Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции — в помощь студенту

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту Математический образовательный портал.»Математика это просто!» — посетите наш сайт и убедитесь в этом.
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц. Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам S = √()()()
  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
  6. где S — площадь треугольника,

    • a, b, c
    • h
    • γ
    • a
    • b
    • r

    — длины сторон треугольника, — высота треугольника, — угол между сторонами и , — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности,

    p = 
    1. a
    2. b
    3. c

    + +

      — полупериметр треугольника.
    2

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади квадрата по длине стороны Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
  2. Формула площади квадрата по длине диагонали Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
  3. где S — Площадь квадрата,

    a

    — длина стороны квадрата,

    d

    — длина диагонали квадрата.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон где S — Площадь прямоугольника,a, b — длины сторон прямоугольника.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
  3. где S — Площадь параллелограмма,

    • a, b
    • h
    • α

    — длины сторон параллелограмма, — длина высоты параллелограмма, — угол между сторонами параллелограмма.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

2 где S — Площадь ромба,

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. a
  2. h
  3. α
  4. d

— длина стороны ромба, — длина высоты ромба, — угол между сторонами ромба, 1,

d

2 — длины диагоналей. Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула Герона для трапеции
    S =  a + b √(

    • p — a
    • p — b
    • p — a — c
    • p — a — d

    )()()()

    4|a — b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту где S — Площадь трапеции,

    a, b

    — длины основ трапеции,

    c, d

    — длины боковых сторон трапеции,

    p = 
    1. a
    2. b
    3. c
    4. d

    + + +

      — полупериметр трапеции.
    2

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
  2. где S — площадь четырехугольника,

    d

    1,

    d

    2 — длины диагоналей четырехугольника,

    α

    — угол между диагоналями четырехугольника.

  3. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS =

    p

    ·

    r

  4. Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных угловS = √(
    • p — a
    • p — b
    • p — c
    • p — d
    • abcd

    )()()() — cos2

    θ

    1. a
    2. b
    3. c
    4. d

    где S — площадь четырехугольника,, , , — длины сторон четырехугольника,

    p = 
    • a
    • b
    • c
    • d

    + + +

      — полупериметр четырехугольника,
    2
    θ =  α + β  — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
    2
  5. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружностьS = √(
    1. p — a
    2. p — b
    3. p — c
    4. p — d

    )()()()

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади круга через радиус Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.
  2. Формула площади круга через диаметр Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.
  3. где S — Площадь круга,

    r

    — длина радиуса круга,

    d

    — длина диаметра круга.

    Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи. где S — Площадь эллипса,

    a

    — длина большей полуоси эллипса,

    b

    — длина меньшей полуоси эллипса.

Добавить комментарий

Источник: http://o-math.com/math/formula/area/

5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

  • Видеоурок 1: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — часть 1
  • Видеоурок 2: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — часть 2
  • Лекция: Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
  • Площадь треугольника

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Как уже говорилось при изучении треугольников, при решении геометрических задач на произвольные фигуры, чаще всего приходят к решению треугольников. Именно поэтому формулы для нахождения площадей треугольников занимают особенное место.

Итак, начнем с самого распространенного треугольника – прямоугольный треугольник. Так как прямоугольный треугольник – это половина прямоугольника, то и его площадь находится, как половина произведения катетов:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Данная формула была получена из основной формулы для треугольников:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

В формуле имеется значение синуса угла между сторонами a и b.

Зная высоту и одну сторону треугольник, к которой проведена высота, можно воспользоваться следующей формулой:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Для определения площади можно воспользоваться популярной формулой Герона. Для нахождения площади потребуется знать все три стороны и величину полупериметра:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Если вокруг треугольника описана окружность, то для нахождения площади можно воспользоваться следующей формулой:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Если же окружность наоборот вписана, то для нахождения площади необходимо найти произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь квадрата

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Площадь квадрата находится, как квадрат его стороны или полуквадрат длины диагонали:
  2. Площадь прямоугольника
  3. Площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон:
  4. Площадь параллелограмма
  5. Площадь любого параллелограмма можно найти по известной стороне и высоте или же по двум сторонам и углу между ними:
  6. Площадь трапеции
  7. Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой Герона для трапеций:
  8. Но есть и более простая формула для нахождения площади трапеции – по известным длинам оснований и высоте:
  9. Площадь круга
  10. Для нахождения площади круга следует знать либо значение радиуса, либо диаметра круга:
  11. Площадь сектора
  12. Для нахождения площади сектора, следует умножить радиус соответствующей окружности на длину дуги сектора. Напомним, что длина дуги находится произведением радиуса на соответствующую радианную меру дуги:
Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/734-555-ploschad-treugolnika-parallelogramma-trapecii-kruga-sektora.html

Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Напомним, что площадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник. За единицу измерения площади принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Площадь многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.

