Нахождение числа по его дроби, дробные выражения — в помощь студенту

  • План урока:
  • Умножение обыкновенных дробей
  • Нахождение дроби от числа
  • Деление обыкновенных дробей
  • Нахождение числа по заданному значению его дроби
  • Дробные выражения

Умножение обыкновенных дробей

Разберем ситуацию.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студентуИсточник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара.

Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей.

Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Диагностика тревожности младших школьников - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить  3/16 килограмма сахарного песка.

Нахождение дроби от числа

Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.

Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студентуИсточник

Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:

  1. 48 : 8 = 6.
  2. 6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :
  3. 6 × 7 = 42.
  4. Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.

Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.

В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.

Способ 2.

По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Мальчик нарисовал 42 рисунка.

Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.

Деление обыкновенных дробей

Разберем пример.

Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студентуИсточник

По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров.

В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».

В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.

Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!

Нахождение числа по заданному значению его дроби

В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев.До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?

  • Источник
  • Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:
  • Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:

В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:

594 : 6 = 99.

Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.

В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.

Дробные выражения

Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения: 

то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!

  1. Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.
  2. Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .
  3. Например:
  4. 10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.
  5. Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.

Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!

Знаешь ли ты?

1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.

2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.

3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.

4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).

5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.

Источник: https://100urokov.ru/predmety/delenie-i-umnozhenie-drobej

Нахождение числа по его дроби

  • Цели: развивать умения находить дробь от числа и число по его дроби, решать текстовые задачи; повторить степень числа; воспитывать умение подчиняться требованиям коллектива.
  • Ход урока
  • I. Организационный момент
  • II. Устный счет

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

3. Сколько отрезков на рисунке? (30.)

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

4. У Маши 30 карандашных рисунков, что составляет 2/3 числа всех ее рисунков. Сколько у Маши всего рисунков?

5. Имеется два сосуда: 6-литровый и 8-литровый. Как с их помощью отмерить 4 л воды?

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

  1. III. Сообщение темы урока
  2. — Продолжим решать задачи на нахождение числа по его дроби действием деления.
  3. IV. Работа над задачей

1. Белочка за зиму съела 3/4 запаса орехов. Сколько орехов заготовила белочка на зиму, если съела 240 орехов?

— Составьте краткую запись.

240 ор. — это 3/4 от всего ? ор.

— Что надо найти в задаче? (Сколько всего орехов заготовила белочка.)

— Что это: целое или часть? (Целое.)

— Как найти число по данному значению его дроби?

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

(Ответ: 320 орехов заготовила белочка на зиму.)

2. № 648 стр. 105 (с подробным комментированием у доски и в тетрадях).

  • — Прочитайте задачу.
  • — Сравните ее с предыдущей.
  • — Что общего?
  • — Чем отличается?

— Расскажите план решения. (В задаче неизвестна длина всей сваи, то есть надо найти число по значению его дроби. Мы знаем, что 1,5 м — это 3/16 всей длины сваи. Надо значение дроби разделить на эту дробь, то есть 1,5 м разделить на 3/16.)

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

(Ответ: 8 м длина всей сваи.)

3. Тигренку на обед положено 3 кг мяса, а он съел только 3/4 от куска мяса. Сколько килограммов мяса съел тигренок?

— Сравните эту задачу с предыдущей. Что общего? Чем отличается?

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

  1. (Ответ: кг мяса съел тигренок.)
  2. V. Физкультминутка
  3. VI. Самостоятельная работа
  4. (Взаимопроверка.)
  5. Вариант I
  6. 1. Найдите число:
  7. 1) 2/9 которого составляют 36; 2) 4/5 которого составляют 40.

2. Найдите: 1) 2/9 от 90; 2) 4/5 от 400.

  • Вариант II
  • 1. Найдите число:
  • 1) 3/4 которого составляют 24; 2) 6/7 которого составляют 42.

2. Найдите: 1) 3/4 от 240; 2) 6/7 от 4200.

