В каком бы виде мы эти самые 3+2 ни записали.

А вот, если, вдруг, после записи выражения 3+2 в другом виде, у вас вместо пяти окажется двадцать пять, где-то вы ошиблись по дороге. Вернитесь да ляп-то и устраните.)

        А теперь пришла пора мудрых зелёных мыслей.)

        Запоминаем:

        1. Любое действие над выражением, запись его в другом виде, называется преобразованием выражения.

        2. Преобразования, не меняющие сути выражения, называются тождественными.

        3. Вся математика построена на тождественных преобразованиях выражений.

        Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, потихоньку-помаленьку, превращать сложный пример в простое, белое и пушистое выражение, сохраняя суть примера.

 Если, вдруг, в цепочке наших преобразований мы где-то ошибёмся, и на каком-то шаге сделаем НЕ ТОЖДЕСТВЕННОЕ преобразование, то дальше мы будем решать уже совсем другой пример. С другими ответами, да… Которые уже не будут иметь никакого отношения к правильным.

) Нарушим тождественность и накосячим ещё где-то — приступим к решению уже третьего примера. И так далее, в зависимости от количества косяков, от задачки про поезд и автомобиль можно прийти к задачке про полтора землекопа.)

        Ещё пример. Для школьников, уже вовсю изучающих алгебру. Допустим, нам надо найти значение выражения (40+7)2. Как можно выкрутиться, т.е. преобразовать наше злое выражение? Можно просто посчитать выражение в скобках (получим 47), перемножить столбиком само на себя и получить (если сосчитать) 2209. А можно воспользоваться формулой квадрата суммы

  1.         (a+b)2 = a2+2ab+b2.
  2.         Получим: (40+7)2 = 402+2∙40∙7+72 = 1600+560+49 = 2209.
  3.         Но! Есть соблазн (скажем, в силу незнания формулы) при возведении в квадрат записать просто:
  4.         (40+7)2 = 402+72.

        К сожалению, на данном простом и, казалось бы, очевидном переходе, тождественность наших преобразований нарушается. Слева всё как надо, 2209, а вот справа – уже другое число. 1649. Посчитайте – и всё станет понятно. Вот вам типичный пример НЕ тождественного преобразования. И соответственно вылезшей ошибки.)

        Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

        Пример с числовыми выражениями 3+2 и (40+7)2 я привёл чисто для наглядности.

        А что же с алгебраическими выражениями? Всё то же самое! Только в алгебраических выражениях тождественные преобразования задаются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

        a(b-c) = ab — ac

        Значит, в любом примере мы имеем полное право вместо выражения a(b-c) смело написать альтернативное выражение ab — ac. И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам на выбор эти два выражения. А уж какое из них писать — от конкретного примера зависит.

        Или популярное:

        a2-b2 = (a-b)(a+b)

        Опять же, два возможных варианта. Оба правильные.) Это тоже тождественное преобразование. Что выгоднее писать – разность квадратов или же произведение скобок – пример сам подскажет.)

        Ещё пример. Одно из самых главных и нужных преобразований в математике — это основное свойство дроби. Подробнее можно (будет) по ссылочке почитать и посмотреть (когда урок сделаю), а здесь я просто напомню правило: 

  •         Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. 
  •         Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:
  •         

        Как вы, наверняка, догадались, эту славную цепочку можно продолжать до бесконечности…) Насколько хватит творческого порыва. Всякие там минусы, корни, синусы, логарифмы пусть вас не смущают.

Это всё одна и та же дробь. По своей сути. Две трети. 2/3. Просто записанная в разном виде. 🙂 Очень важное свойство.

Именно оно очень часто позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

        Конечно же, формул и правил, задающих тождественные преобразования, — много. Я бы даже сказал, очень много. Но самых главных, без которых в математике хотя бы троечного уровня обойтись нельзя, — вполне разумное количество.

        Вот одни из базовых преобразований:

        1. Работа с одночленами и многочленами. Приведение подобных слагаемых (или коротко – подобных);

        2. Раскрытие скобок и заключение в скобки;

        3. Разложение на множители;

        4. Формулы сокращённого умножения и разложение квадратного трёхчлена. 

