Обыкновенные дроби — в помощь студенту

Из этой статьи вы узнаете:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

1 Что такое обыкновенные дроби. Виды дробей.
Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д.  Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Обыкновенные дроби - в помощь студенту
Обыкновенные дроби - в помощь студентуОбыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель. Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:

Любая дробь — это часть целого. За целое обычно принимают  1 (единицу).

Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1), а числитель — сколько частей взяли.

Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей ( в математике говорят долей ), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 .

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Монетаризм - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд  дроби записываются обычно так: 2/3,  1/2  и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть»
А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.

2 Виды обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные:

Правильная дробь

Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной, например:Обыкновенные дроби - в помощь студенту  Правильная дробь всегда меньше 1.

3 Преобразования дробей

В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления.

Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком).Полученное число будет целой частью, а остаток — числителем дробной части, например:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби».

Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1, например:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Поговорим о том, как сравнивать дроби.

4 Сравнение дробей

При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Сравнение смешанных и неправильных дробей с правильными дробями

Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Сравнение двух смешанных дробей

  • При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например:
  • Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например:

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем  сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше.

А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи.

 Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.

5 Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.

Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели. Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби.

У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом  не изменится:

  1. Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби:
  2. Сократить дробь — значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число(смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:
  3. Чаще же в тетради сокращают дробь так:

Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя. Пример:

  • Нужно сначала преобразовать сумму в множитель:
  • Иногда, при работе с большими числами,  для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)
  • Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.

Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь:

  1. Найдем НОД чисел 96 и 36:
  2. НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь.

Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей .Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак:

6 Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы  число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей.

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

  1. Разложить эти числа на простые множители
  2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
  3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
  4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК  обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

  • Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15.
  • 7 Сложение и вычитание дробей
  • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
  • Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
  • Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
  • Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью:
  • Пример 1:
  • Пример 2:
  • Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
  • Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части:
  • Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно:
  • Аналогично вычитаем из целого числа дробь:
  • Как сложить целое число и дробь
  • Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:
  • Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Сложение и вычитание дробей  с разными знаменателями

  1. Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители):
  2. При вычитании действуем аналогично:
  3. Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части:
  4. 8 Умножение и деление дробей.
  5. Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей:
  6. Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений  
  7. Например:
  8. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель:
  9. Например:
  10. При умножении смешанных дробей нужно сначала записать эти дроби в виде неправильных дробей, а затем умножать как обычно: числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель:
  11. Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере.
  12. Чтобы  разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений:
  13. Например:
  14. Деление дроби на дробь

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь?

Взаимно обратные числа и дроби.

Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами:

  • Например, числа — взаимно обратные, так как 
  • Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь:
  • Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:
  • Например:
  • При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби:
  • При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1.
  • И при делении целого числа на дробь  представляем это число в виде дроби со знаменателем 1:

Источник: http://kid-mama.ru/obyknovennye-drobi-konspekt/

Действия с дробями

Условимся считать, что под «действиями с дробями» на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь — это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель.

Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной.

У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики.

Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

  • Две дроби и называются равными, если .
  • Например, , так как
  • Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).
Читайте также:  Влияние растворителя на кислотно – основное равновесие - в помощь студенту

Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

;

.

Сокращение дробей

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Итак, сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

  1. Пример 1. Сократить дробь
  2. .
  3. Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен — 5xy в виде суммы — 2xy — 3xy, получим

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

В результате

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Приведение дробей к общему знаменателю

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

  • .
  • Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим
  • .
  • Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту Обыкновенные дроби - в помощь студенту

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

Обыкновенные дроби - в помощь студенту Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

  1. Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.
  2. Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.
  3. На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.
  4. Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Пример 2. Найти общий знаменатель дробей и .

Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен , так как он делится и на , и на . Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей.

Им может быть также многочлен , и многочлен , и многочлен и т.д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка.

Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.

  • В нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:
  • ;
  • .

Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя второй дроби — на . Многочлены и называются дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.

Сложение и вычитание дробей

  1. Сложение дробей определяется следующим образом:
  2. .
  3. Например,
  4. .
  5. Если b = d, то
  6. .
  7. Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,
  8. .

  9. Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,
  10. .
  11. На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.
  12. Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

  • 1) ;
  • 2) ;
  • 3) .
  • Наименьший общий знаменатель:
  • Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:
  • 1) 6;
  • 2) ;
  • 3) .
  • Результат этого умножения:
  • .
  • Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем
  • .

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей и равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя, т. е. .

Например,

.