  1. Учитель выборочно проверяет тетради.
  2. VII. Повторение изученного материала
  3. 1. Не выполняя умножения, сравните:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

2. № 668 стр. 107 (устно).

— Ответ обоснуйте.

3. № 678 стр. 108 (на обратной стороне доски и в тетрадях, самопроверка).

— Как выполняется умножение и деление смешанных чисел?

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

  • VIII. Подведение итогов урока
  • — Как найти число по данному значению его дроби?
  • — Найдите число, если 1/3 его равна а, 2/5 его равно b.
  • Домашнее задание

№ 683, 687 стр. 109; 691 (б) стр. 110.

Источник: https://compendium.su/mathematics/mathematics6/67.html

Нахождение числа по его дроби

Мы с вами уже умеем находить часть от известного нам целого. А как вы думаете, можно ли, наоборот, по известной части найти целое? Конечно да! Если известно, сколько составляет часть от целого, то всегда можно «восстановить» целое.  В чём мы сегодня и убедимся при решении задач.

Задача 1

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Что же мы делали в решении, чтобы узнать чему равно это целое? Правильно! Мы известную нам часть разделили на долю, которую она составляла.

Запишем правило: для того чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Задача 2

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Задача 3

Буратино закопал на волшебном поле 15 золотых монет, что составило 30%  всех монет, которые появились на дереве утром. Сколько золотых монет появилось на дереве?

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Мы с вами решали лёгкие задачи на нахождение целого по заданной части, а теперь давайте решим задачу посложнее.

При подготовке к словарному диктанту по русскому языку Марина выучила четверть всех слов, заданных учителем. Если бы она выучила ещё 6 слов, то была бы выучена треть всех слов. Сколько всего слов надо было выучить Марине?

Решение:

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы научились находить число (целое) по заданному значению его дроби.

Источник: https://videouroki.net/video/18-nakhozhdieniie-chisla-po-iegho-drobi.html

Задачи на дроби

Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.

Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?

Решение: Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

Ответ: в классе отсутствует учащихся.

Нахождение дроби от числа

Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:

Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.

Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?

  • Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
  • 600 : 4 = 150 (р.)
  • Ответ: истратили 150 рублей.

Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?

Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:

1) 1000 : 5 = 200 (р.) – одна пятая часть.

Читайте также:  Тест3 - в помощь студенту

2) 200 · 2 = 400 (р.) – две пятых части.

Эти два действия можно объединить: 1000 : 5 · 2 = 400 (р.).

  1. Ответ: было истрачено 400 рублей.
  2. Второй способ нахождения части целого:
  3. Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.

Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?

  • Решение: Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту
  • Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
  • Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
  • Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.

Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.

Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:

50 · 6 = 300 (р.)

Ответ: первоначальная сумма – 300 рублей.

Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.

Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):

  1. 1) 600 : 2 · 3 = 900 (р.)
  2. Ответ: первоначальная сумма – 900 рублей.
  3. Второй способ нахождения целого по его части:
  4. Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.

Задача 3. Отрезок AB, равный 42 см, составляет длины отрезка CD. Найти длину отрезка CD.

Решение:

Ответ: длина отрезка CD 70 см.

Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда – привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?

  • Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
  • И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):
  • 2) 80 : 4 · 15 = 300 (арбузов)
  • Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/zadachi_na_drobi.php

Урок 19 Получить доступ за 50 баллов Нахождение числа по его дроби

  • В этом уроке мы научимся, зная дробь от числа, находить все число.
  • Также мы узнаем, как делать аналогичные действия для процентов, то есть по данному количеству процентов находить все число.
  • Потом применим полученные навыки для решения задач.
  1. Сформулируем, в чем состоит задача нахождения числа по его дроби.
  2. Имеется дробь; она говорит о том, какая часть от числа нам дана.
  3. Имеется число, равное данной дробной части от искомого числа.

Мы уже умеем находить дробь от числа.

Вспомним как это делать.

