Формулы прогрессий. арифметическая прогрессия. геометрическая прогрессия — в помощь студенту

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Определение Арифметической прогрессией an называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d — разность прогрессий) Геометрической прогрессией bn называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q  — знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула Для любого натурального n an + 1 = an + d Для любого натурального n bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
Формула n-ого члена an = a1 + d ( n – 1) bn = b1 ∙ qn — 1, bn ≠ 0
Характеристическое свойство Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Сумма n-первых членов Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Примеры заданий с комментариями

В арифметической прогрессии (an ) a1 = -6, a2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

  • По формуле n-ого члена:
  • a22 = a1 + d (22 — 1) = a1 + 21 d
  • По условию:
  • a1 = -6, значит a22 = -6 + 21 d.
  • Необходимо найти разность прогрессий:
  • d = a2 – a1 = -8 – (-6) = -2
  • a22 = -6 + 21 ∙ (-2) = — 48.
  • Ответ: a22 = -48.

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;….

  1. 1-й способ (с помощью формулы n -члена)
  2. По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
  3. b5 = b1 ∙ q5 — 1 = b1 ∙ q4 .
  4. Так как b1 = -3,
  5. а Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
  6. 2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)
  7. Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:
  8. b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
  9. b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
  10. b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
  11. Ответ: b5 = -48.

В арифметической прогрессии (an ) a74 = 34; a76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

  • Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту.
  • Из этого следует:
  • Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту.
  • Подставим данные в формулу:
  • Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
  • Ответ: 95.

В арифметической прогрессии (an ) an = 3n — 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

  1. Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:
  2. Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту.
  3. Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (an ) an = 3n — 4. Можно найти сразу и a1 , и a16 без нахождения d. Поэтому воспользуемся первой формулой.

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Ответ: 368.

В арифметической прогрессии(an ) a1 = -6; a2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

  • По формуле n-ого члена:
  • a22 = a1 + d (22 – 1) = a1 + 21d.
  • По условию, если a1 = -6, то a22 = -6 + 21d. Необходимо найти разность прогрессий:
  • d = a2 – a1 = -8 – (-6) = -2
  • a22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
  • Ответ: a22 = -48.
  • Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
  • Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

При решении воспользуемся формулой n-го члена bn = b1 ∙ qn — 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии.

Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3.

Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

  1. Подставив найденные значения в формулу, получим:
  2. .
  3. Ответ: .
  4. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a27 > 9:
  5. 1) ;
  6. 2) ;
  7. 3) ;
  8. 4) .
  9. Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:
  10. .
  11. Ответ: 4.

В арифметической прогрессии a1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n, для которого выполняется неравенство an > -6.

  • Воспользуемся формулой n-го члена.
  • an = a1 + d (n – 1) > -6.
  • Подставим данные в условии значения в формулу:
  • 3 – 1,5n + 1,5 > -6
  • 6 + 4,5 > 1,5n
  • n < 7
  • Ответ: Наибольшее значение n = 6.

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а третьего и четвертого — 168,75. Найдите первых три члена прогрессии.

  1. Составим систему уравнений:
  2. Подставим b1 во второе уравнение:
  3. Тогда:
  4. .

Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 4, а частное от деления пятого члена на седьмой равно 9. Найдите четвертый член этой прогрессии.

  • Составим систему уравнений:
  • При .
  • При .
  • При получим те же значения: .
  • При .
  • При получим те же значения .

Источник: http://www.e-biblio.ru/xbook/new/xbook303/book/part-004/page.htm

Задачи с практическим содержанием по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» — скачать презентацию

Слайд 1Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задачи с практическим содержанием по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Слайд 2Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

: Арифметическая прогрессия Теория Задачи для самостоятельного решения Геометрическая прогрессия Теория Задачи для самостоятельного решения Занимательные задачи на применение формул прогрессий

Слайд 3Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Арифметическая прогрессия: Арифметической прогрессией называется ряд чисел, в котором каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным числом Формула п — го члена: ап= а1+ d(п-1) d- разность арифметической прогрессии: d= ап+1 — ап Характеристическое свойство: ап = (ап-1 + ап+1 ): 2 Формулы суммы п- первых членов:

Слайд 4Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задача 1: Диаметры пяти шкивов, насаженных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию. Найти диаметры шкивов, если сумма первого и третьего составляет 268 мм, а второго и четвертого — 316 мм.