Вспомним некоторые свойства площадей.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом , то площадь этого квадрата выражается числом .

Первое и второе свойства называют основными свойствами площадей.

Теперь вспомним, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Прежде чем вспомнить, чему равна площадь параллелограмма, напомним, что высотой параллелограмма, проведённой к стороне, называется перпендикуляр (или его длина), проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону. Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь треугольника. Напомним, что высотой треугольника называется перпендикуляр (или длина перпендикуляра), проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

Вспомним теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Итак, если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь трапеции. Напомним, что высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение. Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь ромба равна половине произведения длин диагоналей.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  • Площадь круга радиуса  можно вычислить по формуле .
  • Сектором называется часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
  • Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.
  • Площадь сектора, ограниченная дугой, градусная мера которой равна  градусов, можно найти по формуле .
  • Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Найдите периметр прямоугольника , если его площадь равна см², а сторона  в два раза больше стороны .

Решение.

Задача вторая. Длина стороны  параллелограмма  равна  см. Найдите высоту, проведённую к этой стороне, если площадь параллелограмма равна  см².

Решение.

Задача третья. В равнобедренном треугольнике  боковые стороны  и  равны  см, основание  равно  см. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Задача четвёртая. Медиана  прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , равна  см. Проекция  медианы  на гипотенузу  равна  см. Найдите площадь треугольника .

Решение.

Задача пятая. Диагонали ромба  относятся как . Найдите площадь ромба, если его периметр равен  см.

Решение.

Задача шестая. У равнобедренной трапеции  основание  равно  см, основание  равно  см, боковая сторона равна  см. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Задача седьмая. Площадь квадрата равна см². Найдите площадь части квадрата, лежащей вне вписанной в него окружности.

Решение.

Задача восьмая. Длина окружности, ограничивающей круг, равна  см. Градусная мера вписанного в окружность  равна . Найдите площадь сектора, ограниченного дугой, на которую опирается вписанный угол, и радиусами, соединяющими концы этой дуги с центром круга.

Решение.

Источник: https://videouroki.net/video/30-ploshchad-treugolnika-parallelogramma-trapecii-kruga-sektora.html

Площадь трапеции

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту, где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту, где DP – внешняя высота в

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту
Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.

Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи.

Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами».

Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC.

Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)

4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать.

Для остальных рассказываю дальше.

Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

  • Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то  — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.

3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.

4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции

6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.

7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.

9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения.

Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4.

Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/ploshhad-trapecii/

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  • Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .
  • Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).
  • Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:
  • SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.
  • Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:
  • SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.
  • Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:
  • Sп−гр=a⋅h.
  • Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.
  2. Формула определения площади ромба:
  3. Sромба=d1⋅d22.
  4. Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.
  5. Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:
  6. Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту 

  • Sтреуг=aha2, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).
  • Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.
  • Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.
  • — формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

  1. Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:
  2. S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.
  3. Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.

  • Решение:
  • p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.
  • Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.

  1. Решение:
  2. используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.
  3. Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.
  4. SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.
  5. Составляем уравнение:
  6. 15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.  

  • Решение:
  • диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:
  • Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ. 

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.
  2. Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:
  3. Sтрап=a+b2⋅h.

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/ploshchadi-figur-9235/ploshchad-parallelogramma-treugolnika-i-trapetcii-9238/re-5498cfac-2fcc-49e0-a4ac-23cf5dabe20d

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, h — высота треугольника, γ — угол между сторонами a и b, r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности,
    p =  a + b + c   — полупериметр треугольника.
    2

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h

  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    S = a · b · sin α

  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними. где S — Площадь параллелограмма, a, b — длины сторон параллелограмма, h — длина высоты параллелограмма, d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма, α — угол между сторонами параллелограмма, γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h

  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

    S = a2 · sin α

  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. где S — Площадь ромба, a — длина стороны ромба, h — длина высоты ромба, α — угол между сторонами ромба, d1, d2 — длины диагоналей.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула Герона для трапеции
    S =  a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
    |a — b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту где S — площадь трапеции, a, b — длины основ трапеции, c, d — длины боковых сторон трапеции,
    p =  a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
    2

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними: где S — площадь четырехугольника, d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника.
  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

    S = p · r

  3. Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ

    где S — площадь четырехугольника,

    • a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
    • p = a + b + c + d2  — полупериметр четырехугольника,
    • θ = α + β2  — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Формула площади круга через радиус Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

    S = π r2

  2. Формула площади круга через диаметр Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи. где S — Площадь круга, r — длина радиуса круга, d — длина диаметра круга.