Чтобы найти дробь от числа нам нужно исходное число умножить на эту дробь, тогда получится какое-то значение, обозначающее дробь от числа.

В этой задаче было известно все число и то, какую дробную часть от него необходимо получить. Дробь от числа оставалась неизвестной.

В задаче этого урока дробь от числа нам уже известна, а все число, напротив, только предстоит найти.

Для его нахождения можно составить уравнение, аналогичное тому, которое было на картинке выше. Отличие будет только в том, какие переменные нам известны.

Решая это уравнение, вы переносите известный нам множитель, то есть дробь, в правую часть.

Как делить на дробь мы изучили в прошлом уроке. Напомним, что для этого надо домножить на взаимно обратное число к этой дроби.

Итак, вы получили выражение для неизвестного числа.

Сформулируем правило: чтобы найти дробь от числа необходимо разделить известную часть числа на дробь.

  • Пример 1
  • (mathbf{frac{3}{4}}) от числа равны 21-му, найдите исходное число.
  • Для решения необходимо разделить известную часть на дробь, то есть 21 разделить на (mathbf{frac{3}{4}})
  • (mathbf{21divfrac{3}{4}=21cdotfrac{4}{3}=frac{21cdot4}{3}=frac{7cdot4}{1}=28})
  • Пример 2
  • (mathbf{frac{2}{7}}) от числа равны 12, найдите исходное число.
  • Для решения надо разделить данную часть числа на данную дробь, то есть 12 разделить на (mathbf{frac{2}{7}})
  • (mathbf{12divfrac{2}{7}=12cdotfrac{7}{2}=frac{12cdot7}{2}=frac{6cdot7}{1}=42})
  • Пример 3
  • Далеко не всегда часть числа делится на числитель данной дроби; в таких случаях мы будем получать в ответе не целые числа, а дроби или смешанные числа.
  • (mathbf{frac{2}{3}}) от числа равны 11, найдите исходное число.
  • Во всем остальном решение ничем не будет отличаться- также разделим дробь от числа, равную (mathbf{frac{2}{3}}), на величину дроби, равную 11 и получим результат.
  • (mathbf{11divfrac{2}{3}=11cdotfrac{3}{2}=frac{11cdot3}{2}=frac{33}{2}=16frac{1}{2}})
  • Для получения ответа нам понадобилось выделить целую часть.
  •  Важен еще один случай.
  • Никто не гарантирует, что данная нам часть числа сама по себе не будет являться дробью.
  • Такого случая не стоит пугаться, а стоит придерживаться алгоритма, а именно делить часть числа на то, какой дробью она является.
  • Пример 4
  • (mathbf{frac{5}{6}}) от числа равны (mathbf{frac{2}{3}}), найдите все число.
  • Для решения этого примера разделим (mathbf{frac{2}{3}})- часть числа, на (mathbf{frac{5}{6}})- дробь.
  • (mathbf{frac{2}{3}divfrac{5}{6}=frac{2}{3}cdotfrac{6}{5}=frac{2cdot6}{3cdot5}=frac{2cdot2}{5}=frac{4}{5}})
  • Все исходное число равняется (mathbf{frac{4}{5}})
  1. Теперь представим, что дан какой-то определенный процент от числа и необходимо найти, от какого числа брали процент.
  2. Вспомним, что процент- это способ записи десятичной дроби.
  3. То есть, чтобы из процента получить десятичную дробь, которую он обозначает, надо величину процента разделить на 100.
  4. Поэтому для решения такого рода задач надо преобразовать процент в десятичную дробь, а дальше сделать все то же самое: разделить число на эту дробь.
  5. Пример 1

Известно, что зарплата работника увеличилась на 2 000 рублей или на 25 процентов. Какая зарплата у работника была изначально?