        5. Работа с дробями и дробными выражениями.

        Эти пять базовых преобразований широко используются во всей математике. От элементарной до высшей. И, если вы не владеете хотя бы одной из этих пяти простых вещей, то вас неминуемо ждут большие проблемы как во всей математике средней школы, так и в старших классах, а уж в ВУЗе – тем более. Поэтому именно с них и начнём. В следующих уроках этого раздела.)

        Есть и более крутые преобразования. Для продвинутых школьников и студентов.) Будь то:

  1.         6. Тригонометрия, логарифмы и всё что с ними связано;
  2.         7. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена;
  3.         8. Деление многочленов уголком или по схеме Горнера;

        9. Разложение рациональной дроби в сумму элементарных (простейших) дробей. Полезнейшая фишка для студентов при работе с серьёзными интегралами.

        Итак, всё ясно насчёт тождественности преобразований и важности её соблюдения? Отлично! Тогда пора двигаться на следующий уровень и шагать из примитивной арифметики в более серьёзную алгебру окончательно. И с блеском в глазах.)

Источник: http://abudnikov.ru/shkolnikam/vyrajeniya/page122.html

1. Тождественные преобразования. Решение уравнений

Автор Габдурафикова Анна Сергеевна 92 статьи

Основные определения и примеры

В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.

Выражения вида `2x+1`, 3×2+53x^2+5 называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.

Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.

Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.

Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком =, называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть  верными при  одних значениях переменных и неверными при других значениях.

  • Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.
  • Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.
  • Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Читайте также:  Норманнская концепция и ее критика - в помощь студенту

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения,  вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.

  1. Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.
  2. Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.
  3. Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.

Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.

Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.

  • Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.
  • Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.
  • Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.
  • Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.
  • Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.
  • Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.
  • При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.
  • При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»
Разность квадратов

Квадрат суммы

Квадрат разности 

Сумма кубов 

Разность кубов 

Куб суммы

Куб разности 

(a-b)(a+b)=a2-b2(a — b)(a + b) = a^2 — b^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b)2=a2-2ab+b2(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a + b) (a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(a — b) (a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3

Источник: https://zftsh.online/articles/568

Тождественные преобразования выражений и методика обучения учащихся их выполнению (стр. 4 из 5)

2)

какое из преобразований следует выполнить: (1) или (2) Разбор этих вариантов является мотивировкой (предпочтительнее (1), т.к. в (2) происходит сужение области определения)

3) Решить уравнение:

-разложение на множители при решении уравнений.

  • 4) Вычислить:
  • Применим формулу сокращённого умножения:
  • (101-1) (101+1)=100
  • 5) Найти значение выражения:

102=102000

Для нахождения значения домножим каждую дробь на сопряжённый:

6) Построить график функции:

Выделим целую часть:

.

Предупреждение ошибок при выполнении тождественных преобразований может быть получено путём варьирования примеров выполнения их. В этом случае отрабатываются «мелкие» приёмы которые как составные части входят в более объёмный процесс преобразования.

Например:

.

В зависимости от направлений уравнения можно рассмотреть несколько задач: справа налево умножение многочленов; слева направо -разложение на множители. Левая часть кратна одному из сомножителей в правой части и т.д.

  1. Кроме варьирования примеров, можно воспользоваться проведением апологии между тождествами и числовыми равенствами.
  2. Следующий приём – объяснение тождеств.
  3. Для повышения интереса учащихся можно отнести отыскание различных способов решения задач.
  4. Уроки по изучению тождественных преобразований станут интереснее, если их посвятить поиску решения задачи.
  5. Например: 1) сократить дробь:

3) доказать формулу «сложного радикала»

Рассмотрим:

Преобразуем правую часть равенства:

сумма сопряжённых выражений. Их можно было бы домножить и разделить на сопряжённый, но такая операция приведет нас к дроби, знаменатель которой есть разность радикалов.

Заметим, что первое слагаемое в первой части тождества есть число большее, чем второе, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

0=0, ч.т.д.

