Радиальное уравнение — в помощь студенту

Радиальное уравнение - в помощь студенту

Что касается масштабов бедствия, данная дисциплина охватывает почти все разделы физики, изложенные в 10 томах Ландау-Лифшица: электромагнетизм, гидро- и газодинамика, теория теплопереноса, упругости.
 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

В рамках курса “уравнения математической физики”, очевидно, вы будете иметь дело с уравнениями, но не далеко не простыми. Забудьте о заданиях с уравнениями типа 2x+5=9. Да здравствуют дифференциальные уравнения с частными производными! А это вам не шутки.
 

В большинстве случаев вы будете рассматривать случай двух независимых переменных и уравнение второго порядка вида (хотя, конечно, для полноценного рассмотрения многих физических задач для реального мира необходимо рассматривать трехмерный случай):
 

Радиальное уравнение - в помощь студенту

Но не так страшно уравнение, каким оно кажется на первый вид. На самом деле далеко не каждое уравнение такого общего вида годится для моделирования физического явления, и вы будете сталкиваться с уравнениями одного и того же типа.
 

Итак, начнем наше знакомство с теми уравнениями, которые запишутся в ваш новый список друзей.
 

1) Одномерное волновое уравнение:

Радиальное уравнение - в помощь студенту

u(x,t) может быть, например, давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля,a a есть скорость распространения волн в рассматриваемой среде. Это уравнение является уравнением гиперболического типа; оно будет с вами, когда вы будете изучать процессы поперечных колебаний струны, электрических колебаний в проводе, колебаний газа и жидкости.
 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Программное обеспечение - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

2) Ваш друг номер два:

Радиальное уравнение - в помощь студенту

Это уравнение параболического типа, известное в народе также как уравнение теплопроводности, где u(x,t)представляет собой температуру. С этим уравнением вы будете сталкиваться каждый раз, когда заинтересуетесь вопросом распространения тепла, фильтрации газа и жидкости.
 

3) Двумерное уравнение Лапласа:

Радиальное уравнение - в помощь студенту

Это уравнение эллиптического типа, которое необходимо при рассмотрении задач об электрических и магнитных полях (например, таким уравнением описывается потенциал электростатического поля при отсутствии зарядов), а также задач гидродинамики и диффузии.
 

Испугались? В действительности, не все так плохо. Уравнения такого типа можно научиться очень быстро решать, даже если вы перед этим не штудировали учебники по дифференциальным уравнениям.
 

Мы покажем на примере первого уравнения (2), как можно с ними дружить.
 

Мы можем заметить, что правая часть зависит только от t, а левая часть — только от x. Равенство между ними возможно только при условии, что обе части равны константе, это значит, что решение уравнения есть произведение одной функции от t и другой функции от x:
 

Радиальное уравнение - в помощь студенту

Подставив это выражение в исходное уравнение, получаем систему двух простых дифференциальных уравнений:
 

Радиальное уравнение - в помощь студенту
 

А для того, чтобы решить такие уравнения, достаточно знать, как решать квадратное уравнение (это под силу даже школьнику), ведь для решения подобного уравнения (дифференциального однородного уравнения второго порядка)
 

Радиальное уравнение - в помощь студенту

необходимо всего лишь решить квадратное уравнение
 

Радиальное уравнение - в помощь студенту

и тогда решение уравнения (7) есть:
 

Радиальное уравнение - в помощь студенту

В зависимости от условий конкретной физической задачи, вы будете иметь дело с определенными граничными условиями, например, f(x=0)=0, применяя которые, легко можно найти постоянную λ в системе уравнений (6) и постоянные A1 и A2 в каждом решении вида (9).
 

Хотите знать больше?

Тогда бегом в библиотеку за следующими учебниками:

  • А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1972.
  • В.С. Владимиров “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1988.
  • Смирнов М.М. “Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка”. М. “Наука”, 1964.
  • Полянин А.Д. “Справочник по линейным уравнениям математической физики”. М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. “Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения”. М.: Физматлит, 2002.

Хотите заказать решение у нас?

Автор данной статьи также берется за решение уравнений математической физики на заказ.
Узнать цену работы можно на странице заказа. Для этого нужно всего лишь прикрепить файл с заданием и указать сроки.

Источник: https://Reshatel.org/reshenie-zadach/uravneniya-matematicheskoj-fiziki/

Уравнения математической физики, с примерами

Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.

Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.

  • Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции Радиальное уравнение - в помощь студенту таков:
  •     Радиальное уравнение - в помощь студенту
  • Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:
  •     Радиальное уравнение - в помощь студенту
  •     Радиальное уравнение - в помощь студенту
  • данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.