  • Решение:
  • Переведем проценты в дроби: (mathbf{25\%=25div100=0.25})
  • Разделим число на дробь: (mathbf{2000div0.25=8000})
  • Ответ: изначально зарплата работника была 8000 рублей.
  • Сформулируем правило.
  • Чтобы найти число по проценту от него, надо перевести процент в десятичную дробь, а после разделить данную часть числа на полученную дробь.
  • Пример 2

Сказано, что 9% от числа равны 81. Необходимо найти все число.

  1. Решение:
  2. Первым действием переводим проценты в десятичную дробь.
  3. (mathbf{9\%=9div100=0.09})
  4. Вторым действием делим данное число на эту дробь.
  5. (mathbf{81div0.09=900})
  6. Ответ: искомое число 900
  • Задачи, в которых фигурируют дроби от числа часто встречаются не только в школьных учебниках и задачниках, но и в реальной жизни, поэтому стоит уделить им особое внимание.
  • Сначала разберем некоторые из таких задач вместе, а дальше вы попробуете свои силы в самостоятельном решении задач.
  • Часть задач тривиальна, иными словами, их решение очевидно, достаточно лишь увидеть в них формулу, подставить в нее данные значения и получить результат.
  • Пример:
  • Айсберг возвышается над водой на (mathbf{frac{1}{11}}) своей высоты.
  • Капитан корабля заметил, что от воды до макушки айсберга по вертикали 16 метров.
  • Какова общая высота айсберга?
  • Решение:
  • В данном случае мы сразу можем сказать, что все число- это общая высота айсберга, дробь от числа- 16 (метров), а величина дроби- (mathbf{frac{1}{11}}).
  • Соответственно, по правилу, для получения ответа мы делим 16 на (mathbf{frac{1}{11}}) и получаем результат.
  • (mathbf{16divfrac{1}{11}=16cdot11=176}) (метр)- общая высота айсберга
  • Ответ: 176 (метров).
  • Некоторые задачи для своего решения требуют более глубокого анализа.
  • Пример:
  • Магазин продал (mathbf{frac{2}{3}}) пар новых кроссовок специальной партии, после чего на складе осталось 56 пар.
  • Какого размера была специальная партия?
  • Решение:
  • В данной задаче, если не вчитываться в условие, интуитивно хочется просто поделить 56 на (mathbf{frac{2}{3}}) и получить ответ, но ответ не будет правильным.
  • Если посмотреть внимательно, то 56 пар соответствуют оставшейся части партии, в то время как дробь (mathbf{frac{2}{3}}) описывает проданную часть.
  • Но мы пока не знаем общего количества пар и не можем сказать, какому числу соответствует (mathbf{frac{2}{3}})
  • Зато мы можем вычислить размер оставшейся части.
  • Если вся партия — это 1, и продано (mathbf{frac{2}{3}}), значит осталась (mathbf{frac{1}{3}}) товара.
  • Эта дробь соответствует 56 оставшимся парам.
  • Дальнейшие действия аналогичны рассмотренным в предыдущей задаче.
  • Теперь оформим решение:
  • 1) (mathbf{1-frac{2}{3}=frac{1}{3}}) составляет оставшаяся часть от всего размера партии
  • 2) (mathbf{56divfrac{1}{3}=56cdot3=168}) (пар) кроссовок всего было в партии
  • Ответ: 168 (пар).
  • Вам могут встретиться задачи и с более сложными условиями, все их разобрать невозможно, но главное:
  • не давать себя запутать
  • расписать, какой части какая дробь и какое число соответствует
  • понять, где данных достаточно, чтобы узнать что- то новое
  • и так постепенно продвигаться к ответу

Задачи математики часто диктуются другими науками, в том числе экономикой.

Существуют поднауки других наук, связанные с математикой. Примерами таких могут служить математическая физика, изучающая, как следует из названия, физические модели, а также математическая экономика, о которой мы вам сейчас расскажем.

Предметом изучения этой теории является математическое описание экономических объектов, явлений и процессов.