  • Практическое занятие №3.
  • V курс.
  • Тема: Тождественные преобразования выражений (методика вопроса).

Литература: ”Практикум по МПМ”, стр. 87-93.

  1. Признаком высокой культуры вычислений и тождественных преобразований у учащихся являются прочные знания свойств и алгоритмов операций над точными и приближенными величинами и умелое их применение; рациональные приемы вычислений и преобразований и их проверка; умение обосновать применение приемов и правил вычислений и преобразований, автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций.
  2. С какого класса необходимо начать с учащимися работу по выработке перечисленных навыков?
  3. Линия тождественных преобразований выражений начинается с применения приемов рационального вычисления начинается с применения приемов рационального вычисления значений числовых выражений. (5 класс)
  4. При изучении таких тем школьного курса математики надо уделять им особое внимание!

Сознательному выполнению учащимися тождественных преобразований способствует понимание того факта, что алгебраические выражения существуют не сами по себе, а в неразрывной связи с некоторым числовым множеством, являются обобщенными записями числовых выражений. Аналогии между алгебраическими и числовыми выражениями (и преобразованиями их) законны в логическом отношении, использование их в обучении способствует предупреждению ошибок у учащихся.

Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал математического анализа.

Программа по математике 1-5 класса представляет собой пропедевтический материал для изучения тождественных преобразований выражений с переменной.

В курсе алгебры 7 кл. вводятся определение тождества и тождественных преобразований.

Опр. Два выражения соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, наз. тождественно равными.

Опр. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Ценность тождества состоит в том, что оно позволяет данное выражение заменить другим, тождественно равным ему.

Опр. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Основой тождественных преобразований можно считать равносильные преобразования.

Опр. Два предложения, каждое из которых является логическим следствием другого, наз. равносильными.

Опр. Предложение с переменными А наз. следствием предложения с переменными В, если область истинности В есть подмножество области истинности А.

Можно дать другое определение равносильных предложений: два предложения с переменными равносильны, если их области истинности совпадают.

Пример:

а) В: x-1=0 над R; А: (x-1)2 над R => A~B, т.к. области истинности (решения) совпадают (x=1)

б) А: х=2 над R; В: х2=4 над R => область истинности А: х=2; область истинности В: х=-2, х=2; т.к. область истинности А содержится в В, то: х2=4 следствие предложения х=2.

  • Основой тождественных преобразований является возможность представление одного и того же числа в разных формах. Например,
  • такое представление поможет при изучении темы “основные свойства дроби”.
  • Навыки в выполнении тождественных преобразований начинают формироваться при решении примеров, аналогичных следующему: “Найти числовое значение выражения 2а3+3аb+b2 при а=0,5, b=2/3 ”, которые предлагаются учащимся в 5 классе и позволяют осуществить пропедевтику понятия функция.
  • Изучая формулы сокращенного умножения следует уделять внимание их глубокому пониманию и прочному усвоению. Для этого можно воспользоваться следующей графической иллюстрацией:
  • (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-b2=(a-b)(a+b)
  • Вопрос: Как объяснить учащимся суть приведенных формул по данным чертежам?

и т.д.; —

Распространенной ошибкой является смешение выражений “квадрат суммы” и “ сумма квадратов”. Указание учителя на то, что эти выражения различаются порядком действия, не кажется существенным, так как учащиеся считают, что эти действия производятся над одними и теми же числами и поэтому от перемены порядка действий результат не изменяется.

Задание: Составьте устные упражнения для выработки у учащихся навыков безошибочного использования названных формул. Как объяснить, чем похожи эти два выражения и чем они друг от друга отличаются?

Большое разнообразие тождественных преобразований затрудняет ориентацию учащихся в том, с какой целью они выполняются.

Нечеткое знание цели выполнения преобразований (в каждом конкретном случае) отрицательно сказывается на их осознании, служит источником массовых ошибок учащихся.

Это говорит о том, что разъяснение учащимся целей выполнении различных тождественных преобразований является важной составной частью методики их изучения.