Если функции Радиальное уравнение - в помощь студенту не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть Радиальное уравнение - в помощь студенту, тогда уравнение (2) называется линейным. Если Радиальное уравнение - в помощь студенту, то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Решений уравнений математической физики

  1. Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
  2.     Радиальное уравнение - в помощь студенту
  3. Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
  4.     Радиальное уравнение - в помощь студенту
  5. Если с=0, то система сводится к одному уравнению .
  6. Если общий интеграл уравнения, тогда Радиальное уравнение - в помощь студенту – общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка

Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных.

Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение.

Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.

  • Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:
  • где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.
  • Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)
  1. параболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    где — независимые переменные. Кроме того — дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.

  2. гиперболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
    1. первая каноническая форма:
    2. где — независимые переменные,
    3. вторая каноническая форма:

    где . Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.

  3. эллиптическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    где — независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.

  • Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):
  • которое распадается на два уравнения:
  • и найти их общие интегралы.
  • В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:
  • где
  • Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.
  • Уравнение (13) называют однородным, если =0.
  • Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при -эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:
  • В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.

Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если .

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

где линейный дифференциальный оператор определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.

  1. При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при и начальным условиям:
  2. Граничные условия задаются (14).

Уравнения эллиптического типа

  • В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:
  • где
  • Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени. Уравнение (18) называется однородным, если
  • Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:
  • В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка.
  • Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты
  • таковыми и мы будем считать коэффициенты .
  • Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.
  • Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:
  • Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:
  • Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:
  • Чаще всего В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при описывает поверхностную химическую реакцию.

Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.

Читайте также:  Органы государственной власти российской федерации - в помощь студенту

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:

  1. аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
  2. численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:

  1. Метод характеристик.
  2. Метод разделения переменных.
  3. Метод Фурье.
  4. Метод Деламбера.
  5. Метод интегральных преобразований.
  6. Преобразование Лапласа.
  7. Представление решений через функцию Грина.

Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:

  1. метод сеток;
  2. метод конечных разностей;
  3. методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
  4. методы Эйлера;
  5. методы Рунге-Кутта;
  6. метод Адамса;
  7. символьно-численный метод.

Примеры решения задач

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/uravneniya-matematicheskoj-fiziki/

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Жигайлова А. Б. Метод «переброски» при решении квадратных уравнений // Молодой ученый. — 2016. — №7.3. — С. 11-13. — URL https://moluch.ru/archive/111/27959/ (дата обращения: 19.03.2020).



На сегодняшний день перед выпускниками школ стоит главная задача – это успешная сдача итоговой аттестации, ЕНТ и поступление в ВУЗ. В числе обязательных предметов при сдаче государственного экзамена стоит математика. Математика – точная наука, она требует усердия, внимательности и сообразительности. Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик.

Выучить это все не так-то просто, необходимо также уметь применять свои знания. Я выяснила, что в предложенном национальным центром тестирования пособие по предмету «математика» содержится около 25% заданий, решаемых с помощью квадратного уравнения или сводимых к нему.

А это значит, что эффективное и удобное использование метода «переброски» поможет значительно сократить время при решении тестирования. Но чаще всего ученик использует формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения.

Но зачем идти трудным путем, когда есть легкое решение?! Необходимо рассмотреть метод «переброски», который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы обратной теореме Виета.

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1)умножаем обе части на выражение:

Радиальное уравнение - в помощь студенту Радиальное уравнение - в помощь студенту

2)вводим новую переменную y=ax:

Радиальное уравнение - в помощь студенту

  • Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .
  • Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.
  • Пример1:Решить уравнение 3х2 + 10x + 7 = 0.
  • Решение.
  • Найдем дискриминант по формуле:
  • D = b2 – 4ac
  • D = 100 – 4 * 3 * 7= 16
  • Найдем корни квадратного уравнения по формуле:
  • х1,2 = (-b ± √D) / 2a
  • x1,2 = (-10 ± √16) / 2*3; x1= -7/3; x2 = -1;
  • Выполним «переброску» и решим это же уравнение с помощью теоремы обратной теореме Виета:
  • y2 + 10y + 3 · 7 = 0;
  • y2 + 10y + 21 = 0.
  • По теореме обратной теореме Виета:
  • у1+у2 = -10;
  • у1*y2 = 21.
  • у1 = -7; y2 = -3;

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 3. Получим:

