Периодические десятичные дроби — в помощь студенту

  • Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:
  • 0,66666666666666…
  • 0,33333333333333…
  • 0,68181818181818…

Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Получаем периодическую дробь

Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Итак, делим 1 на 3

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.

Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Культура древнего египта - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
  1. В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:
  2. 0, (3)
  3. Читается как «ноль целых и три в периоде»
  4. Пример 2. Разделить 5 на 11

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

  • 0, (45)
  • Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»
  • Пример 3. Разделить 15 на 13

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

  1. 1, (153846)
  2. Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».
  3. Пример 4. Разделить 471 на 900

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

  • В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2.  Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
  • 0, 52 (3)
  • Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

Виды периодических дробей

  1. Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.
  2. Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой.

    Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

  3. 0, (3)
  4. 0, (6)
  5. 0, (5)
  6. Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

  7. Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной.

    Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:

  8. 0,52 (3)
  9. 0,16 (5)
  10. 0,31 (6)
  11. Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

  • Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33
  • 0, (3) ≈ 0,33
  • Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.
  • Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

  1. Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.
  2. Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом,  количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

  • В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:
  • Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Получили обыкновенную дробь  .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

 Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

  1. В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:
  2. Полученную дробь    можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается 

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Итак, записываем в числителе разность:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

  • А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)
  • В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

  1. Получили выражение, которое вычисляется легко:
  2. Получили ответ 
  3. Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается
  4. Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь
  5. Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
  6. Итак, записываем в числителе разность:
  7. А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)
  8. В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

  • Получили выражение, которое вычисляется легко:
  • Получили ответ  
  • Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается 

Источник: http://spacemath.xyz/periodicheskie_drobi/

Периодические десятичные дроби

10 февраля 2012

Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби»)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:

  1. Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
  2. Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом — в настоящем решении так делать не обязательно.

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа. Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей».

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

  1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
  2. В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

  1. Сначала разделится целая часть, если она есть;
  2. Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
  3. Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 … = 1,7(3).

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

В итоге получается дробь: 0,5833 … = 0,58(3).

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Записываем в нормальном виде: 4,0909 … = 4,(09).

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Получаем дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc(a1b1c1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

  1. Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k;
  2. Найдите значение выражения X · 10k. Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
  3. Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
  4. В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

  • 9,(6);
  • 32,(39);
  • 0,30(5);
  • 0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 …

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10k = 101 = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 … = 96,666 …

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10X − X = 96,666 … − 9,666 … = 96 − 9 = 87; 9X = 87; X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 …

Период k = 2, поэтому умножаем все на 10k = 102 = 100:

100X = 100 · 32,393939 … = 3239,3939 …

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100X − X = 3239,3939 … − 32,3939 … = 3239 − 32 = 3207; 99X = 3207; X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 … Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10k = 101 = 10;

10X = 10 · 0,30555 … = 3,05555 … 10X − X = 3,0555 … − 0,305555 … = 2,75 = 11/4; 9X = 11/4; X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 … Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10k = 104 = 10 000; 10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 … 10 000X − X = 2475,2475 … − 0,2475 2475 … = 2475; 9999X = 2475; X = 2475 : 9999 = 25/101.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/circulator/

Периодическая дробь

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную Найти репетитора Поддержать сайт

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Например, если делить 2 на 3, то сначала получим ноль целых, потом шесть десятых, а затем при делении всё время будет повторяться остаток 2, а в частном — цифра 6.

Такое деление закончить без остатка невозможно и поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Периодические десятичные дроби - в помощь студенту Запомните!

Если в записи десятичной дроби одна цифра или группа цифр начинают повторяться бесконечно много раз, такую дробь называют периодической дробью.

В краткой записи периодической дроби повторяющуюся цифру (или группу цифр) пишут в скобках. Эту цифру (или группу цифр) называют периодом дроби.

Вместо 0,666… пишут 0,(6) и читают «ноль целых и шесть в периоде».

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Периодическую бесконечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь.

Рассмотрим периодическую дробь 10,0219(37)

  • Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву «k». У нас «k = 2».
  • Считаем количество цифр, стоящих после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву m. У нас «m = 4».
  • Записываем все цифры после запятой (включая цифры из периода) в виде натурального числа.Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой «a». a = 021937 = 21 937
  • Теперь записываем все цифры, стоящие после запятой, но до периода, в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой «b». b = 0219 = 219
  • Подставляем найденные значения в формулу, где «Y» — целая часть бесконечной периодической дроби. У нас «Y = 10». Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Итак, подставляем все найденные значения в формулу выше и получаем обыкновенную дробь. Полученный ответ всегда можно проверить на обычном калькуляторе.

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/circulating_decimal/circulating_decimal.php

Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями, бесконечные периодические десятичные дроби

Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби.

Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей.

Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34,21, 0,35035044, 0,0001, 11 231 552,9 и др.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5.67, 6789.1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей

Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Определение 1

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Для чего нам нужна запись дробей в такой форме? Она дает нам некоторые преимущества перед обыкновенными, например, более компактную запись, особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000, 100, 10 и др. или смешанное число. Например, вместо 610 мы можем указать 0,6, вместо 2510000 – 0, 0023, вместо 5123100 –  512,03.

О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.

Как правильно читать десятичные дроби

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись 0,14, которой соответствует 14100, читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56,002, которой соответствует 5621000, мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Что такое разряды в десятичных дробях

Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того, на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0,7 семерка – это десятые доли, в 0,0007 – десятитысячные, а в дроби 70 000,345 она означает семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Разберем пример.

Пример 1

У нас есть десятичная дробь 43,098. У нее в разряде десятков находится четверка, в разряде единиц тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – 9, тысячных – 8.

Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим.

Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые.

Если взять ту конечную десятичную дробь, которую мы приводили в качестве примера выше, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд 10-тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Пример 2

  • Попробуем разложить дробь 56,0455 по разрядам.
  • У нас получится:
  • 56,0455 =50+6+0,4+0,005+0,0005

Если мы вспомним свойства сложения, то сможем представить эту дробь и в других видах, например, как сумму 56+0,0455, или 56,0055+0,4 и др.

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:

Определение 1

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Примерами таких дробей могут быть 0,367, 3,7, 55,102567958, 231 032,49 и др.

Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части).

Тому, как это делается, мы посвятили отдельный материал.

Здесь просто укажем пару примеров: так, конечную десятичную дробь 5,63 мы можем привести к виду 563100, а 0,2 соответствует 210 (или любая другая равная ей дробь, например, 420 или 15.)

Но обратный процесс, т.е. запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда. Так, 513 нельзя заменить на равную дробь с знаменателем 100, 10 и др., значит, конечная десятичная дробь из нее не получится.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Определение 2

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть 0,143346732…, 3,1415989032…, 153,0245005…, 2,66666666666…, 69,748768152…. и т.д.

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Определение 3

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

К примеру, для дроби 3,444444…. периодом будет цифра 4, а для 76, 134134134134… – группа 134.

Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3,444444…. правильно будет записать как 3,(4), а 76, 134134134134…– как 76,(134).

В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь 0,677777 – это то же самое, что 0,6(7) и 0,6(77) и т.д. Также допустимы записи вида 0,67777(7), 0,67(7777) и др.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись 0,6(7), а, например, в случае с дробью 8,9134343434 будем писать 8,91(34).

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2, то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.

В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45,32. В периодическом виде она будет выглядеть как 45,32(0). Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9, например, 4,89 (9), 31,6(9).

Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом 0, поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом.

При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (0). Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

К примеру, дробь 8,31(9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8,32(0). Или 4,(9)=5,(0)=5.

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

Определение 4

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9,03003000300003… на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Основные действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.

Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным.

Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей.

Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.

Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме.

Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления.

Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.

Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.

Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.

Положение десятичных дробей на оси координат

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 1410 – это то же самое, что и 1,4, поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:

Периодические десятичные дроби - в помощь студенту

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15,4008, то мы предварительно представим это число в виде суммы 15+0,4+,0008.

Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15,4008.

Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко.

В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2=1,41421…

, и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от 0 на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью).

Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку.

После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Выше мы приводили рисунок с точкой M. Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1,4.

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/desjatichnye-drobi-opredelenija-zapis-primery-dejs/

Десятичная дробь

В данной статье мы с Вами разберемся, что такое десятичная дробь, какие у нее есть особенности и свойства. Поехали!

Источник: https://spadilo.ru/desyatichnaya-drob/

Задание 2. Бесконечные периодические десятичные дроби

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Бесконечные периодичкские десятичные дроби

 1. Обратите в обыкновенную дробь число:

  • 0,6(54).
  •  а)  36/53;      
     б)  36/55;     
  •  в)  33/53;      
     г
    33/55.
  •  2. Напишите обыкновенные дроби в виде
    десятичных периодических дробей
  • 1/3,  1/6,  7/11,  12/37,  57/225.
  • а)  0,(3),  0,1(6), 
    0,63(3),  0,324(324),  0,25(3);        
  •  б)  0,(3)(3), 
    0,16(6),  0,63(3),  0,324(324), 
    0,25(33);     
  •  в)  0,(3), 
    0,1(6),  0,(63),  0,(324), 
    0,25(3);    
  •  г)  0,3(3), 
    0,16(16),  0,63(63),  0,(324), 
    0,253(3).
  •  3. Напишите 
    десятичные периодические дроби в виде обыкновенных дробей:
  • 0,(1),  0,(8).

