Множества,их элементы,поджмножества — в помощь студенту

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студентуМножества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Мы каждый день сталкиваемся с большим количеством одинаковых предметов, но не задумываемся о том, как называется совокупность этих объектов. Это множество — математическая единица, подчиняющаяся определенным законам и правилам, обладающая разными свойствами и функциями.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Обыкновенные дроби - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Пример:

  1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

  2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

  • Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
  • Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Выделяют три вида множеств:

  • конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
  • бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
  • пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
  1. Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.
  2. Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В. 
  3. Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
  4. Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Множество рациональных чисел

  • Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
  • Q={-½; 0; ½, 5; 10}.
  • Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
  • 5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;
  • 0,45 = 45/100 = 9/20.
  • Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

  1. Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
  2. Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.
  3. Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
  4. Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.
  5. Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
  6. Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.
  7. В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
  8. Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Пересечение

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Дополнение

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

  • С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами. 

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

  • умножения S ∩ D = D ∩ S;
  • сложения S ∪ D = D ∪ S. 

Ассоциативность – сочетательные законы:

  • умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
  • сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G). 

Дистрибутивность – законы распределения:

  • умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
  • умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
  • сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F). 

Транзитивность — законы включения:

  • если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
  • если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F. 
  1. Идемпотентность объединения и пересечения:
  2. О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов. 

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам. 

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/mnozhestvo.html

Решение задач по теме "Множества и его элементы"

Множества и его элементы

УРОК 9 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Самостоятельная работа.

Цель: Систематизация знаний по теме «Множества и его элементы».

Повторение, проверка д/з:

  1. Что обозначает слово «множество»?

  2. Что мы называем элементом множества?

  3. Что бывает элементами множества?

  4. Как различают множества по числу элементов?

  5. Какими способами можно задать множество? (перечисление элементов, характеристическое свойство)

  6. Какое свойство называется характеристическим свойством?

  7. Какие множества называются равными?

  8. Какие математические «иероглифы» мы используем для сокращенной записи?

  9. Что такое подмножество?

  10. Что такое круги Эйлера? Зачем они? (Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления)

  11. Что такое объединение множеств? Знак объединения.

  12. Что такое пересечение множеств? Знак пересечения. Решить упражнение 1.

  13. Что такое разность множеств? Знак разности. Проверить упражнения 1, 2 из д/з.

  14. Что такое дополнение множества?

Решить упражнение 2, 3, 4.

Проверить упражнения из домашнего задания:

  1. Найти разность множеств: К = {1; 2; 3; 7; 8; 9} и М = {0; 2; 8}. Решение: К М = {1; 3; 7; 9}.

  2. Даны множества: А = {a; b; c; d}, В = {c; d;} .

Найти: а) А В; б) В А; в) (А В) ∪ (В А). Решение: а) А В = {a; b}; б) В А = ; в) (А В) ∪ (В А) = {a; b} ∪ = {a; b}.

  1. Каждая семья, живущая в нашем доме выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают и газету, и журнал. Сколько семей живет в нашем доме?

Решение:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Упражнение 1: Даны два множества А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {3; 6; 9; 12}. Найти объединение и пересечение этих множеств.

Решение: А В = {2; 4; 6; 8; 10; 3; 6; 9; 12}, А ∩ В = {6}.

Упражнение 2: Даны два множества Х = {0; 1; 3; 5} и У = {1; 2; 3; 4}. Найти разность множеств Х и У и разность множеств У и Х. Сделайте вывод.

Решение: Х Y = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4} = {0, 5}. Y X = {2; 4}.

Упражнение 3: Объяснить рисунки:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

  • Упражнение 4: Какое число является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
  • Решение: Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
  • Самостоятельная работа (с последующей взаимопроверкой и проверкой)
  • Вариант 1
  • 1 Записать множество А натуральных делителей числа 12.

2 В данном множестве В = {лев, лисица, гиена, слон, рысь} все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Запишите это характеристическое свойство и найдите элемент, не обладающий им.

3 Даны множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Найти объединение, пересечение и разность этих множеств.

Вариант 2

1 Записать множество А натуральных делителей числа 18.

2 В данном множестве С = {яблоко, груша, огурец, слива, абрикос} все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Запишите это характеристическое свойство и найдите элемент, не обладающий им.