Решение: По условию задачи а1 + а3 = 268; а2 + а4 = 316, найти требуется а1, а2, а3, а4, а5 Составим и решим систему уравнений, используя формулу ап = а1+ d(п-1) Подставив полученные значения в формулу ап = а1+ d(п-1), найдем остальные значения а2 = 134, а3 = 158, а4 = 182, а5 = 206 Ответ: 110, 134, 158, 182, 206

Слайд 5Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задача 2: За изготовление и установку первого железобетонного кольца колодца заплатили 100 уе., а за каждое следующее кольцо платили на 20 уе. больше, чем за предыдущее.

Средняя стоимость одного кольца и его установки оказалась равной 220 уе. Сколько колец было установлено? Решение: По условию задачи а1 = 100, d = 20, Sn:n = 220, а найти требуется n.

По формуле: значит Sn :n = (2а1+ d(п-1)):2 220 = (2·100 + 2(п-1)):2 440 = 200 + 2п – 2 п = 13 Ответ: 13

Слайд 6Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задача 3: За первый день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий день — на 3 га больше, чем в предыдущий. Найти, сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней. Решение: По условию задачи а1 = 100, d = 3, n = 19, значит найти требуется S19. По формуле: Ответ: 2413

Слайд 7Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задача 4: Два тела, находясь на расстоянии 153 м друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело движется со скоростью 10 м/с, второе в первую секунду прошло 3 м, а в каждую последующую — на 5 м больше, чем в предыдущую.

Через сколько секунд тела встретятся? Решение: Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле: S=V·t. Движение второго тела подчиняется законам арифметической прогрессии где а1 = 3, d = 5 Поэтому необходимо найти t.

Из условия задачи получаем уравнение: 5t2 + 21t -153 =0 t1=6, t2= -10,2 Второй корень не удовлетворяет условию t Ответ: 6

Слайд 8Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задачи для самостоятельного решения: За изготовление и установку первого железобетонного кольца заплатили 100 уе., а за каждое следующее кольцо платили на 20 уе. больше, чем за предыдущее. На постройку колодца израсходовали 9 колец.

Какова стоимость колодца? Ответ:1620 За рытье колодца оплачивается за первый метр глубины 150 уе., а за каждый следующий – на 10 уе. больше, чем за предыдущий. Вычислить стоимость работы, если глубина колодца составила 10 м.

Ответ:1950 Шар, катящийся по желобу, в первую секунду проходит 0,6 м, а путь, пройденный в каждую следующую секунду, увеличивается на 0,6 м.

Сколько секунд будет двигаться шар по шестиметровому желобу? Ответ:4 Турист, двигаясь по пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 в, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на путь, равный 5700 м? Ответ: 8

Слайд 9Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Геометрическая прогрессия: Геометрическая прогрессия — это ряд чисел, каждое из которых получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этого ряда число Формула п — го члена: bп= b1 ·qn­1 q- знаменатель геометрической прогрессии: q= bn+1 : bn Характеристическое свойство: Формулы суммы п — первых членов:

Слайд 10Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студентуОписание слайда:

Задача 1: Известно, что бактерия в питательной среде через каждые полчаса делится на две.

Сколько бактерий может образоваться из одной бактерии за 10 часов? Решение: Бактерия была одна, следовательно, b1=1.

Она делится на две, значит q=2, а так как время деления полчаса, то за 10 часов произойдет 20 делений и нам нужно найти b21 По формуле bп= b1 ·qn­1 b21 = 1·220 =1048576 ≈ 1,05·106 Ответ: 10,5·106

Слайд 11Описание слайда:

Задача 2: После каждого качания поршня под колоколом воздушного насоса давление воздуха уменьшается на 0,83 начального давления.

Определить, как велико будет давление воздуха под колоколом после 15 качаний, если первоначальное давление было равно 760 мм ртутного столба.

Решение: Из условия задачи получаем, что b1=760; q=0,83; n = 16, а найти необходимо b16 . По формуле bп= b1 ·qn­1 , значит: b16=760 ·0,8315 ≈ 46,45 Ответ: 46,45

Слайд 12Описание слайда:

Задача 3: Мощности пяти электромоторов составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность первого 5 кВт, а третьего 9,8 кВт. Рассчитать мощности остальных электромоторов (ответ дать в кВт).