  1. х1 = -7/3; x2 = -3/3.
  2. После сокращения будем иметь x1 = -7/3; x2 = -1.
  3. Ответ: -7/3; -1.
  4. Пример 2: Решить уравнение √3×2 – 5x – √12 = 0.
  5. Решение.
  6. По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:
  7. у2 – 5y – √12 · √3 = 0;
  8. y2 – 5y – 6 = 0.
  9. Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.
  10. у1+у2 = 5;
  11. у1*y2 = -6.
  12. у1=6; y2=-1
  13. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:
  14. х1= 6/√3; x2 = -1/√3.
  15. В знаменателе уберем иррациональность. Получим:
  16. x1 = 2√3; x2 = -√3/3.
  17. Ответ: 2√3; -√3/3.
  18. Пример 3: Решите квадратное неравенство: 5×2 – 11x +2 › 0
  19. Решение:

Рассмотрим функцию y=5×2 – 11x +2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x. Для этого решим уравнение 5×2 – 11x +2 =0.

  • Применим метод «переброски».
  • y2 — 11y + 10 =0
  • y1 = 10; y2 = 1;
  • Получим:
  • x1 = 10/5 =2; x2 = 1/5 = 0,2.
  • Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны 2 и 0,2.
  • Покажем схематически, как расположена парабола на числовой прямой
  • + +
  • 0,2 2 x
  • Ответ: (-∞; 0,2) ᵁ (2; +∞).
  • Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение 3sin2x – 7sinx + 4 = 0.
  • Решение:
  • 3sin2x – 7sinx + 4 = 0
  • Введем замену.
  • sinx = t
  • 3t2 – 7t + 4= 0
  • Применим метод «переброски».
  • y2 — 7y+ 12 =0
  • y1=4; y2= 3;
  • t1 = 4/3; t2 =1;
  • 1) sinx= 4/3;

нет решения, т.к. sinxне принадлежит отрезку [-1;1]

  1. 2) sinx=1;
  2. x= π/2 + 2πn; nϵz.
  3. Ответ: x= π/2 + 2πn; n ϵ z
  4. Пример 5: Решить уравнение 4271×2 – 4272x + 1 = 0.
  5. Решение.

По рассматриваемому методу нам необходимо найти числа, сумма которых равна 4272, а произведение 4271 (после «переброски» свободный член равен 1 · 4271 = 4271). Это будут числа 4271 и 1. Тогда получим:

  • x1 = 4271/4271; x2 = 1/4271.
  • А после сокращения будем иметь корни x1 = 1; x2 = 1/4271.
  • Ответ: 1; 1/4271.
  • Пример 6: Решить уравнение 5sin2x – 8sinxcosx + 3cos2x = 0.
  • Данное уравнение является однородным, разделим всё уравнение на cos2x (cos2x≠0).
  • Получим уравнение:
  • 5tg2x – 8tgx + 3 = 0
  • Заменяем tgx на tи получаем уравнение:
  • 5t2 – 8t + 3 = 0
  • Применим метод «переброски»:
  • у2 – 8у+ 15 = 0
  • Найдем корни квадратного уравнения:
  • у1= 3; у2=5.
  • Следовательно,t1= 3/5; t2=5/5=1.
  • Вернемся к постановке
  • 1) tgx=3/5;
  • x = arctg3/5 + πn; n ϵ z.
  • 2) tgx=1;
  • x = π/4 + πn; n ϵ z.
  • Ответ: x = arctg3/5 + πn; n ϵ z,
  • x = π/4 + πn; nϵz.
  • Пример 7: Дана функция y = 2×2-3x+1. Найдите:
  • a) нули функции;
  • b) промежутки в которых y>0, y
  • Чтобы найти нули функции, приравняем данный квадратный трехчлен к нулю и найдем его корни.
  • 2×2-3x+1=0
  • Применим метод «переброски»:
  • у2-3у + 2 =0
  • у1= 2; у2=1, тогда
  • х1 =2/2=1; х2 =1/2 = 0,5.
  • Нули функции: х1=1; х2 = 0,5.
  • Старший коэффициент функции равен 2, а>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞),
  • y
  • Рассмотренный метод «переброски» очень эффективен при решении задач и уравнений, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта.
  • Но следует отметить, что этот метод легко применять тем ученикам, которые быстро справляются с решением приведенных уравнений с применением теоремы обратной теореме Виета.
  • Литература:
  1. «Алгебра» 8 класс – А. Абылкасымова, 2008г. (стр.39-50)
  2. www.tutoronline.ru
  3. «Алгебра» 9 класс Ю. Макарычев, Н. Миндюк, 1990г. (стр. 39-40)
  4. «Алгебра» 8 класс А.Н. Шыныбеков, 2004г. (стр. 83-85)

Основные термины (генерируются автоматически): квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь теоремы.