3 Даны множества: А = {3, 4, 5, 6, 7, 8} и В = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Найти объединение, пересечение и разность этих множеств.

  1. Взаимопроверка, проверка.
  2. РЕШЕНИЕ:
  3. Вариант 1:
  4. 1 А = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  5. 2 В = {х│х — хищники}, слон – лишний элемент
  6. 3 А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; А ∩ В = {3, 4, 5, 6}; А В = {1, 2}.
  7. Вариант 2:
  8. 1 А = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
  9. 2 В = {х│х — фрукты}, огурец – лишний элемент
  10. 3 А ∪ В = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; А ∩ В = {4, 5, 6, 7, 8}; А В = {3}
  11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
  12. Проверить упражнение 3 из д/з (все предложенные детьми варианты решений).

Дома вы решаете задачи №3 разными способами. Сегодня на уроке мы разберем их решение, используя круги Эйлера.

  • Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
  • Напомню: круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
  • Упражнение 4: Составьте рассказ по рисунку:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Решим простую задачу, применив круги Эйлера:

Задача 1: В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек – пирожное и мороженое. Сколько детей любит только мороженое?

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Аналогичным способом можно решить и домашнее упражнение 3. Давайте попытаемся это сделать!

Рассмотрим решение методом кругов Эйлера задач из прошлых д/з:

Задача: Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Решение:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Задача: Из 220 школьников 16 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и в футбол?

Решение:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

И новые задачи:

Задача 2: В классе 30 учащихся. Из них 18 человек занимаются в секции легкой атлетики, 10 – плаванием, 3 человека – и тем и другим. Сколько человек не занимается ничем?

Читайте также:  Тождественные преобразования - в помощь студенту

Решение:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Задача 2: Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение:

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят.

Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде.

Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят.

20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Подведение итогов урока, рефлексия

  • Мне больше всего удалось…
  • Для меня было открытием то, что …
  • За что ты можешь себя похвалить?
  • Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
  • Мои достижения на уроке.

Домашнее задание: упражнения:

  1. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В, если А = {1; 2; 3; 4; 5; 6} и В = {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Решение: А ∪ В = {1; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, А ∩ В = {2; 4; 6}, А В = {1; 3; 5}.

  1. Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10 и В = {1; 2; 3; … 41}. Найти: А ∩ В.

  2. Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекабтся коллекционированием?

Источник: https://vseosvita.ua/library/resenie-zadac-po-teme-mnozestva-i-ego-elementy-36172.html

Множества

  • Подмножество
  • Пересечение и объединение множеств

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

  • Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
  • N – множество натуральных чисел
  • Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈. Запись

5∈Z

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

  1. Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
  2. L = {2, 4, 6, 8}
  3. означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8}   и   M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

  • Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂:
  • L⊂M
  • Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M.
  • Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком =.
  • Рассмотрим два множества:
  • L = {2, 4, 6}   и   M = {4, 6, 2}
  • Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19}, то   L∩M = {3, 11}.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪.

  1. Например, если
  2. L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},
  3. то   L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

  • Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M.
  • При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
  • если L = M,   то   L∪M = L   и   L∪M = M.

Источник: https://naobumium.info/algebra/mnozhestva.php

Множество. Элементы множества. Способы задания множества. Пустое множество. Подмножество.Операции над множествами

Тема урока: Множество. Элементы множества. Способы задания множества. Пустое множество. Подмножество.Операции над множествами.

Цель урока: изучить понятия множество, подмножество, элементы множества, пустое множество и операций над множествами: пересечение, объединение; проводить несложные систематизации; приводить примеры различных множеств и подмножеств, правильно проводить логические рассуждения.

Воспитание аккуратности при работе в тетради, самостоятельности, грамотной математической речи. Развитие мышления учащихся (в ходе выполнения заданий актуализации и на протяжении всего урока). внимания учащихся (выполнение заданий на нахождение соответствия).