В самом деле, интересно применить мощнейший математический аппарат к таким насущным вопросам, как изменение цен и доходов, изменение предпочтений покупателей и пр.

Истоки математической экономики идут с XVII века. Тогда преподаватели германских университетов начали использовать новый стиль преподавания, который включал в себя статистику. Там, где появляется статистика, то есть множество чисел, появляется и математика, которая выявляет какие-то закономерности.

  1. К примеру, расчет среднего дохода крестьян не является сложной задачей и сводится к вычислению среднего арифметического, но тоже является задачей математики.
  2. В это же время группа английских ученых создала метод «численной аргументации государственной политики», который затрагивал темы налогов, сборов, таможенных пошлин, и прочие экономические процессы, в которых участвует государство.
  3. К XIX веку появляется и развивается классическая школа политической экономики, чьим лицом принято считать Адама Смита.
  • Именно в этот период математика начала активно применяться в экономике.
  • В дальнейшем все большее количество математических инструментов переходило в экономику, а в наши дни на нее трудятся еще и информационные технологии.
  • Так что в наши дни великим экономистом может быть не тот, кто изначально учился на экономиста, а успешный математик или программист.

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студенту

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты

Получить доступ

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/nahozhdenie-chisla

Формулы для решения задач на дроби для 5 класса

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко.

А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Нахождение числа по его дроби, дробные выражения - в помощь студентуОбыкновенная дробь — это пара чисел, записанных через черту.

Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано. То есть дробь $frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три. Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.
В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.

В самолёте 120 пассажиров. $frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120. Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

Решение

Задаём себе два вопроса:
1. Чему равна $frac{1}{5}$ (одна пятая) от 120?
Для этого 120 делим на 5, получаем 24.
2. Чему равны $frac{2}{5}$ (две пятых) от 120?
Результат 24, корый мы получили, нужно умножить на 2.
Получаем 48. Значит, $frac{2}{5}$ от 120 составляет 48.

Ответ: 48 пассажиров летят впервые.

Попробуем решить ещё одну задачу на нахождение дроби от числа.

Пример 1.2.

В городе живут 1 500 000 человек. Из них $frac{3}{25}$ — школьники. Сколько в городе школьников?

  • Решение
  • Ответ: 180 000 школьников.
  • Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь
  • Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на её числитель

1. Чему равна $frac{1}{25}$ от 1 500 000?
1 500 000:25 = 60 000
2. Чему равны $frac{2}{25}$ от 1 500 000?
60 000*3 = 180 000
Когда вы набрались опыта решать такие задачи по вопросам, эти два вопроса можно свести в одно действие и использовать правило:
Или, что то же самое:

Пример 1.3.

В автосалон завезли 14 автомобилей. За месяц продали 2/7 этого количества. Сколько автомобилей продали?

Решение

Умножим 14 на $frac{2}{7}$:
$14cdot frac{2}{7} = frac{14cdot 2}{7} = 2cdot 2 = 4$

Ответ: 4 автомобиля.

Теперь рассмотрим задачи второго типа:
В задачах этого типа исходное число неизвестно. Зато известна величина некоторой части от этого числа и какую дробь составляет эта часть от исходного числа. Для удобства рассмотрим, как бы выглядели эти же три задачи, если бы в них требовалось найти число по дроби.

Пример 2.1.

В самолёте сидят пассажиры (сколько их неизвестно!). Известно, что 48 пассажиров или $frac{2}{5}$ (две пятых) от их количества летят впервые. Нужно найти: сколько всего пассажирова в самолёте?

Решение

Эти 48 пассажиров, которые летят впервые, составляют две пятых ($frac{2}{5}$) от общего количества пассажиров в салоне. Мы можем найти одну пятую?
Да, нужно 48 разделить на 2.
48:2 = 24.
Мы узнали, что одна пятая часть от всех пассажиров — это 24 человека. Сколько всего пассажиров? В пять раз больше, то есть 24х5 = 120.