Источник: https://moluch.ru/archive/111/27959/

Основные методы решения практических задач в курсе уравнения математической физики, Кудряшов С.Н., Радченко Т.Н., 2011

  • Книги и учебники →
  • Книги по математике

Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Основные методы решения практических задач в курсе уравнения математической физики, Кудряшов С.Н., Радченко Т.Н., 2011.

  Данное учебное пособие является результатом значительной переработки четырех методических указаний А.Д. Алексеева, Т. Н. Радченко, В. С. Рогожина и Э. Г. Хасабова. опубликованных в УПЛ РГУ в 1992 году. Добавлено много новых задач, приведены подробные решения стандартных задач. Расширена теоретическая часть.

Пособие будет полезно при изучении теоретического курса «Уравнения математической физики» студентами факультета математики, механики и компьютерных наук, физического факультета и факультета высоких технологий.Радиальное уравнение - в помощь студенту

  • Общее решение линейного уравнения второго порядка в частных производных.
  • Оглавление
  • Глава I. Метод характеристик

Уравнение (1.1), будучи приведенным к каноническому виду, может иметь простое выражение, а в некоторых случаях и проинтегрировано, другими словами, можно записать общее решение. Под общим решением уравнения с частными производными второго порядка понимаем выражение, содержащее две произвольные, достаточно гладкие, независимые функции определенных аргументов, которое обращает данное уравнение в тождество.Заметим, что класс уравнений, для которых можно найти общие решения в явном виде, небогат представителями. Все уравнения эллиптического типа (если решение ищется в действительной области) исключаются. Приведем простейшие примеры интегрирования уравнений гиперболического типа.Предисловие §1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка §2. Общее решение линейного уравнения второго порядка в частных производных §3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка §4. Задачи с данными на характеристиках Задачи

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

§1. Уравнение колебания струны §2. Уравнение продольных колебаний стержня §3. Общая схема метода Фурье §4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением §5. Неоднородные задачи 5.1. Стационарная неоднородность 5.2. Неоднородные задачи со специальными неоднородностями5.3. Вынужденные колебания физических объектов с неоднородностями общего вида §6. Задача о колебании прямоугольной мембраны Задачи

Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

§1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи §2. Краевые условия §3. Теплопроводность шарообразных тел с центральносимметричным распределением температуры Задачи

  1. Глава IV. Уравнения эллиптического типа
  2. Глава V. Метод интегральных преобразований
  3. Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя

§1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве и на плоскости §2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике §3. Краевые задачи в круговых областях для уравненийЛапласа и Пуассона Задачи §1. Преобразование Фурье и его свойства §2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня §3. Синус-, косинус-преобразования Фурье 3.1. Косинус-преобразование Фурье 3.2. Синус-преобразование Фурье §4. Преобразование Лапласа 4.1. Функция-оригинал. Функция-изображение 4.2. Основные свойства преобразования Лапласа 4.3. Таблица изображений 4.4. Определение функции-оригинала по известному изображению Задачи §1. Введение в теорию функций Бесселя 1.1. Радиальные колебания круглой мембраны 1.2. Задача о малых колебаниях тяжелой нити Задачи Ответы к задачамОтветы к задачам главы I Ответы к задачам главы II Ответы к задачам главы III Ответы к задачам главы IV Ответы к задачам главы V Ответы к задачам главы VI Литература.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Основные методы решения практических задач в курсе уравнения математической физики, Кудряшов С.Н., Радченко Т.Н., 2011 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать — djvu — Яндекс.Диск.

19.05.2015 13:03 UTC

Источник: https://obuchalka.org/2015051984866/osnovnie-metodi-resheniya-prakticheskih-zadach-v-kurse-uravneniya-matematicheskoi-fiziki-kudryashov-s-n-radchenko-t-n-2011.html

ПОИСК

    Решения 0-уравнения и радиального уравнения, к сожалению, не так просты, как решение Ф-уравнения. Однако иногда 0-уравнению придают форму, которая была известна в математике за много лет до появления квантовой механики.

Это частное уравнение, называемое уравнением Лежандра, имеет нормированное решение [c.65]

    Во-вторых, используя тот же подход, который применялся для магнитного квантового числа, можно отметить новое ограничение для квантового числа /.

Из нормирующего множителя решения радиального уравнения ясно, что член (п — / — 1) требует, чтобы максимальное значение I было равно (п — 1). Если бы I могло принимать большие значения, то в результате получился бы факториал отрицательного числа.