Развитие памяти учащихся

  • СТРУКТУРА УРОКА
  • 1.Организационный момент
  • 2.Устный счет
  • 3. Изучение нового материала
  • 4.Закрепление
  • 5.Подведение итогов
  • 6.Рефлексия
  • 7.Домашнее задание
  • Ход урока
  • 1.Организационный момент
  • Вступительное слово учителя
  • 2. Устный счет
  • 1) 52 + 32 2)67 – 25 3) 51:10 4) 47 -3 : 2
  • 3. Изучение нового материала
  • Часть 1
  • Эпиграф:
  • Множество возникает путем объединения
  • отдельных предметов в единое целое.
  • Оно есть множественность мыслимая как единое.
  • Ф. Хаусдорф
  • Множество представляет собой объединение некоторых объектов или предметов в единую совокупность по каким-либо общим свойствам или законам.Обозначают А,В,Р,…
  • Например:
  • множество зверей,
  • множество учеников;
  • множество столов;
  • множество стульев;
  1. Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. 
  2. Обозначают .
  3. Если множество А состоит из элементов    a , c , k, то записывают это так: А = { a , c , k}.
  4. Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
  5. Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.
  6. Множество арифметических действий — из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.
  7. Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.
  8.                 N– множество натуральных чисел,
  9.                 Z– множество целых чисел.
  10. Виды множеств

Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту

  • Подмножество
  • Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.
  • Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.Обозначают Ø
  • Если два множества состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.
  • Например, А = { a , c , k , m , n} и В = { m , n , a , c , k}, А = В.

Множество является заданным, т.е. известным, если ясно, какие у него элементы. Поэтому, чтобы задать множество, можно просто перечислить все его элементы.

Круги́ Э́йлера[— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения междуподмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером.

  1. При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов.
  2. Однако, этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Практическая работа
  3. Задание1
  1. Перечислите множество фруктов

  2. Перечислите множество овощей

  3. Перечислите множество школьных предметов учеников 6 класса

Задание 2

Начертите три круга изображающие круги Эйлера.

В самом маленьком круге напишите, те знания и умения которые вы приобрели в дошкольном возрасте (множества А), во втором круге – чем пополнились ваши знания в начальной школе (множества В) и в самом большом круге чему вы научились в 5-6 классах (множество С). В каком отношении находятся эти множества? (ответ А подмножества множества В и в – подмножества множества С)

1.Дано множество {11; 34; 60; 16; 90}. Принадлежит ли этому множеству число, которое получится при сложении 60 и 30, при вычитании 9 из 17, при делении 72 на 8, при вычитании И из 48, при умножении 20 на 3? [да; нет; нет; да; да].

2.По какому признаку составлено множество {зима, весна, лето, осень}, {11. 13, 15, 17, 19}? [времена года, [нечетные числа большие 10 и меньшие 20].

3.По какому признаку составлено множество {6,3,5,2,4}? [Множество чисел, больших 1 и меньших 7. Является ли это мно жество подмножеством натуральных чисел? [Да].

4.Назовите множество дней одной недели; множество месяцев одного года. Является ли множество дней одной недели подмно жеством множества дней одного месяца? [Да].

  • 5.Даны следующие множества:
  • А — множество учеников данной школы;
  • В — множество учеников пятых классов данной школы;
  • С — множество учащихся всех школ данного города;
  • Д — множество учащихся пятых классов, посещающих кружковые занятия по математике;
  • Е — множество всех учащихся школ России.
  • [ Д  ВАСЕ].
  • Перечислить буквы, обозначающие множества, так, чтобы каждая буква (кроме последней) обозначала подмножество следующего множества.
  • 6.Даны множества:
  • А — множество натуральных чисел;
  • В — множество четных чисел;
  • С — множество нечетных чисел;
  • Д — множество чисел, делящихся на 5;
  • Е — множество чисел, делящихся на 10.
  • [ВА, СА, ДА, ЕА, ДС, ЕВ, ДЕ].
  • Указать, какие из данных множеств являются подмножествами других данных множеств.

7.Назовите множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 22.

[Ø]

(Объяснение учителя).

Часть 2.Решим ЗАДАЧУ № 1.

«В пятых классах школы училось 70 человек. Им было предложено записаться в 3 кружка: по математике, литературе и истории. Староста подсчитал число учащихся, желающих участвовать во внеклассной работе, и получил такие результаты. В кружок по математике записалось 51 человек, по литературе — 40, по истории — 22.

6 человек решили заниматься во всех кружках, математикой и литературой решили заниматься 32 человека, одновременно заниматься математикой и историей решили 11 человек, а литера турой и историей 8 человек. Получив результаты, староста сказал: «Можно подумать, что у нас в 5-х классах обучается не 70 человек, а 170.