  •  а)  1/9,  88/99;      
     б)  11/99,  8/9;     
  •  в)  1/99,  8/99;      
     г)  1/9,   8/9.
  •  4. Сравнить числа:
  • 0,(2)  и  2/9, 
  • 0,11(12)  и  0,1112,   
  • 0,(32)  и  0,321.
  •  а)  0,(2) =  2/9,   0,11(12) > 0,1112,   0,(32) > 0,321;     
  •  б)  0,(2) >  2/9,   0,11(12) > 0,1112,   0,(32) > 0,321;     
  •  в)  0,(2) = 2/9,   0,11(12) = 0,1112,   0,(32) > 0,321;     
  •  г)  0,(2) = 2/9,   0,11(12) > 0,1112,   0,(32) = 0,321.
  • 5. Сравните дроби:       
  • 2/9   и   5/21.
  •  а)  2/9  < 5/21;      
  •  б)  2/9  = 5/21;
  •  в)  2/9  >
    5/21;     
  •  гсравнить
    нельзя
    .
  •  6. Сравните
    дроби:      
  • 0,4  и  1/3.
  •  асравнить
    нельзя
    ;      
  •  б)  0,4 < 1/3;
  •  в)  0,4 > 1/3;                        
  •  г)  0,4 = 1/3.

 7. Какую из приведённых обычных дробей нельзя
представить в виде конечной десятичной дроби ?

 а)  1/6;      
 б
1/16;     

 в)  1/4;      
 г
1/2.     

 8. Какое из приведённых чисел можно записать в
виде конечной десятичной дроби ?

  1.  а)  1/6;      
     б
    1/7;    
  2.  в)  1/9;      
     г
    1/8.
  3.  9. Напишите 
    десятичные периодические дроби в виде обыкновенных дробей:
  4. 0,(54),  0,(123).
  5.  а)   54/99;   123/999;     
  6.  б)  53/99;   123/999;
  7.  в)  54/99;   122/999;        
  8.  г)  54/99;   124/999.
  9. 10. Разместить
    десятичные дроби в порядке уменьшения:
  10. 2/3,  0,4,  2/5,  1/2,  19/30.    
  11.  а)  2/5,  0,4,  1/2,  2/3,  19/30;      
  12.  б)  2/3,  19/30,  1/2,  0,4,  2/5;    
  13.  в)   0,4,  19/30,  1/2,  2/3,  2/5;       
  14.  г)  2/5,  19/30,  1/2,  2/3,  0,4.

11. Какому из
данных промежутков принадлежит число ? 

  • 5/11.
  • а)  (0,3 –
    0,4);      
  •  б)  (0,4 – 0,5);
  •  в)  (0,5 – 0,6);  
        
  •  г)  (0,6 – 0,7).

12. Какую из
приведённых обычных дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби ?

 а)  2/3;           
 б)  14/15;     

 в)  17/200;      
 г
5/12.

Задания к уроку 20

Источник: https://krasavtsev.blogspot.com/2014/10/algebrayz182.html

Исследовательская работа «Десятичные дроби в повседневной жизни»

  • Исследовательская работа
  •  «Десятичные дроби в повседневной жизни»
  • Название проекта:     «Вездесущие десятичные дроби?»
  • Авторы и участники проекта:  ученики 5 в : Журавлёва Маша, Волкова Ксения, Москвичёва Алёна, Москвичёва Марина
  • Тема исследования группы: «Десятичные дроби в повседневной жизни»
  • Проблемные вопросы (вопросы для исследования): мы решили выяснить:
  • -Зачем мы изучаем десятичные дроби?
  • — В каких профессиях люди используют десятичные дроби?
  • Гипотезы исследования:
  • 1 Десятичные дроби нужно изучать, потому, что они  пригодятся в жизни;

 2. Люди многих профессий используют в своей работе десятичные дроби.

  1. Цель исследования: Выяснить для каких целей люди используют знание о десятичных дробях.
  2. Задачи исследования
  3.  1Выяснить как относятся учащиеся нашей школы к вопросу изучения десятичных дробей
  4. 2) Провести социологический опрос среди людей разных профессий.
  5. 3) Рассмотреть использование десятичных дробей в быту.
  6. Результаты исследования:
  7. Сначала мы составили анкету и провели опрос  и выяснили, что думают о десятичных дробях учащиеся нашей школы.
  8. Узнали, что  многие ученики  изучают десятичные дроби потому, что они пригодятся в жизни,  некоторые ребята  изучают их потому, что заставляют родители и лишь немногим нравится  работать  с десятичными  дробями, мы думаем это наши настоящие математики.
  9. Отрадно, что на вопрос о том  умеют ли ученики выполнять действия с десятичными дробями многие ответили утвердительно, некоторые сомневаются в своих познаниях,  и лишь немногие признались, что не умеют складывать, вычитать, умножать, делить десятичные дроби.