Свойства пропорции

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т. е. если , то .

2. Из пропорции вытекают следующие пропорции: , , , то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний) член пропорции: и .

Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей

В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия со степенями и корнями Решение квадратных уравнений Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Источник: https://function-x.ru/parts.html

Обыкновенные дроби

  • Вопросы занятия:
  • ·  повторить понятие «обыкновенная дробь», виды обыкновенных дробей;
  • ·  повторить основное свойство дроби;
  • ·  вспомнить, как неправильную дробь можно представить в виде смешанной или целого числа, а также как смешанную дробь можно представить в виде неправильной;
  • ·  повторить порядок выполнения действий над обыкновенными дробями.
  •  Материал урока

Мы ранее рассматривали случаи, когда нельзя выполнить целочисленное деление. В таких ситуациях можно частное записать в виде дроби. Делимое тогда называют числителем, а делитель — знаменателем. Отделяет их друг от друга черта дроби.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Как вам известно выделяют правильные и неправильные обыкновенные дроби. Напомним их отличия.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Напомним основное свойство дроби.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, при этом значение дроби останется тем же.

Определение.

Умножение числителя и знаменателя на некоторое число называют приведением к новому знаменателю. Это позволяет приводить дроби к общему знаменателю.

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Определение.

Процесс деления числителя и знаменателя на некоторое число мы привыкли называть сокращением.

Обычно сократимую дробь сокращают на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Тем самым в итоге получают несократимую дробь. И к такому виду принято приводить все дроби, полученные в результате вычислений, прежде чем записать ответ. Дробь является несократимой, если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Пример.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

А теперь сократим дроби.

Пример.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

  1. Вам хорошо известно, что у любой неправильной дроби можно выделить целую часть.
  2. Напомним, как это можно сделать.
  3. Можно разделить числитель на знаменатель с остатком.
  4. Частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а исходный знаменатель — знаменателем дробной части.
  5. Так из неправильной дроби мы получим смешанную.
  6. Пример.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Далее вспомним правила сравнения обыкновенных дробей.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Если же у дробей разные числители и разные знаменатели, то пользуясь основным свойством дроби их можно привести или к равным знаменателям, или к равным числителям.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

В работе с дробями нужно уметь не только выделять целую часть у неправильных дробей, а ещё и представлять смешанные дроби в виде неправильных. Напомним, как это можно сделать.

Для этого в числитель записывают произведение целой части и знаменателя, увеличенного на числитель исходной дроби. Ну, а знаменатель оставляют тем же.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Пример.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

  • Далее подробнее поговорим о выполнении арифметических действий с дробями.
  • Складывая дроби с одинаковыми знаменателями, в числитель записываем сумму числителей, а знаменатель оставляем тем же.
  • Если же нужно сложить дроби с разными знаменателями, предварительно их нужно привести к общему и сложить полученные дроби.
  • Пример.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями проводят по аналогичному правилу. В числитель записывают разность числителей, а знаменатель оставляют тем же.

  1. Для вычитания дробей с разными знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем вычислить разность полученных дробей.
  2. Пример.
  3. Теперь поговорим об умножении дробей.
  4. Чтобы умножить дробь на число нужно только числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же.
  5. Произведением двух дробей является дробь, у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.
  6. К тому же вам известно, что, если среди дробей множителей есть смешанные дроби, то их нужно предварительно представить в виде неправильных.
  7. Пример.
  8. А теперь самое время вспомнить понятие взаимно обратных чисел.
  9. Определение.
  10. Взаимно обратными называют 2 числа, произведение которых равно единице.
  11. Например,
  12. Вернёмся к действиям с дробями и рассмотрим последнее — деление дробей.
  13. Прежде чем приступить к делению, смешанные дроби так же нужно представлять в виде неправильных, и далее пользоваться таким правилом.

Знак деления нужно заменить умножением и дробь-делитель заменить обратной ей дробью. А далее следовать по правилу умножения дробей.

  • Пример.
  • Пример.
  • Итоги урока
  • Подводя итоги урока, вспомним, какие вопросы мы на нём осветили.
  • Мы вспомнили, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными, а также повторили основное свойство дроби, которое позволяет сокращать дроби и приводить их к новому знаменателю.
  • Вспомнили, как неправильную дробь можно представить в виде смешанной или в виде целого числа, а также как смешанную дробь можно представить в виде неправильной.
  • И, освежив в памяти правила выполнения действий над обыкновенными дробями, мы применили их при вычислении значений выражений.