Все хотят заниматься в кружках».

Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни исто рию. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»

  1. Введем обозначения:
  2. В — множество всех учащихся;
  3. М — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся мате матикой;
  4. JI — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся лите ратурой;
  5. И — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся историей.
  6. Из условия задачи следует, что все условия пересекаются.
  7. Для составления схемы воспользуемся «кругами Эйлера».
  8. Пересечение множеств М, JI и Д содержит 6 элементов (МЛИ|=6 это следует из условия задачи).
  9. Пересечение множеств М и Л содержит 32 элемента (|MЛ|=32), но 6 элементов принадлежат множеству И (смотри рисунок).
  10. Можно определить, сколько человек записать в кружки по мате матике и литературе (32-6=26 человек).
  11. Пересечение множеств М и И содержит 11 элемента (|МИ|=11), но 6 элементов принадлежат множеству JI; следовательно в кружки по математике и истории записалось 11-6=5 человек.
  12. ЛИ содержит 8 человек (|ЛИ|=8), но 6 элементов принадлежат множеству М, значит в кружки по литературе и истории записалось 8-6=2 человека.
  13. Теперь легко определить сколько учащихся посещают только один кружок:
  • по математике — 51-(6+26+5)= 14 человек;
  • по литературе — 40-(6+26+2)=6 человек;
  • по истории — 22-(6+5+2)=9 человек;
  • всего записалось — 14+6+9+26+5+6+2=68 человек;
  • не записалось — 70-68=2 человека.

Решим ЗАДАЧУ № 2.

«В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием — 25, ходят на лыжах — 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом — 15, баскетболом и лыжами — 16, пла ванием и лыжами — 18. Один человек освобожден от занятий по физ культуре. Сколько человек занимается всеми указанными видами спорта? Сколько человек занимается только в одной спортивной секции?».

  • Введем обозначения:
  • Л — множество лыжников;
  • Б — множество баскетболистов;
  • П — множество пловцов.

По условию задачи все три множества пересекаются. Число эле ментов пересечения трёх множеств обозначим через X.

Пересечение множеств Б и П (БП) содержит 15 человек (|БП| = 15), но X человек принадлежат множеству Л. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и плава нием: 15-Х (чел.).

Пересечение множеств JI и П (ЛП) содержит 18 человек (|ЛП|=18), но X человек принадлежат множеству Б. Можно определить, сколько человек занимаются лыжами и плаванием: 18-Х (чел.).

Пересечение множеств Б и JI (БЛ) содержит 16 человек (|БЛ|= 16), но X человек принадлежат множеству П. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и лыжами: 16-Х (чел.).

  1. Теперь легко определить, сколько учащихся занимаются только баскетболом:
  2. 26-(16-Х+Х+15-Х)=26-(31 -X).
  3. Сколько учащихся занимаются только плаванием:
  4. 25-(18-Х+Х+15-Х)=25-(33-Х).
  5. Сколько учащихся занимаются только лыжами:
  6. 27-(16-Х+Х+18-Х)=27-(34-Х).
  7. По условию задачи известно, что в классе 40 человек и один чело век освобожден от занятий по физкультуре. Следовательно, можно составить уравнение:
  8. 25-(33-Х)+27-(34-Х)+26-(31 -Х)+15-X+l 8-Х+16-Х+Х+1 =40.

Отсюда, Х= 10, т. е. 10 человек одновременно занимаются баскет болом, плаванием и лыжами.

26-(31-10)=5 (чел.) занимаются только баскетболом.

3 (чел.) занимаются только лыжами.

Источник: https://infourok.ru/mnozhestvo-elementi-mnozhestva-sposobi-zadaniya-mnozhestva-pustoe-mnozhestvo-podmnozhestvooperacii-nad-mnozhestvami-2514437.html

Множества и операции над множествами

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Что такое множества, где и как они применяются

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует.

Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое.

Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: «Множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Ели ли Вы сегодня обед? Сейчас станет известна страшная тайна. Обед является множеством. А именно, множеством блюд, из которых он состоит. В нём (как правило) нет одинаковых блюд, и во множестве все элементы должны быть разными. А, если на обед у Вас был тот же самый салат, что и на завтрак, то этот салат является пересечением множеств «Обед» и «Завтрак».