© 2011-2020 Довжик МихаилКопирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/

Матвокс ⋆ площадь трапеции, через площади треугольников, образованных ее диагоналями ⋆ энциклопедия математики

Skip to contentКак найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Площадь трапеции, через площади треугольников, образованных ее диагоналями

Рассмотрим трапецию ABCD. Точку пересечения ее диагоналей обозначим буквой О.

Докажем, что площадь трапеции ABCD будет равна:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студентуКак найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 1

Диагонали трапеции, разбили ее на 4 треугольника. Следовательно, площадь этой трапеции будет равна сумме площадей этих четырех треугольников:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

По свойствам диагоналей трапеции, площади треугольника, образованные их пересечением и боковыми сторонами, равны:

Тогда формулу трапеции можно переписать:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

По свойствам диагоналей трапеции, треугольники, образованные их пересечением и основаниями, подобны:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

Из теоремы об отношении площадей подобных треугольников следует:

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

Так как равны правые части в равенствах, то будут равны и левые:

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 2

  • Итак, на шагах 2 и 3 получили формулы:
  • Так как в последних двух равенствах левые части равны, то будут равны и правые:
  • Отсюда:
  • Тогда:
  • Здесь записан развернутый вид формулы квадрата суммы двух выражений:
  • Таким образом, была выведена формула, которая позволяет найти площадь трапеции, через площади треугольников, образованных ее диагоналями.

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 4

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-3-trapeciya-i-ee-svoistva/ploschad-trapecii-cherez-ploschadi-treugolnikov/

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины
Articles-ads

Теорема 1

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины ᴇᴦο стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически ϶то можно записать следующим образом

[S=ah]

Доказательство.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  • Рисунок 1.
  • Очевидно, что фигура FDAE — прямоугольник.
  • Отсюда следует, что, так как CD=AB, DF=AE=h , по I признаку равенства треугольников riangle BAE= riangle CDF . Тогда
  • Значит по теореме о площади прямоугольника:
  • Теорема доказана.

[angle BAE={90}^0-angle A, ] [angle CDF=angle D-{90}^0={180}^0-angle A-{90}^0={90}^0-angle A=angle BAE] [S_{FDAE}=S_{ABCD}-S_{CDF}+S_{BAE}=S_{ABCD}-S_{CDF}+S_{CDF}=S_{ABCD}] [S_{ABCD}=S_{FDAE}=ah]

Теорема 2

  1. Площадь параллелограмма определяется как произведение длины ᴇᴦο смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
  2. Математически ϶то можно записать следующим образом
  3. где a, b стороны параллелограмма, alpha — угол между ними.
  4. Доказательство.

[S=absinalpha ] Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  • Рисунок 2.
  • По определению синуса, получим
  • Отсюда следует, что
  • Значит, по теореме 1 :
  • Теорема доказана.

[sinalpha =frac{DF}{CD}=frac{h}{b}] [h=bsinalpha ] [S=ah=absinalpha ]

Теорема 3

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины ᴇᴦο стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически ϶то можно записать следующим образом

[S=frac{1}{2}ah]

Доказательство.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции - в помощь студенту

  1. Рисунок 3.
  2. Очевидно, что по I признаку равенства треугольников riangle ACB= riangle CDB . Тогда
  3. Значит по теореме 1 :
  4. Теорема доказана.

[S_{ABC}=frac{1}{2}S_{ABCD}] [S_{ABC}=frac{1}{2}ah]

Теорема 4

  • Площадь треугольника определяется как половина произведения длины ᴇᴦο смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
  • Математически ϶то можно записать следующим образом
  • где a, b стороны треугольника, alpha — угол между ними.
  • Доказательство.

[S=frac{1}{2}absinalpha ]

  1. Очевидно, что по I признаку равенства треугольников riangle ACB= riangle CDB . Тогда
  2. Значит по теореме 1 :
  3. Теорема доказана.

[S_{ABC}=frac{1}{2}S_{ABCD}] [S_{ABC}=frac{1}{2}absinalpha ]

Теорема 5

  • Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин ᴇᴦο оснований, на ᴇᴦο высоту.
  • Математически ϶то можно записать следующим образом
  • Доказательство.

[S=frac{1}{2}(a+b)h]

  1. Рисунок 4.
  2. По теореме 3 , получим
  3. Тогда
  4. Теорема доказана.

[S_{ABCK}=S_{ABK}+S_{BCK}] [S_{ABK}=frac{1}{2}AKcdot BM=frac{1}{2}ah, S_{BCK}=frac{1}{2}BCcdot KP=frac{1}{2}bh] [S_{ABCK}=frac{1}{2}ah+frac{1}{2}bh=frac{1}{2}(a+b)h]

Пример 1

  • Найти площадь равностороннᴇᴦο треугольника, если длина ᴇᴦο стороны равняется a.
  • Решение.
  • Так как треугольник равносторонний, то всœе ᴇᴦο углы равняются {60}^0 .
  • Тогда, по теореме 4 , имеем
  • Ответ: frac{a^2sqrt{3}}{4} .
  • Заметим, что результат задачи можно использовать при нахождении площади любого равностороннᴇᴦο треугольника с даннои̌ сторонои̌.