Итак, квантовое число I ограничено значениями / = О, 1, 2,. .. п — 1). [c.67]

    При описании энергетических состояний водородоподобного атома величина энергии входит только в радиальное уравнение и, следовательно, его энергетическое состояние можно узнать, решив это уравнение. По определению, потенциальная энергия электрона по отношению к ядру равна О, когда эти две частицы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга номере приближения электрона к ядру значение потенциальной энергии становится все более и более отрицательным. Следовательно, энергия электрона отрицательна, и поэтому нас прежде всего будут интересовать отрицательные энергетические состояния. Если рассмотреть только отрицательные состояния, то можно показать, что разрешенные значения энергии электрона задаются уравнением [c.69]

    Нормированные решения 0-уравнения, так же как и радиального уравнения, в общем случае достаточно сложны. Однако они зна- [c.73]

    Как было показано при рассмотрении атома водорода, энергия входит только в радиальное уравнение, поэтому следует принимать во внимание радиальную часть оператора Лапласа. В сферических координатах эта часть равна [c.140]

    Перейдите в системе а. е. от радиального уравнения для водородоподобных систем к одномерному волновому Р-уравне-нию, используя замену P r) = rR r). [c.23]

    Следовательно, уравнение (13), если его вновь поделить на sin имеет в качестве решений собственные функции 0 (i ), даваемые равенством (18), а собственными его значениями служат X = /(/ + 1)/2ц. Эти же значения X входят и в радиальное уравнение (10). [c.87]

    Угловые части волновых функций, как показывает предшествующее рассмотрение, не зависят от того, есть ли дискретный (или непрерывный) спектр у конкретной задачи. Определяющую роль здесь играет лишь потенциал радиального уравнения  [c.89]

    Пусть решение радиального уравнения (14) ищется в [c.92]

    Предположим, что радиальное уравнение (14) решается при 1 = 0 (т.е. при X = 0) с потенциалом V(r) = О при О s г < и V r) = 00 при г (так называемая сферическая потенциальная яма). Найти решения и сравнить получаемые результаты с тем, что было найдено для одномерной задачи с прямоугольным ящиком. [c.92]

    Уравнение (5) и его решения детально изучены в 1 и 2. Остается рассмотреть решения так называемого радиального уравнения (4). [c.111]

    Возвращаясь последовательно к решениям радиального уравнения (4), мы видим, что они представляются в виде [c.112]

    Метод самосогласованного поля Рассмотрим N-электронный атом. РадиальНов уравнение для i-го [c.42]

    В этих обозначениях радиальное уравнение принимает вид [c.206]

Читайте также:  Оцифровка - в помощь студенту

    Нормированные решения радиального уравнения (6.9) равны [c.207]

    Общее решение радиального уравнения (6.9) для кулоновской задачи при малых г ведет себя как [c.209]

    Подставляя (26.18) в (26.14), нетрудно получить радиальное уравнение для определения / (г). Это уравнение отличается от радиального уравнения первого приближения (уравнения Паули) [c.293]

    Легко видеть, что состояниям /=/- -у и у=/— соответствуют различные уровни энергии. Это следует хотя бы из того, что радиальные уравнения для этих состояний различны. [c.293]

    Квазиклассическое приближение. Как уже отмечалось выше, нахождение точных фаз рассеяния в общем случае представляет собой сравнительно сложную задачу, так как требует численного решения радиального уравнения (41.12).

Эта задача существенно упрощается в квазиклассическом приближении. В этом приближении радиальная часть волновой функции для частицы с моментом I в центрально-симметрическом поле и г) имеет вид [c.

564]

    Существенное усложнение вывода радиальных уравнений возникает ввиду необходимости учета возможной неортогональности одноэлектронных функций. Полный учет неортогональности делает уравнения в общем случае совершенно необозримыми, вследствие чего приходится делать некоторые дополнительные упрощающие предположения. [c.586]

    С другой стороны, самосогласованное (т. е. усредненное по движению) поле электрона в состоянии непрерывного спектра равно нулю. Следовательно, атомные волновые функции можно определить независимо от внешнего электрона.

Другими словами, при решении задачи о столкновении электрона с атомом можно считать атомные волновые функции заданными заранее. В систему радиальных уравнений теории столкновений входят лишь уравнения для волновых функций внешнего электрона.