Взгляните на книгу, лежащую на столе или стоящую на полке. Она является множеством страниц. Все страницы в ней отличаются друг от друга, по меньшей мере номерами.

Читайте также:  Древняя малая азия и закавказье - в помощь студенту

А улица, на которой Вы живёте? Она является собранием многих разных объектов, но обязательно есть множество домов, расположенных на этой улице. Поэтому множество домов является подмножеством множества «Улица».

Итак, мы рассмотрели не только примеры множеств, но и пример операции над множествами — пересечение, а также отношение включения подмножества во множество. Все эти понятия будем рассматривать подробно на этом уроке.

Но пока ещё один пример практического рассмотрения множеств.

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты).

И формируем подмножества: магазины «Солнышко», «Ветерок», «Огонёк», а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств.

Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее).

Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком «плюс»: A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=[hleb, moloko]; Veterok:=[hleb, syr, maslo]; Ogonyok:=[hleb, myaso, ryba, sol, sahar]; … MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Объекты, составляющие множества — объекты нашей интуиции или интеллекта — могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

— натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, …

— простых чисел

— чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в соответствующем параграфе этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество — это «мешок с элементами». Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество — это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов.

Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел Множества,их элементы,поджмножества - в помощь студенту является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M — множество, а a — его элемент, то пишут: a∈M, что означает «a принадлежит множеству M».

  • Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:
  • hleb∈VETEROK,
  • что означает: элемент «hleb» принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине «VETEROK».
  1. Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
  2. Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:
  3. VETEROK = {hleb, syr, maslo},
  4. A = {7, 14, 28}.

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p(x) — некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x, областью значений которых является множество M.

Тогда через M = {x | p(x)} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p(x) истинно.

Это выражение читается так: «Множество M, состоящее из всех таких x, что p(x)».

Например, запись

M = {x | x² — 3x + 2 = 0}

означает множество корней уравнения x² — 3x + 2 = 0, т. е. множество {1, 2}. Это конечное множество.

  • А следующим описанием задаётся множество всех целых чисел больше 5:
  • M = {x∈Z | x > 5},
  • это множество является бесконечным.

Описанием предпочтительно задавать и конечные множества, в которых очень много элементов, например, множество всех натуральных чисел от 2 до 22³:

M = {x∈N | 2

Источник: https://function-x.ru/sets1.html

Множества Операции над множествами (стр. 1 из 2)

  • РЕФЕРАТ
  • Множества. Операции над множествами
  • СОДЕРЖАНИЕ
  • Способы задания множества
  • Включение и равенство множеств
  • Диаграммы Эйлера-Венна
  • Операции над множествами
  • а) Объединение множеств
  • б) Пересечение множеств
  • в) Разность множеств
  • Дополнение множества

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

  1. Примеры множеств:
  2. 1) множество студентов в данной аудитории;
  3. 2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
  4. 3) множество точек данной геометрической фигуры;
  5. 4) множество чётных чисел;
  6. 5) множество корней уравнения х2-5х+6=0;
  7. 6) множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

  • Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.
  • Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а
  • Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5

А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А. N , но N, N. Если А — множество корней уравнения х2-5х+6=0, то 3 А, а 4 А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

  1. N- множество всех натуральных чисел;
  2. Z- множество всех целых чисел;
  3. Q- множество всех рациональных чисел;
  4. R- множество всех действительных чисел.
  5. Приняты также обозначения Z+ , Q+, R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и ZЇ, QЇ, RЇ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.
  6. Способы задания множества
  7. Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:
  8. 1) перечисление элементов множества;

2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком.

Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х2-5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}.

Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х2-5х+6=0}. Решив уравнение х2-5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.

Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х

Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.

Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А — пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.

  • Например, А={х | хІ+9=0, х
  • Включение и равенство множеств
  • Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х
  • Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х
  • Если Х
  • Диаграммы Эйлера-Венна

R} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет. У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х. У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В. У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: N Z, Z Q, Q R. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U.

Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.).

Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:

С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:

если А

В, а В С, то А С.

Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х

А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует х С, а поэтому А С.