Источник: https://videouroki.net/video/3-obyknoviennyie-drobi.html

Обыкновенные дроби

Интерактивные уроки и тренажёры серии «Обыкновенные дроби» включают в себя весь материал школьной программы по обыкновенным (простым) дробям (учебники Н.Я.Виленкина и др – 5–6 классы, учебники Л.Г.Петерсон – 4–5 классы). Каждый урок представляет собой законченное изложение определённой темы, в котором сначала новый материал объясняется с использованием интерактивных анимаций, а затем в игровой форме проверяется качество его усвоения.

Основные понятия и определения, которые понадобятся при изучении раздела «обыкновенные дроби», вы также сможете найти здесь: делители и кратные, обыкновенные (простые) дроби, сложение и вычитание обыкновенных дробей, умножение и деление обыкновенных дробей.

Знания, полученные из интерактивных уроков, можно развить и закрепить при помощи тренажёров, количество заданий в которых не ограничено. Большое количество разнообразных тестов и задач, анимированные герои и занимательная форма подачи материала способствуют качественному усвоению знаний.

Обыкновенные дроби - в помощь студенту Демонстрационный урок «Делители и кратные» Обыкновенные дроби - в помощь студенту Демонстрационная самостоятельная работа «Разложение на простые множители»
  • В серии «Обыкновенные дроби» представлены следующие темы:
  • Первая часть каждого из уроков представляет собой объяснение нового материала с использованием различных примеров и игровых ситуаций.
  • Целью второй части урока является проверка того, насколько хорошо усвоена новая тема.

Для всех уроков, кроме уроков по решению задач, существуют специальные тренажеры. В них примеры генерируются «на лету», поэтому количество заданий неограниченно.

При решении заданий тренажера производится не только проверка: «Правильно»/«Неправильно», но и анализируются ошибки, сделанные ребенком.

При завершении работы с тренажером на экране появляется текст, помогающий понять свои слабые места и исправить сделанные ошибки.

Демонстрационный ролик

О наших уроках

Наши уроки серии «Обыкновенные дроби» — простой и увлекательный способ усвоения темы «Простые дроби» по математике (4 класс, 5 класс, 6 класс). Игровая форма подачи материала и красочные герои понравятся ребёнку и превратят уроки по Обыкновенным дробям в увлекательную игру!

Предлагаемые уроки и тренажёры включают весь материал школьной программы по обыкновенным дробям. Перечень уроков с рассмотренными темами:

Урок 1. Делители и кратные. Разложение на простые множители

  • Делители и кратные
  • Простые и составные числа
  • Разложение на простые множители

Урок 2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное

  • Наибольший общий делитель (НОД)
  • Взаимно простые числа
  • Наибольшее общее кратное (НОК)

Урок 3. Основное свойство дробей и правило сокращения дробей

  • Обыкновенные дроби
  • Основное свойство дробей
  • Сокращение дробей

Урок 4. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

  • Приведение дробей к общему знаменателю
  • Сравнение дробей

Урок 5. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

  • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Урок 6. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел

  • Смешанные числа
  • Сложение и вычитание смешанных чисел

Урок 7. Умножение и деление обыкновенных дробей

  • Умножение дробей на число
  • Умножение дроби на дробь
  • Деление дроби на число
  • Деление дробей на дробь

Урок 8. Задачи. Нахождение долей

Урок посвящён объяснению решения задач на нахождение долей.

Урок 9. Задачи. Нахождение дроби от числа

Урок посвящён объяснению решения задач на нахождение дроби от числа.

Урок 10. Задачи. Нахождение числа по его дроби

Урок посвящён объяснению решения задач на нахождение числа по его дроби.

Планируется выпуск уроков по темам:

  • Перевод обыкновенных дробей в десятичные
  • Перевод десятичных дробей в обыкновенные

После изучения нового материала по Обыкновенным дробям необходимо закрепить полученные знания на практике. Поэтому мы предлагаем специальные тренажёры, которые предусмотрены для всех уроков. Перечень тренажёров к урокам:

  • Тренажёр 1. Делители и кратные. Разложение на простые множители
  • Тренажёр 2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Тренажёр 3. Основное свойство дробей и правило сокращения дробей
  • Тренажёр 4. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей
  • Тренажёр 5. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателям
  • Тренажёр 6. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел
  • Тренажёр 7. Умножение и деление обыкновенных дробей

Количество заданий в тренажёрах неограниченно. При решении заданий анализируются ошибки, сделанные ребёнком. Сочетание обучающих уроков и тренажёров к урокам способствуют качественному усвоению знаний. Наши тренажёры — отличный тест, который поможет ребёнку закрепить тему «Обыкновенные дроби».