[c.594]

    Таким образом, для вывода радиальных уравнений необходимо вычислить матричный элемент 1 Ч г > == . [c.595]

    Для упрош.ения вывода и окончательного вида радиальных уравнений сделаем следующие допущения  [c.595]

    Вообще говоря, при применении вариационного принципа к состояниям непрерывного спектра возникает ряд дополнительных вопросов более общего порядка. Мы не будем на них останавливаться, поскольку они малосущественны для конкретного вывода радиальных уравнений теории столкновений. [c.595]

    Интегральные радиальные уравнения. Для исследования системы уравнений теории столкновений, а в некоторых случаях и для ее численного решения можно перейти от уравнений (43.39) к системе интегральных уравнений. Этот переход осуществляется путем формального решения уравнений с помощью функции Грина 0(г, г ), удовлетворяющей уравнению [c.598]

    Эти выражения были впервые получены Уленбеком и Бетом [39] и Гроппером [40]. В (2.

106) Япг —энергия связи возможного предельного состояния для данного I, которая должна быть получена из решения радиального волнового уравнения для отрицательных энергий (обычно численным интегрированием).

Величина т]г под знаком интеграла представляет собой фазовый сдвиг, определяемый из решения радиального уравнения для положительных энергий (обычно также численным интегрированием), и V.

— волновое число относительного движения, связанное с кинетической энергией этого движения как y. = lv h или Л2>с2 = 2р, , где р. — приведенная масса сталкивающихся пар. Другими словами, величины Еп1 и г]г(к) определяются решением следующего дифференциального уравнения для каждого значения 1.  [c.51]

    Осталось решить еще радиальное уравнение (2-43). Оно, как и 0-уравнение, может быть приведено к виду, который давно известен в математике. Это частное уравнение является уравнением Лягерра,2.и его нормированным решением будет [c.66]

    Слагаемые в квадратных скобках соответствуют к1швтической, центробежной, потенциальной и полной энергии. Радиальное уравнение отражает всю специфику конкретного атома. Потенциал и(г) согласно [c.14]

    Для чисто кулоновского поля и(г) = -р можно получить аналитическое решв1ше радиального уравнения в виде (с[c.18]

    Здесь (2, г) —осевая и радиальная координаты 1/ , V,.

, Уе — компоненты скорости в осевом, радиальном и азимутальном направлениях р, р, Т — термодинамические переменные (давление, плотность, температура) вязкость (х, теплопроводность к и теплоемкость при постоянном объеме Су принимают постоянными.

Заметим, что в уравнениях движения влияние сжимаемости газа на вязкие напряжения учитывают с помощью слагаемого (1/3)ё1 У и что влиянием гравитационных сил пренебрегают.

Член VI /г в радиальном уравнении движения и член У,У /г в азимутальном уравнении представляют собой соответственно центро-белсилу Кориолиса. Член (рё1уУ) в уравнении энергии представляет собой обратимую работу сжатия или расширения газа, а член фу15с — вязкую диссипацию энергии. Последнее уравнение выражает закон идеального газа, в котором М — молярная масса Р — универсальная газовая постоянная. [c.186]

    Охватываемый материал является в целом довольно традиционным, ио имеет и некоторые особенности. Поскольку качественные объяснения могут привести к неверным представлениям, ряд тем, которые нередко рассматриваются во вводных курсах на качественном уровне, здесь излолсены подробнее (например, принцип Паули).

В то же время при изложении других тем (как, например, решение радиального уравнения Шредингера для атома водорода) мы сочли возможным ограничиться формальным подходом. В подобных случаях мы отсылаем читателя к изданиям, в которых содержится более полное изложение вопроса.

Простые примеиеиия формальных представлений даются ие только в основном тексте, но и в задачах, завершающих кал[c.7]

    Исходными в методе Гельфанда — Левитана являются ие фазовые сдвиги б , а так называемая спектральная функция р (Е). Вследствие полноты системы волновых функций дискретного и непрерывного спектра радиального уравнения Шредипгера с потенциалом V (г), имеет место соотношение полноты [c.261]

    Каждое из этих уравнений представляет собой радиальное уравнение для электрона в самосогласованном центрально-симметрическом поле, создаваемом ядром и всеми остальными электронами атома. Система уравнений (21.40) была предложена Хартри, который основывался на наглядном представлении о самосогласовании вз модействия электронов.

Эти уравнения часто называют уравнениями самосогласованного поля без обмена. Надо подчеркнуть, что уравнения Хартри отличаются от уравнений Фока не только тем, что в них не учитывается обменное взаимодействие. Уравнения (21.40) не содержат мультипольного взаимодействия, поэтому эти уравнения одинаковы для всех термов рассматриваемой конфигурации.