[S=frac{1}{2}acdot acdot sin{60}^0=frac{a^2sqrt{3}}{4}]

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции»2018-2019.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/510_kak_nayti_ploschad_parallelogramma_treugol_nika_trapecii

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. — презентация

  • 1 Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
  • 2
  • 3 Т УР ВЫСОТАГЕ РОМУ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ПДО ЕИЛ ЦАЬ ИНН ЯАГИПОТЕНУЗА К
  • 4 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту
  • 5 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту Дано: ABCD- параллелограмм FD-основание BH, CK- высота S- площадь ABCD Доказать: S=AD BH
  • 6 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту Доказательство: ABCK-трапеция ABCK=ABCD+CDK ABCK=BHKС+ABH
  • 7 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту ABH = CDK ABH = CDK AB = CD AB = CD 1 = 2 1 = 2 Значит, S ABH =S CDK
  • 8 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту S ABCK = S ABCD + S CDK S ABCK = S BHKC + S ABH
  • 9 Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту S ABCD = S BHKC =S

10 !Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту S BHKC = BC BH S BHKC = BC BH Т.к. BC = AD, то Т.к. BC = AD, то S = AD BH S = AD BH

  1. 11 Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту
  2. 12 Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту Дано: ABC AB-основание CH-высота S — площадь ABC Доказать: Доказать: S= 1/2 AB CH S= 1/2 AB CH
  3. 13 Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту Доказательство:

14 Доказательство: ABC = DCB т.к. 1.CB-общая 2.AB=DC 3.AC=DB

15 Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту Доказательство: S ABDC =2 S ABC

16 Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту Доказательство: S ABDC =CH AB

17 ! Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту Доказательство: S ABC= 1/2 CH AB Что и требовалось доказать.

  • 18 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту
  • 19 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Дано:ABCD-трапеция AD, BC-основания BH- высота S- площадь ABCD Доказать: S ABCD =1/2(AD+BC)BH
  • 20 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: BD-диагональ
  • 21 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: S ABCD =S ABD +S BCD
  • 22 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: Дополнительное построение.
  • 23 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: S ABD =1/2 BH AD
  • 24 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: S BCD =1/2 DH1 BC
  • 25 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство:DH1=BH S BCD =1/2 BH BC
  • 26 Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: S ABCD = 1/2 BH AD+1/2 BH BC

27 ! Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту Доказательство: S ABCD = 1/2(AD+BC)BH Что и требовалось доказать.

  1. 28 Решение задач
  2. 29 Задача 1 Задача 1 Дано: ABCD -параллелограмм AB = 6 см AD= 10 см A=30 0 Найти: S ABCD -?
  3. 30 Задача 1 Задача 1 Ответ: S ABCD =30 см 2 S ABCD =30 см 2
  4. 31 Задача 2 Задача 2 Дано: ABCD -параллелограмм BD= 5 см AD=8 cm A=60 0 A=60 0 BD AB Найти: S ABCD -?
  5. 32 Задача 2 Задача 2 Ответ: S ABCD =20 см 2 S ABCD =20 см 2
  6. 33 Дано: ABCD -параллелограмм AD= 12 см AB=10 cm B=150 0 B=150 0 Найти: S ABCD -? Задача 3 Задача 3
  7. 34 Ответ S ABCD =60 см 2
  8. 35 Дано: ABC -треугольник BC= 8 см AC=9 cm C=30 0 C=30 0 Найти: S ABC -? Задача 4 Задача 4
  9. 36 Ответ: S=18 СМ 2 Задача 4 Задача 4
  10. 37 Дано: ABCD-квадрат AB=5 см KD=4 см Найти: S ABC- ? Задача 5 Задача 5
  11. 38 Ответ: S ABC =15 см 2 Задача 5 Задача 5
  12. 39 Задача 6 Задача 6 Дано: ABC-треугольник AD= 7 см ADB=135 0 C=90 0 C=90 0 Найти: S ABC -?
  13. 40 Задача 6 Задача 6 Ответ S ABC =60 см 2
  14. 41 Домашняя работа Задача Высота, проведенная из вершины тупого угла прямоугольной трапеции, отсекает квадрат, площадь которого 16 см 2. Найдите площадь трапеции, если её тупой угол равен

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1210291/

Ссылка на основную публикацию