Читайте также:  Риск-менеджмент - в помощь студенту

На нашем сайте Вы можете скачать уроки «Обыкновенные дроби» (демо-версии), а также купить полную серию уроков. Наши интерактивные уроки — лёгкий и быстрый способ понять тему по обыкновенным дробям.

Учителям на заметку

  1. Интересные игры на уроках математики по теме «Обыкновенные дроби»
  2. Во всех представленных играх ученики делятся на 3 команды (Например, по рядам).

  3. Разминка перед играми

Учитель выдаёт на каждую команду коробку, в которой находятся два кружка синего и жёлтого цвета. Синий круг разделён на 12 равных частей, а жёлтый – на 6 равных частей.

По розданному материалу учитель задаёт несколько вопросов:

  • На сколько частей разделёны синий и жёлтый кружки?
  • Соберите из частей кружки одинакового цвета.
  • Какую часть синего кружка составляют 1/6 доли? Определить, какую часть жёлтого кружка составляют его 4/8 доли.
  • Найдите 1/4 часть синего кружка и 2/3 части жёлтого кружка и сравните полученные доли. (результат ученики записывают в тетради, а учитель на доске).
  • Что вы можете сказать о числах 2/3, 1/4, 2/6 и 3/12?

Игра «Солнышко»

На лучах солнышка записываются дроби, которые нужно складывать, вычитать, перемножать или делить с числом, записанным на солнышке. Команды учеников по очереди решают данные примеры и говорят ответ учителю. Правильный ответ приносит команде очко. Солнышко можно представить в таком виде:

Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Игра «Отгадай число»

Учитель загадывает любое дробное число. Команды учеников по очереди задают вопросы учителю, чтобы отгадать, какое число он задумал. Учитель может отвечать только: «Да», «Нет», «Не могу ответить».

Ученики задают вопросы следующего характера:

  • Это обыкновенная дробь?
  • В этом числе есть цифра ___?
  • Числитель этой дроби делится на ___?
  • Можно ли сократить эту дробь?

Игра «Самый быстрый»

Учитель озвучивает ученикам одно задание. Отвечает тот ученик, который первым поднимет руку. Если его ответ правильный, то ученик приносит своей команде очко.

Примеры заданий:

  • Задание 1: Сравните дроби
  • Задание 2: Назовите дроби в порядке возрастания
  • Задание 3: Выделите целую часть из неправильных дробей
  • Задание 4: Представить дробные числа в виде неправильных дробей
  • Задание 5: Решите уравнения с дробями

Игра «Цветик-семицветик»

На каждом лепестке цветика-семицветика написано по одному вопросу. Представитель команды выбирает один лепесточек и отвечает на вопрос, написанный на нём. Если ответ ученика правильный, то ученик приносит очко своей команде. Каждая команда учеников должна ответить на 3 вопроса.

Примеры вопросов на лепесточках:

  • Что показывают знаменатель и числитель дроби?
  • Какая дробь называется правильной?
  • Какая дробь равна единице?
  • Какая дробь больше единицы?
  • Как выделить целую часть из неправильных дробей?
  • Какая их двух дробей с равными знаменателями меньше?
  • Какая дробь называется неправильной?
  • Какое из двух чисел с одинаковыми знаменателями больше?
  • Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
  • Как из одной дроби вычесть другую, если знаменатели одинаковые?
  • Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями?
  • Дроби какого вида называются основными, единичными дробями?

Игра «Счетовод»

Ученики выбирают дома по 5-6 примеров по теме «Обыкновенные дроби» для устного счёта. Каждая команда выдвигает ученика, который будет защищать честь своей команды (назовем его счетовод).

Ученики из других команд задают подобранные дома примеры счетоводу до тех пор, пока он не ошибется. После него выступает счетовод из другой команды.

Побеждает команда, в которой счетовод решил наибольшее количество примеров правильно.

Игра «Дробная схватка»

На листочках записаны дроби 1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5, 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 8/8, 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 9/9, 1/10, 2/10, 3/10, 4/10, 5/10, 6/10, 7/10, 8/10, 9/10, 10/10, 1/12, 2/12, 3/12, 4/12, 5/12, 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12, 12/12.