Читайте также:  Система географических координат - в помощь студенту

Решение: По условию задачи b1=5; b3=9,8; n = 5, значит нам необходимо найти b2, b4, b5 Для решения применим формулы: q= bn+1 : bn , bп= b1 ·qn­1, По условию задачи для того, чтобы найти остальные значения, найдем q, q=b2 : b1 = 7:5 = 1,4 b4 = 9,8 ·1,4 = 13,72 b5 = 13,72 ·1,4 = 19,208 Ответ: 7; 13,72; 19,208

Слайд 13Описание слайда:

Задача 4: В сберегательный банк внесли вклад в размере 10000 рублей с доходом 2% годовых.

Какую сумму выплатит банк вкладчику через 4 года? (ответ дать в рублях) Решение: За один год банк выплатит S1 = b1 + b1 q=b1 ·(1+q), где b1- вклад, q- процентная ставка. За 2 года S2 =S1+S1q = S1 (1+q), но S1=b1·(1+q), следовательно, S2=b1·(1+q)2.

Тогда за n лет Sn = b1·(1+q)n Найдем по этой формуле S4 , S4 = b1·(1+q)4 10000·(1+2%:100%)4 = 10000 · 1,02 4 = 10824,32 10824 руб. 32 коп. Ответ:10824,32

Слайд 14Описание слайда:

Задача 5: Два товарища поспорили о том, что река должна покрыться льдом не ранее 20 декабря. Они условились, что если река покроется ледяным покровом раньше, то первый из них платит, а если позже, то получает за первый день 1 рубль, а за каждый последующий день в 1,5 раза больше. Река покрылась льдом 12 декабря.

Сколько заплатит первый? (ответ дайте в рублях, округлив до единиц) Решение: 1 день-1 руб, 2 день-1·1,5 руб, 3 день-1·1,5·1,5 руб. Получаем геометрическую прогрессию, где b1=1; q=1,5. Соответствие дней и членов геометрической прогрессии следующее: 12 декабря-b1 , 13 декабря-b2 ,…, 19 декабря-b8 . Получилось n = 8.

Применим формулу суммы: посчитаем S8 S8 = 1·(1,58­1) = 49,26 ≈ 49 (руб) Ответ: 49

Слайд 15Описание слайда:

Задачи для самостоятельного решения: Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%? Ответ: 70,8 тыс м³ Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две, а каждая из них к концу следующих 20 минут вновь делится на две и т.д. Найти число бактерий, образовавшихся из одной бактерии к концу суток. Ответ:272 Клиенту в банке предлагают сделать вклад на условии 2% в месяц. Какая сумма будет на счету через: а) два месяца, б) полугодие, в) десять лет, если первоначальная сумма вклада равнялась 100 тыс. руб (ответ дайте в рублях, округляя до сотых). Ответ: а) 104040; б) 112616,24; в)1076516,3 Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объём параллелепипеда равен 216 м³, а сумма длин всех его ребер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда. Ответ:2 м, 6м, 18 м

Слайд 16Описание слайда:

Занимательные задачи на применение формул прогрессий Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тысяч руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй — 2 коп., в третий — 4 коп., в четвертый — 8 коп. и т.д. в течение 30 дней.

Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от сделки? Ответ: получил 3·106 руб., отдал примерно 107 руб., богач проиграл У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 3000 лет тому назад.

Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. Ответ:29000 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий.

Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)? Ответ: 2 пузырька Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания.

За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м? Ответ: 10 минут

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/zadachi_s_prakticheskim_soderzhaniem_po_teme_arifmeticheskaya_i_geometricheskaya_progressii

Прогрессии и числовые последовательности в Excel

Изучим как сделать арифметическую и геометрическую прогрессии в Excel, а также в общем случае рассмотрим способы создания числовых последовательностей.

Перед построением последовательностей и различных прогрессий, как обычно, вспомним их детальные определения.

Числовая последовательность — это упорядоченный набор произвольных чисел a1, a2, a3, …, an, … .

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением постоянной величины d (также называют шагом или разностью):

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на ненулевое число q (также называют знаменателем):

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Арифметическая прогрессия в Excel

Рассмотрим 2 способа задания прогрессии в Excel — с помощью стандартного инструмента Прогрессия и через формулы.
В первом случае на панели вкладок выбираем Главная -> Редактирование -> Заполнить -> Прогрессия:

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
В данных настройках мы можем выбрать дополнительные параметры, которые позволят нам более детально настроить и заполнить прогрессию в Excel:

  • Расположение — расположение заполнения (по столбцам или строкам);
  • Тип — тип (арифметическая, геометрическая, даты и автозаполнение);
  • Единицы — вид данных (при выборе даты в качестве типа);
  • Шаг — шаг (для арифметической) или знаменатель (для геометрической);
  • Автоматическое определение шага — автоматическое определение шага, если заданы несколько значений последовательности;
  • Предельное значение — ограничение по значению последнего элемента последовательности.