[c.248]

    С другой стороны, уравнение Шредингера для частицы в центральносимметрическом поле имеет решения Rki[r)Yim[ , ф), причем при больших значениях г радиальная функция Rki, удовлетворяюш.ая радиальному уравнению [c.560]

    Радиальные уравнения. В предыдущем разделе было дано выражение для эффективных сечений через матрицу Т. Элементы этой матрицы можно было бы вычислить методами теории возмущений. Однако этот путь не всегда удобен и, кроме того, часто является совершенно недостаточным.

Другая возможность состоит в вычислении радиальных волновых функций / г°(г). Тогда матричные элементы Ггго определяются граничными условиями (43.14).

Функции являются решениями радиальных уравнений, которые можно вывести с помощью вариационного принципа аналогично выводу уравнений Хартри — Фока для состояний дискретного спектра. [c.594]

    Радиальные уравнения (43.39) надо дополнить граничными условиями. При г=0 все Рг(0)=0. Что касается условий на бесконеч ности, то они зависят от знака [c.597]

  •     Во втором случае функция, списываюихая упругое рассеяние, уточняется путем решения радиального уравнения Шредингера с поляризационным потенциалом [c.608]

Источник: https://www.chem21.info/info/92448/

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Cтраница 1

Решение радиального уравнения ( 3) строится стандартным СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРј СЃ помощью функций Грина.  [1]

Р�так, решение радиального уравнения (7.7) найдено.  [2]

Проследим за принципиальными этапами решений радиального уравнения.

Прежде чем искать функцию R ( СЂ) РІ РІРёРґРµ степенного СЂСЏРґР°, обеспечим достаточно хорошее поведение решения РїСЂРё СЂ — — РѕРѕ: нужно, чтобы R ( СЂ) стремилось Рє нулю.  [3]

  • После того как РјС‹ нашли решение радиального уравнения, выразив его через функции Бесселя, естественно, возникает РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ том, РІ каком смысле можно считать функции Бесселя ортогональной полной системой.  [4]
  • Для волн малых частот McoCl решения радиального уравнения можно построить аналитически [95, 96] СЃ помощью склейки приближенных решений, справедливых РІ окрестности особых точек.  [5]
  • Как Рё РІ случае 6-уравнения, решение радиального уравнения РїРѕ форме довольно сложно.  [6]
  • Как Рё РІ случае РІ-уравнения, решение радиального уравнения РїРѕ форме довольно сложно.  [7]

В прошлом вариационные методы широко использовались также для решения радиальных уравнений.

Теперь это направление стало менее актуальным, так как СЃ появлением электронных счетных машин задача численного интегрирования обыкновенных дифференциальных Рё интегро-дифференци-альных уравнений стала сравнительно несложной.  [8]

Вблизи горизонта ( 117) является суперпозицией выходящей Рё входящей волн, причем амплитуда падающей РЅР° черную дыру волны ( второе слагаемое) РІ соответствии СЃ общими свойствами решений радиального уравнения ( СЃРј. ( 84)) стремится Рє нулю. Первый член РІ ( 117) — волна, выходящая РёР· черной дыры. Р’ результате РћРЁР�БКР� ( 111) Рё ( 114) РїСЂРё Рі С… 1, РЈ 1, Р° затем ( 114) Рё ( 117) РїСЂРё Сѓ 1, С… 1 последовательно определяем постоянные РЎ, Cz, Рђ, Р’.  [9]

Для построения решений, регулярных вблизи нуля, выражение для Р¤ ( С…) надо домножить РЅР° С… Р  ( С…), РіРґРµ Р  ( С…) — некоторая функция, определяемая СЃ помощью так называемой вырожденной гипергеометрической функции. Полученное таким образом решение радиального уравнения будет непрерывным вместе СЃРѕ своей первой РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРЅРѕР№ Рё конечным. Эти функции отвечают несвязанным состояниям: РіРѕРІРѕСЂСЏ языком классической теории, кинетическая энергия электрона настолько велика, что РѕРЅ лишь рассеивается силовым центром.  [10]

Р’ этом уравнении СЂ ( 2Z / na0) r, a0 / t2 / 4jt2 [ ie2 Рё L Hj1 ( p) представляет СЃРѕР±РѕР№ присоединенный полином Лягерра. Как Рё РІ случае 9-уравнения, решение радиального уравнения РїРѕ форме довольно сложно.  [11]

Р�Р· этого соотношения РјС‹ можем найти значения всех коэффициентов РІ рядах, выраженные через первый коэффициент Р° ( 1, который остается произвольной постоянной. Таким образом, РІ принципе найдены решения радиального уравнения.  [12]

Р’ этом уравнении СЂ ( 2Z / na0) r, Р°0 / 12 / 4СЏ2це2 Рё 1 ( СЂ) представляет СЃРѕР±РѕР№ присоединенный полином Лягерра. Как Рё РІ случае 6-уравнения, решение радиального уравнения РїРѕ форме довольно сложно.  [13]

В этом уравнении р ( 2Z / na0) r, а0 / г2 / 4я2 ( ге2 и L i ( p) представляет собой присоединенный полином Лягерра.