Учитель перемешивает листочки и кладет их в две стопки так, чтобы сторона с дробями была снизу. Ученики по очереди открывают верхние листочки и сравнивают выпавшие дроби. Ученик, на чьем листочке дробь оказалась большей, забирает обе карточки.

Если выпали равные дроби, начинается «дробная схватка»: каждый ученик выкладывает в ряд три листочка лицевой стороной вниз, а четвертый листочек – лицевой стороной вверх. Тот ученик, на чьем листочке выпадает большая дробь, забирает все восемь листочков и листочки, с которых началась схватка.

Когда игра закончилась,ученики подсчитывают количество выигранных листочков. Побеждает тот ученик, у которого листочков оказалось больше.

Интересные задачи по дробям

Задача 1. Длина прямоугольника 4/5 дм, его ширина составляет 2/3 его длины. Найдите площадь данного прямоугольника.

Задача 2. Сколько километров проедет велосипедист за 1 5/12 ч, если его скорость составит 9 3/5 км/ч?

Задача 3. За 1 ч автоматическая линия производит 11/25 ц пластмассы. Сколько пластмассы линия производит за 3/4 ч?

Задача 4. В бидоне 3/2 л молока. Сколько молока в 5 таких бидонах?

Задача 5. Дети убрали 3/4 площади квартиры, что составляет 30 квадратных метров. Необходимо найти площадь всей квартиры.

Задача 6. Взрослый билет на электричку стоит 104  рубля. Школьный билет составляет 1/4 стоимости взрослого билета. Найдите стоимость школьного билета.

Задача 7. Храбрый рыцарь боится заболеть, поэтому всегда возит с собой 56 бутылочек с лекарством от ангины. Как-то раз его конь споткнулся, и 3/4 всех бутылочек пролилось. Сколько осталось полных бутылочек?

Задача 8. Сыну 8 лет, его возраст составляет 2/9 возраста отца. А возраст отца составляет 6/10 возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

Задача 9. Двое учеников играли в шашки 3 часа. Сколько времени играл каждый ученик?

Задача 10. В клетке сидели 3 цыпленка, 3 мальчика попросили дать им по 1 цыпленку. Их желание было исполнено и каждому из них досталось по 1 цыпленку, а в клетке остался 1 цыпленок. Как такое могло произойти?

Задача 11. Весёлый клоун, чтобы рассмешить детей придумал, что рост у него 9/5000 км, а вес 2/25 т. Дети рассмеялась — они поняли, что весельчак подобрал не те единицы массы и длины. Каков на самом деле рост весельчака в см и каков его вес в кг? (Ответ: 180 см, 80 кг)

Задача 12. Весёлый клоун предложил кому-нибудь из детей сыграть с ним в следующую игру. Клоун называет дробь. Ребёнок называет меньшую дробь. Затем весельчак придумывает еще меньшую дробь, ребенок – еще меньшую и так далее. Побеждает тот, кто назовет дробь, меньше которой дробей уже нет. Как можно победить в такой игре и возможно ли это вообще?

Источник: https://yroki.com/prostie-drobi

Проект "Дроби в нашей жизни". | Социальная сеть работников образования

  • Муниципальное общеобразовательное учреждение
  • «Средняя школа №3 г. Волжского Волгоградской области»
  • Исследовательская работа по теме:
  • Дроби вокруг нас.
  •                                                              Выполнил: ученик 5в класса
  • Сигачев Александр                                                                                
  •                                                                                                        Руководитель: учитель математики

Савченко И.В.                              

  1. Оглавление
  2. Цель проекта:        
  3. Задачи        
  4. Проблемные вопросы        
  5. Что же такое дробь?        
  6. Как возникли дроби в математике?        
  7. История возникновения обыкновенной дроби.        
  8. Дроби в Древнем Риме        
  9. Дроби в Древнем Египте        
  10. Вавилонские шестидесятеричные дроби        
  11. Нумерация и дроби в Древней Греции        
  12. Дроби на Руси        
  13. Дроби в других государствах древности        
  14. Десятичные дроби        
  15. Дроби и искусство.        
  16. 1) Дроби и музыка.        
  17. 2) Золотое сечение.        
  18. Дроби в стихах и сказках.        
  19. Сказка про десятичные дроби        
  20. Сказка про дроби        
  21. Применение дробей.        
  22. География        
  23. В строительстве.        
  24. Ребусы        
  25. Старинные задачи        
  26. с применением обыкновенных дробей.        
  27. 1) Задача Эйлера.        
  28. 5) Задача из сборника «Вопросы и ответы» армянского учёного        
  29. Анания  Ширакаци.        
  30. ПОЛТАБУНА И ПОЛ-ЛОШАДИ        
  31. Задача из «Арифметики» известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми        
  32. Еще одна задача из «Папируса Ахмеса        
  33. Староиндийская задача математика Сриддхары        
  34. Задача армянского ученого Анания Ширакаци        
  35. Задача о статуе Минервы.        