Разберем как сделать арифметическую прогрессию в Excel на конкретном примере.

Создадим набор чисел 3, 7, 11, … , то есть первый элемент равняется 3, а шаг равен 4.

Выделяем диапазон (к примеру, A1:J1) в котором мы хотим разместить набор чисел (диапазон можно и не выделять, однако в этом случае в настройках будет необходимо указать предельное значение), где в первой ячейке будет указан первый элемент (в нашем примере это 3 в ячейке A1), и указываем параметры (расположение, тип, шаг и т.д.):

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Для этого также задаем начальный элемент в первой ячейке, а в последующих ячейках указываем рекуррентную формулу члена арифметической прогрессии (то есть текущий член получается как сумма предыдущего и шага):

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Геометрическая прогрессия в Excel

Принцип построения геометрической прогрессии в Excel аналогичен разобранному выше построению арифметической.
Единственное отличие — в настройках характеристик указываем в качестве типа геометрическую прогрессию.

Например, создадим набор чисел 4, 8, 16, … , то есть первое число равно 4, а каждое последующее в 2 раза больше предыдущего.
Также задаем начальный элемент (4 в ячейке A1), выделяем диапазон данных (например, A1:J1) и указываем параметры:

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Числовая последовательность в Excel

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются частными случаями числовой последовательности, в общем же случае ее можно создать, как минимум, тремя способами:

  • Непосредственное (прямое) перечисление элементов;
  • Через общую формулу n-го члена;
  • С помощью рекуррентного соотношения, которое выражает произвольный член через предыдущие.

Первый способ подразумевает под собой ручной ввод значений в ячейки. Удобный вариант при вводе небольшого количества значений, в обратном же случае данный способ достаточно трудозатратный.
Второй и третий способы более универсальны, так как позволяют автоматически посчитать значения членов с помощью формул, что удобно при большом количестве элементов.

Поэтому поподробнее остановимся на построении последовательностей данными способами.

Рассмотрим создание числовой последовательности на примере построения обратных чисел к натуральным, то есть набора чисел 1, 1/2, 1/3, … , в котором общая формула n-го члена принимает вид Fn=1/n.
Создадим дополнительный ряд в отдельной строчке, куда для удобства расчета поместим порядковые номера (1, 2, 3 и т.д.), на которые будут ссылаться формулы:

В варианте с рекуррентной формулой рассмотрим пример с набором чисел Фибоначчи, в котором первые два числа равны 1 и 1, а каждый последующее число равно сумме двух предыдущих.

В итоге произвольный член можно представить в виде рекуррентного соотношения Fn = Fn-1 + Fn-2 при n > 2.

Определяем начальные элементы (две единицы) в двух ячейках, а остальные задаем с помощью формулы:

Удачи вам и до скорых встреч на страницах блога Tutorexcel.ru!

  • Как выбрать тип диаграммы в Excel?
  • Функция СМЕЩ в Excel

Источник: https://tutorexcel.ru/matematika/progressii-i-chislovye-posledovatelnosti-v-excel/

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Примеры

Примеры на арифметическую и геометрическую прогрессию взяты из «Сборника задач для абитуриентов. Математика» изданного Волынским государственным университетом имени Леси Украинки в 2001 году. Внимательно ознакомьтесь с ответами и выберите для себя самое необходимое.

Группа А (уровень 1)

Пример 1. Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; …, Решение: Найдем разницу (шаг) прогрессии d=a2-a1=22,4-21,3=1,1. Далее вычисляем шестой член арифметической прогрессии

a6=a1+(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.

Пример 2. Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20; … Решение: Найдем знаменатель геометрической прогрессии q=b2/b1=10/5=2. Вычисляем шестой член геометрической прогрессии b6=b1q6-1=5*25=5*32=160.

Пример 3. В арифметической прогрессии a1=2,1 a10=12,9. Вычислить разницу прогрессии. Решение: Представим десятый член прогрессии в виде формулы a10=a1+(10-1)d= a1+9d. Подставим известные значения и решим

Читайте также:  Бозоны и фермионы - в помощь студенту

12,9=2,1+9d; 9d=12,9-2,1=10,8;

d=10,8/9=1,2.