  1. Примеры мотивировок тождественных преобразований:
  2. 1. упрощение нахождения числового значения выражения;
  3. 2. выбор преобразования уравнения, не приводящего к потере корня;
  4. 3. при выполнении преобразования можно отметить его область вычислений;
  5. 4. использование преобразований при вычислении, например, 992-1=(99-1)(99+1);

Для управления процессом решения учителю важно обладать умением давать точную характеристику сущности допущенной учащимся ошибки. Точная характеристика ошибки является ключом к правильному выбору последующих действий, предпринимаемых учителем.

Примеры ошибок учащихся:

1. выполняя умножение:

ученик получил -54abx6 (7 кл.);

2. выполняя возведение в степень (3х2)3 ученик получил 3х6 (7 кл.);

Источник: https://mirznanii.com/a/179457-4/tozhdestvennye-preobrazovaniya-vyrazheniy-i-metodika-obucheniya-uchashchikhsya-ikh-vypolneniyu-4

Читать статья по математике: "Тождественные преобразования алгебраических выражений"

(Назад) (Cкачать работу)

Функция «чтения» служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Карпова Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры алгебры ХГПУ

1. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединенных знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.

Все алгебраические выражения (А.В) по действиям, которые производятся над буквами можно классифицировать следующим образом:

Буквы, входящие в А.В могут принимать значения из некоторого числового множества, которое называется множеством допустимых значений или областью определения А.В.

Так, в рассмотренных выше примерах 1) и 2) значениями букв, входящих в А.В могут быть любые числа. В общем случае область определения (О.О.) целых алгебраических выражений может быть любым числовым множеством.

Так как делить на выражение равное нулю нельзя, то с и b в пр.3) могут принимать любые числовые значения, кроме с=0 и b=0, таким образом О.О. А.В из пр.3) с0, b0. На этом же основании О.О. А.В из пр.4) x+y0 или хy.

В общем случае О.О. дробно-рационального А.В не включает те значения, входящих в выражение букв, при которых знаменатель дробей в выражении обращается в нуль.

Область определения А.В из пр.5) аb, b0 и а>0 т.к. выражение стоящее под знаком корня четной степени должно быть, по определению арифметического корня, неотрицательным.

О.О. А.В из пр.6) х+10 или х-1.

В общем случае О.О. иррационального выражения включает только те значения букв, при которых выражения, стоящие под знаком корня четной степени принимают неотрицательные значения.

Тождеством называется равенство двух А.В справедливое для любых допустимых значений, входящих в него букв.

Равенство (a+b)2=a2+2ab+b2 справедливое для любых a и b есть тождество.

Равенствоявляется тождеством только для а1.

Тождественным преобразованием А.В называется замена одного А.В другим тождественно ему равным, но отличным по форме.

a3+3a2b=a2(a+3b)

при с0.

Целью тождественных преобразований (Т.П) может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.

  • К Т.П относятся:
  • приведение подобных членов
  • раскрытие скобок
  • разложение на множители
  • приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.

2. Рассмотрим тождественные преобразования А.В.

Для успешного осуществления Т.П. целых А.В нужно помнить:

  1. Формулы сокращенного умножения
  2. (a b)2 = a2 + 2ab + b2
  3. a3 b3 = (a b)( a2ab+b2)
  4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
  5. a2 – b2 = (a + b)(a – b)
  6. Свойства степени с целыми показателями
  7. Формулы корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c
  8. Теорему Виета х1 и х2 — корни ax2 + bx + c в том и только том случае, если
  9. Разложение квадратного трехчлена ax2 + bx + c на множители.
  10. Если х1, х2 — корни трехчлена, то ax2 + bx + c = а(х–х1)(х–х2)

Рассмотрим несколько примеров тождественных преобразований целых А.В.

  • Пример 1. Разложить многочлен на множители
  • Решение:
  • Задача заключается в том, чтобы сгруппировать слагаемые так, чтобы они имели общий множитель, который можно будет затем вынести за скобки, прейдя от суммы к произведению.
  • Итак.
  • Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние в

Источник: https://referat.co/ref/145553/read?p=1

Ссылка на основную публикацию