Мы попытались выяснить помогают ли десятичные дроби ученикам в повседневной жизни. Почти половина учеников  5-6 классов считают «не всегда», треть считают, что «нет», и лишь менее четверти предполагают, что дроби нужны в жизни.

У старшеклассников картина несколько  меняется,  сказали  «да» более трети,  «нет» чуть менее четверти,  «не всегда»  по прежнему считают  почти половина опрошенных.

 Мы провели опрос родителей и выяснили у них, что людям многих профессий требуются знания о десятичных дробях. Продавцу требуется взвешивать товар и рассчитывать стоимость покупок, а также правильно давать сдачу покупателю. Покупателю нужно  уметь проверять квитанции  и чеки из магазина, считать сдачу.

  •  Повару в его профессии нужно правильно рассчитать количество продуктов для приготовления блюда.
  • Бухгалтеру  нужны  десятичные дроби при  расчёте  зарплаты,  при вычете подоходного налога.
  • Врач должен правильно выписать лекарство пациенту.
  • Учитель не только учит детей, но и должен вести документацию, для заполнения которой тоже надо знать десятичные дроби.

Задача: У меня по  математике три пятерки и три четвёрки. Что поставить учителю? Как правильно поступить?

  1. 5 5 5 4 4 4 — скорее всего учитель поставит  4.
  2. Но учитель всегда действует в пользу ученика, поэтому на помощь придут десятичные дроби.
  3. Найдём среднее арифметическое: сложим отметки и разделим на их количество.
  4. 5+5+5+4+4+4=27
  5. 27:6=4,5
  6. Значит учитель может поставить 5.

Ура!!! Десятичным дробям!!

  • И всем-всем  знание десятичных дробей необходимо при расчёте семейного бюджета
  • Чаще всего родители используют десятичные дроби при вычислении стоимости ремонта: площади и периметра комнат, стоимости  строительных материалов.
  • Мы  договорились  решить  задачу связанную с ремонтом.
  • Мы внимательно посмотрели  на кабинет математики №24 и пришли к выводу, что  в этом кабинете нужно покрасить стены, потолки, парты, стулья.
  • Было  предложено решить следующую задачу:

 Ремонт. Сколько потребуется материалов для ремонта класса? Сколько нужно денег для того, чтобы отремонтировать класс?

Мы  принесли рулетки и все вместе принялись измерять наш кабинет. Оказалось, что это не так-то просто. Сначала мы  записывала результаты измерений в таблицы 

Мы разбились на 3 группы.

 Группа №1 Занялась измерением  ширины, длины и высоты кабинета, чтобы вычислить площадь стен и потолка. Мальчики измеряли, а девочки записывали величины и вычисляли площадь по формуле S=a*b.  Результаты  своих измерений и вычислений  они занесли в таблицу №1.

  1. Группа №2   Вычисляли площадь  окон и двери, чтобы потом эту площадь отнять от площади стен. Результаты в таблице №2
  2. Группа №3  Этой группе досталась самая трудоёмкая работа  — вычислить  площадь столов и стульев. Результаты  — таблица №3
  3. Затем  все  величины были переданы нашим математикам Журавлёвой М и Москвичёвой А.

Они подитожили всю нашу работу и составили смету с учётом того , что количество краски, требуемое для окрашивания стен или пола зависит от ее расхода. А еще мы выяснили, что красить надо в 2 слоя.

Расход краски составляет 200 г на 1 м2. Чтобы найти количество требуемой краски в кг надо умножить площадь поверхности на 0,2 кг.  

  • Таблица №4
  • Итак площадь которую нужно покрасить 114 м2    
  • Нужно купить приблизительно 46 кг краски для  этого нужно  5520 рублей    
  • Выводы:

Мы выяснили, что во многих профессиях используются десятичные дроби. Их используют врачи и медсестры, чтобы правильно назначить лечение пациенту. Водители высчитывают количество необходимого топлива и его стоимость.

Учителя, бухгалтера и экономисты готовят отчеты тоже с помощью десятичных дробей. Мы решили несколько задач, которые могли бы решать люди разных профессий и поняли, что хорошее знание десятичных дробей и умение с ними работать очень помогает в работе.

А значит и нам в жизни десятичные дроби очень даже пригодятся!

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/05/20/issledovatelskaya-rabota-desyatichnye-drobi

Ссылка на основную публикацию