Ответ: 120 пассажиров всегов самолёте

Понятно? Давайте разберём ещё одну задачу.

Пример 2.2.

Три двадцать пятых ($frac{3}{25}$) населения города составляют школьники. Школьников в городе 180 000. Каково общее население города?

  1. Решение
  2. Ответ: в городе 1 500 000 жителей
  3. Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на эту дробь
  4. Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на числитель дроби и умножить на её знаменатель

Опять само число (то есть население города) на неизвестно, зато известно, чему равны $frac{3}{25}$ от него.Значит, можно сначала найти, чему равна $frac{1}{25}$ от населения города. Разделим 180 000 на 3:
180 000:3 = 60 000 Зная одну двадцать пятую, можно найти и целое, умножив 60 000 на 25.
60 000х25 = 1 500 000
Когда будете уверенно решать задачи на нахождение числа по его дроби по вопросам, можно будет заменить эти вопросы одним действием и использовать правило:

Или, что то же самое:

Пример 2.3.

Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4, что составляет 2/7 всех автомобилей. Сколько автомобилей завезли в салон?

Читайте также:  Монетаризм - в помощь студенту

Решение

Разделим 4 на $frac{2}{7}$:
$4: frac{2}{7} = frac{4cdot 7}{2} = 2cdot 7 = 14$

Ответ: 14 автомобилей завезли в салон.

И перейдём теперь к третьему типу задач на дроби, которые изучаются в математике 5 класса:
В задачах на нахождение отношения оба числа известны, а нужно найти, какую дробь второе число составляет от первого. Решаются они проще всего

Пример 3.1.

В самолёте 120 пассажиров. Из них 48 человек летят в первый раз. Какая часть пассажиров летит в первый раз?

  • Решение
  • И числитель, и знаменатель делятся на 2, значит, можно сократить на 2.
  • Чтобы найти, в виде какой дроби выражается отноешние двух чисел, нужно сначала записать дробь, в которой числитель и знаменатель — эти числа, а затем сократить её.

Чтобы найти, какую дробь 48 составляет от общего количества пассажиров (120), нужно 48 разлелить на 120 и затем скоратить, что возможно.
Доля летящих впервые пассажиров составляет $frac{48}{120}$.

$frac{48}{120}=frac{24}{60}$ Сократим ещё раз на 2:
$frac{24}{60} = frac{12}{30}$ И ещё раз:
$frac{12}{30} = frac{6}{15}$ Теперь можно сократить на 3:
$frac{6}{15} = frac{2}{5}$ Больше сокращать не на что — это и можно записать как окончательный ответ задачи.
Ответ: $frac{2}{5}$ пассажиров летят впервые. Так что правило для решения задач на нахождение отношения чисел самое простое:

Обратите внимание, что дробь $frac{A}{B}$ обозначает, какую долю величина А составляет от величины В и правильно записывайте величины в числитель и знаменатель. Разберём ещё два примера.

Пример 3.2.

В городе с населением 1 500 000 жителей живут 180 000 школьников. Какую часть населения города составляют школьники?

Решение

Нужно найти, какую часть 180 000 составляет от 1 500 000?
Записываем дробь и сокращаем:
$frac{180000}{1500000}=frac{18}{150}=frac{9}{75}=frac{3}{25}$

Ответ: школьники составляют $frac{3}{25}$ от общего населения города

Пример 3.3.

Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4. Какую часть от всех автомобилей это составляет, если всегов автомалон завезли 14 машин?

Решение

Точно так же, берём дробь $frac{4}{14}$ и сокращаем:
$frac{4}{14}=frac{2}{7}$

Ответ: продали $frac{2}{7}$ от общего количества автомобилей.

Вот как решаются задачи на дроби. Вы найдёте справочники по формулам математики 5, 6 и других классов в разделе «Математика в школе».