Задача об источниках Герона Александрийского (I в. до н.э.).        

  • Задача о Музах.        
  • Задача о школе Пифагора.        
  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ        

Цель проекта:

Изучение понятия «дробь», его многозначности  и применение   в окружающей нас жизни и в математике.

Задачи

  1. узнать, где человек встречается с понятием «дробь» в жизни;
  2. узнать историю возникновения дробей в математике;
  3. выяснить необходимость использования математических дробей в повседневной жизни
  4. Найти примеры использования дробей в литературе и искусстве .
  5. Старинные задачи с дробями.

  6. Занимательная страничка. Кроссворды, ребусы и т.д.
  1. Основополагающий вопрос:
  2. Может ли существовать человек без дробей?
  3. Проблемные вопросы
  • Что такое дробь?
  • Как возникли дроби?
  • Зачем нужны математические дроби?
  • Дроби в нашей жизни.

Объект исследования – математика.

Предмет исследования – обыкновенные дроби.

Что же такое дробь?

В толковом словаре это слово имеет несколько значений.

  1. собир. Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья. Зарядить ружьё дробью. Стрелять мелкой дробью. Вложить в ружьё заряд дроби. ( слайд)
  2. Частые, ритмически повторяющиеся звуки от ударов по чему-л. Д. дождя, града. Слышна сухая д. пишущих машинок. Барабанная д. Отбивать д. (о барабанщике). 

 Танцевальная дробь.  Весёлая д. чечётки. Выбивать д. (о чечёточнике). Слайд

Выбивать дробь зубами – стучать зубами (дрожа от холода, испуга и т. п.).

На флоте, команда «дробь!» — прекращение огня.

В доме  восемь дробь  1 жил высокий господин.

Номер через дробь ставят у домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам.  Слайд

  1. Матем. Число, состоящее из частей единицы. Простые дроби. Десятичные дроби. Правильная, неправильная сложение, вычитание дробей.

Обыкновенная дробь  называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя. Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше её знаменателя.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

Как возникли дроби в математике?

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с такими понятиями, как половина, треть, четверть. А это ведь тоже дроби. С самого детства мы слышим такие выражения: «весит четверть килограмма», «одна вторая листа» или «три четверти часа». Во всех этих случаях мы говорим о дробях: одна четверть, две четверти, три четверти, одна вторая и треть — все это дроби.

Люди разных профессий используют дроби в процессе работы,  даже не задумываясь об этом. Например, врач, назначая количество лекарства больному, повар, отмеряя необходимые ингредиенты, продавец, водопроводчик, слесарь и даже музыкант.

Да и мы пользуемся дробями с самого детства,  не подозревая об этом («Мама, дай мне половинку яблока», «Давай разделим шоколадку поровну»,  «Я еще четверть часика поиграю в компьютер»).

Как же возникла необходимость в обыкновенных дробях?  Откуда они взялись, как, когда, где и кто начал изучать дроби? Как записывали и использовали дроби в разные времена и в разных странах? В школьных учебниках нет информации на данную тему. А зачем изучать действия с дробями, если мы, не знаем, нужны ли они нам?

История возникновения обыкновенной дроби

Давайте проследим историю возникновения обыкновенной дроби. Дроби появились в глубокой древности, когда древний человек решил разделить добычу с себе подобным. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди столкнулись с необходимостью делить что-то на равные части, т.е.

наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.

 Так русское слово дробь, как и его аналоги в других языках, происходят от латинского слова  fractura, которое, в свою очередь, является переводом арабского с тем же значением: ломать, раздроблять. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть.

В древности у разных народов использовались разные дроби и разные записи дробей. В своей работе мы приведем несколько примеров использования дробей в древнем мире.

Дроби в Древнем Риме

У римлян основной единицей измерения массы, а также и денежной единицей служил «асс». Асс делился на 12 равных частей — унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12… Со временем унции стали применяться для измерения любых величин.

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Дроби в Древнем Египте

На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е.

самые простые дроби называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица.

Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда.

Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.

Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2016/05/22/drobi-vokrug-nas

Ссылка на основную публикацию