Как и в случае 6-уравнения, вид решения радиального уравнения довольно сложен, однако полезные выводы из него можно сделать.

Как отношение Рє радиальной волновой функции, которая определяет положение электрона относительно СЏРґСЂР°, так Рё сходство РІ ограничениях показывают, что Рї — это квантовомеханический аналог главного квантового числа РІ теории Бора.  [14]

Р�ндекс J Сѓ M дан для того, чтобы СЏРІРЅРѕ указать, что Р› относится Рє определенному J. Ер v, L, m являются решениями радиальных уравнений.  [15]

Страницы:      1    2

Источник: https://www.ngpedia.ru/id400681p1.html

Исследовательская работа "Алгебраические уравнения высших степеней" • Наука и образование ONLINE

Гаврилова Диана Михайловна
Место работы/учебы (аффилиация): МБОУ Средняя общеобразовательная школа №69 с углубленным изучением отдельных предметов г. Ижевска, 9 класс
Научный руководитель: Коновалова Ольга Викторовна

Аннотация:

Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач.

Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике.

 В этом году мне, как ученице 9 класса, предстоит написать основной государственный экзамен по математике, где во второй части встречаются уравнения высших степеней. Я думаю, что данная тема актуальна тем, что она может пригодиться как ученикам 9, так и 11 классов.

  • Гипотеза: не существует универсальный способ решения для всех видов уравнений высших степеней.
  • Цель моего исследования: подробно изучить алгебраические уравнения высших степеней и выявить наиболее интересные и практичные способы решения.
  • Объект моего исследования: уравнения высших степеней
  • Для достижения цели исследования я поставила перед собой следующие  задачи:
  1. Изучить исторические сведения об уравнениях высших степеней;
  2. Рассмотреть различные способы решения данных уравнений;
  3. Научиться решать алгебраические уравнения высших степеней;
  4. Составить алгоритмы решения данных уравнений.

Выводы:

  1. Занимаясь изучением своей темы, я узнала много интересного об алгебраических уравнениях высших степеней, изучила их историю, рассмотрела методы решения.
  2. Исследую разные методы решения уравнений, я узнала их признаки и особенности. Я выполнила поставленные мною задачи. Во-первых, я изучила исторические сведения об уравнениях высших степеней. Во-вторых, рассмотрела различные способы решения данных уравнений. В-третьих, научилась решать алгебраические уравнения высших степеней. И, в-четвертых, составила алгоритмы решения данных уравнений. Больше всего мне понравилось решать уравнения с помощью схемы Горнера.
  3. И главное, я выполнила цель работы — подробно изучила алгебраические уравнения высших степеней и выявила наиболее интересные и практичные способы решения. Я рассмотрела много способов решения уравнений высших степеней, но для себя выявила только несколько. Т.к некоторые из решений мне были не понятны. Например, решение с помощью метода Феррари я не смогла выполнить, потому что этот материал пока сложен мне для понимания.
  4. Рассмотренные мною методы имеют свои особенности и могут подойти не для всех видов уравнений высших степеней, т.е. выдвинутая гипотеза полностью доказана.
  5. Я считаю, что теорема Виета — достаточно простой способ решения, но требующий много времени и вычислений. Формула Кардано — слишком громоздкая, поэтому на практике используется редко. А теорема Безу и схема Горнера — наиболее практичные и экономичные методы решения, которые смогут помочь на ОГЭ и ЕГЭ.

Содержание работы:

Если прикрепленный файл не отображается, перегрузите, пожалуйста, страницу Исследовательская работа «Физика бумажных самолетов»

Учебная дисциплина: Физика Область исследования: Аэродинамика  Предмет исследования: Бумажный самолет Актуальность: Основываясь на моей работе учащиеся смогут проще понимать физику самолетов (аэродинамику) на примере маленьких бумажных моделей. Гипотез …

Исследовательская работа “Нумерология, траектория нашей жизни”

Великий философ сделал массу открытий, изменивших наш мир. А жил Пифагор в те времена, когда и часов-то не было, не говоря уже о современных технологиях. Следовательно, дело не в технических знаниях, а в способах мышления, которые человек развивает у с …

Источник: https://eee-science.ru/item-work/2019-1715/

Ссылка на основную публикацию