Источник: http://evolventa.blogspot.com/2015/07/formuly-dla-reshaniya-zadach-na-drobi-dla-5-klassa-po-matematike.html

План-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему: Нахождение числа по его дроби. Дробные выражения. | Социальная сеть работников образования

Тема:        Нахождение числа по его дроби. Дробные выражения.

  • Цель урока:  обобщить и систематизировать знания и умения учащихся
  •                          по данной теме,  подготовить учащихся к контрольной работе
  • Задачи урока:
  • закрепить умения применять правила действий с дробями в процессе выполнения упражнений, сформировать навыки быстрого счёта;
  • развивать внимание, математическую речь, логическое мышление, самостоятельность; интерес к предмету;
  • воспитывать чувство ответственности, уверенности в себе, умение работать в коллективе.
  1.  Тип урока: урок решения задач
  2. Оборудование: мультимедийный проектор, карточки
  3. План урока
  1. Организационный момент (2 мин.)
  2. Сообщение темы урока.
  3. Актуализация опорных знаний ( 10 мин.)
  4. Решение задач (14 мин.)
  5. Физкультминутка (1 мин.)
  6. Самостоятельная работа по карточкам(15 мин)
  7. Фильм о озере Байкал
  8. Итог урока  (1мин.)
  9. Домашняя работа (1 мин.)
  • Ход урока
  • Добрый день, дорогие ребята!
  • Я рада видеть вас на уроке.
  • Французский  писатель 19 столетия Анатолий Франс однажды заметил:
  • « Учиться можно весело…
  • Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».
  • Пусть эти слова послужат девизом нашего урока.
  •             Сегодня у нас заключительный урок по теме:
  •           «Нахождение числа по его дроби. Дробные выражения»
  • Цель урока – повторить и обобщить ваши знания по теме и
  •                        подготовиться к контрольной работе
  • Давайте на уроке  будем  активными и внимательными,
  • будем думать, мыслить и помогать друг другу.
  1. Актуализация знаний учащихся
  • Разминка « Беговая дорожка»

У нас с вами 4 беговых дорожки.

Каждый ученик первой парты получает карточку с заданиями, выполняет один пример и передаёт дальше по ряду. Каждый следующий проверяет записанный ответ и делает ещё один пример. Побеждает тот чья дорожка быстрее и правильнее вернулась обратно.

  1. 1-я дорожка:
  2. 2-я дорожка:
  3. 3-я дорожка:
  4. 4-я дорожка:
  5. Пока дорожки передают задания, остальные отвечают на вопросы.
  1. Как умножить дробь на число?
  2. Как умножить дробь на дробь?
  3. Как  выполнить умножение смешанных чисел ?
  4. Правило деление дробей.
  5. С какими типами задач мы познакомились в 6 классе?
  • — Нахождение дроби от числа;
  • — нахождение числа по его дроби.
  • Три ученика работают по карточкам около доски.
  1. Найдите
  2. .
  3. ?

 Мимо  вашего  корабля  проплыли  дельфины.  Какого  дельфина  не  хватает?

Источник: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/10/15/nakhozhdenie-chisla-po-ego-drobi-drobnye-vyrazheniya

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  • При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  • При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  • При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
  • При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  • дробная черта означает знак деления;
  • деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  • применение свойства действий с действительными числами;
  • применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

  • Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.
  • Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что
  • 1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+1:1093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.

 Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0.

Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена.

Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a.

Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2) Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
    lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
  3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.
  1. Рассмотрим двоякий способ решения.
  2. Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида
  3. x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1
  4. Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.
  5. В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.
  6. Получим:
  7. 1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

  1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1)ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
    x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
  3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.
  • После чего получаем, что
  • 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2
  • Ответ:
  • 1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

  1. Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.
  2. Решение
  3. Необходимо выполнить умножение. Получаем, что
  4. x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
  5. Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида
  6. 3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)
  7. Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей.

Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr.

Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

  • Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.
  • Решение
  • Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что
  • 1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x

Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/dejstvija-s-drobjami/

Ссылка на основную публикацию