Источник: https://mirznanii.com/a/315553/mnozhestva-operatsii-nad-mnozhestvami

1.Множества и подмножества. Операции над ними

Множества относятся
к основополагающим понятиям математики.
Синонимы множества – совокупность,
набор. Элементы, входящие во множество
– элементы множества. ().

К элементам множества предъявляется
только требование – быть точноопределёнными
и различными (должны удовлетворять
закону противоречия исключённого
третьего).З-н
исключённого третьего
:
любой элемент может либо принадлежать
множеству либо нет (третьего не дано).

З-н
противоречия:

должна быть возможность однозначно
судить элементы множеству или.
Порядок элементов в множестве безразличен.

Множества по числу элементов делятся
на: конечные и бесконечные.

Ø — пустое множество
(не содержит ниодного элемента).

Множества и
подмножества

АсВ
(А – подмножество В), еслисправедливо, следовательно.

–справедливо.
Любое множество является подмножеством
самого себя. Если ,
то А – собственное подмножество В.

(собственное)(несобственное).
Пустое множество – подмножество А –
истина вследствие ложной последовательности.

Равенство
множеств

Множества равны, если они состоят из
одних и тех же элементов. А=В тогда и
только тогда, когда .

Операции над
множествами

1)Объединение
множеств – множество, к-е содержит все
элементы объединяющихся множеств
(теоретикомножественное сложение).

png» width=»71″>,
С- состоит из всех тех элементов, к-е
принадлежат множеству А или В.;

qzoo/img-orDebM.png» width=»69″>.

2) Пересечение
множеств – мн-во, состоящее из эл-в, к-ые
принадлежат всем множествам. ,

qzoo/img-8XTWd4.png» width=»96″>;.
Если

png» width=»59″>Ø , то А и В не пересекаются.

3)Разность множеств
– мн-во состоящее из элементов, к-ые
принадлежат 1-му множеству и не принадлежат
второму. С=АВ.

Все множества,
к-ые рассматриваются одновременно при
операциях, должны быть подмножеством
«универсума» (основного множества) .
От выборазависит, что считать дополнением.

Беулеан М –
множество всех подмножеств множества
М. АВ=..

Принцип
двойственности

Одним из вариантов выражения двойственности
является принцип де Моргана.

1)Рассмотрим любой
элемент LcP
и докажем, что любой элемент P
принадлежит L.
,
если

png» width=»38″>дополнению, то он непоследнему..
Но если

png» width=»67″>,
тои,.

Значит.

2) PcL.

2. Основные равносильности алгебры множеств

Основные операции:
объединение, пресечение, дополнение.

Применяя операции над подмножеством
некоторого основного множества
принадлежащие множеству всех подмножеств,
в результате получаем некоторое
подмножество основного множества.

Множество всех подмножеств основного
множества с определёнными в этом
множестве тремя операциями, к-ые обладают
определённым набором свойств – алгебра
множеств.

Основные
свойства:

  • 2) Закон идемпотентности:
    ,.
  • 3) Закон коммутативности:
    ,.
  • 4) Свойство
    ассоциативности: ,.
  • 5) Закон де Моргана:
    ,.
  • 6) Закон
    дистрибутивности: ,.
  • 7) Закон тождества:
    Ø,.
  • 8) Закон отрицания:
    ,Ø.
  • 9) Закон поглощения:
    ,.

Основное множество
иногда называют и обозначают единицей
алгебры. Пустое множество — нуль.
Пересечение — умножение. Объединение –
сложение.

Правило опускания
скобок:
приоритет
операций: скобки можно опускать если
согласно приоритету операций
восстанавливается требуемая
последовательность операций. —
однотипно.

Эквивалентные
множества. Мощность множества

2 множ. эквивал. если между их элем. можно
установ. взаимооднозначное соответств.
(+ одинаковое число элементов). Множество
счётных чисел эквивалентно множеству
натуральных чисел.

Мощностью множества
называется то общее, что есть у всех
множеств эквивалентных данному
множеству.|A|=W.
Множество целых чисел – чётное множество.
Несчётное множество – бесконечное
множество не эквивалентное счётному
множеству. Континиум – самый простой
пример несчётного множества.

Например,
множество точек отрезка [0;1] имеет
мощность множества континиума.

Источник: https://studfile.net/preview/1413952/

Ссылка на основную публикацию