Ответ: разница прогрессии d=1,2.

Пример 4. В геометрической прогрессии b1=2,56; b4=4,42368. Вычислить знаменатель прогрессии. Решение: Находим знаменатель прогрессии q=b2/b1=4,42368/2,56=1,728. Без калькулятора здесь не обойтись.

Ответ: знаменатель прогрессии равен q=1,728.

Пример 5. В арифметической прогрессии a1=20,1, d=1,3. Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии. Решение: Cуму арифметической прогрессии находим по формуле

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Выполняем вычисления S8=(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2. Ответ: S8=197,2.

Пример 6. В геометрической прогрессии b1=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых четырех членов прогрессии. Решение: Cуму геометрической прогрессии вычисляем по формуле

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту

Находим сумму прогрессии Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту Ответ: S8=8,052.

Пример 7. В арифметической прогрессии a1=1,35 d=-2,4. Вычислить номер члена прогрессии, равный -25,05. Решение: Член арифметической прогрессии находят по формуле an=a1+(n-1)d. По условию задано все кроме порядкового номера известно, найдем его

-25,05=1,35+(n-1)(-2,4);

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту Ответ: n=12.

Пример 8. Вычислить седьмой член прогрессии 23,5; 24,82; 26,14; … Решение: Поскольку в условии не задано какая прогрессия задана, то сначала нужно ето установить . Получите, что арифметическая d=a2-a1=24,82-23,5=1,32; d=a3-a2=26,14-24,82=1,32. Находим седьмой член прогрессии

a7=a1+(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.

Ответ: a7= 31,42.

Пример 9. Вычислить номер члена прогрессии 2,1; 3,3; 4,5; … , равный 11,7. Решение: Легко убедиться, что задана арифметическая прогрессия. Найдем разницу прогрессии d=a2-a1=3,3-2,1=1,2. По формуле члена прогрессии

an=a1+(n-1)d

найдем номер

11,7=2,1+(n-1)*1,2;

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту Ответ: n= 9.

Пример 10. Вычислить четвертый член прогрессии 1,5; 1,8; 2,16; …. Решение: Без проверки можно сказать, что прогрессия — геометрическая. Найдем ее знаменатель q=b2/b1=1, 8/1,5=1,2. Вычислим 4 член геометрической прогрессии по формуле b4=b1q3=1,5*1,23=2,592. Ответ: b4=2,592.

Пример 11. Вычислить номер члена прогрессии 1,2; 1,8; 2,16; … равный 4,05. Решение: Имеем геометрическую прогрессию. Найдем знаменатель прогрессии q=b2/b1=1, 8/1,2=1,5. Найдем номер прогресии из зависимости

bn=b1qn-1.

4,05=1,2*1,5n-1; 1,5n-1=4,05/1,2=3,375=1,53; n-1=3; n=4. Ответ: n=4.

Пример 12. В арифметической прогрессии a5=14,91 a9=20,11. Вычислить a1. Решение: Выразим 9 член прогрессии через 5 a9= a5+(9-5)d и найдем шаг прогрессии

20,11=14,91+4d;

4d=5,2; d=5,2/4=1,3. Выразим 5 член прогрессии через 1 и вычислим первый a5= a1+4d; 14,91= a1+5,2; a1=14,91-5,2=9,71. Ответ: a1=9,71.

Пример 13. В арифметической прогрессии а7=12,01; a11=17,61. Вычислить разницу прогрессии. Решение: Выразим 11 член прогрессии через 7 a11= a7+(11-7)d. Отсюда вычислим шаг прогрессии

17,61=12,01+4d;

4d=5,6; d=5,6/4=1,4. Ответ: d=1,4.

Пример 14. В геометрической прогрессии b5=64; b8=1. Вычислить b3. Решение: Выразим 8 член прогрессии через 5 b8= b5q8-5. Отсюда находим знаменатель прогрессии

1=64 q3; q3=1/64=(1/4)3; q=1/4.

Подобным образом находим b3 через b5 b3= b5/q2=64*42=1024. Ответ: b3=1024.

Пример 15. В арифметической прогрессии а9+а15=14,8. Вычислить а12 Решение: В этом примере следует учесть, что 12 член прогрессии находится посередине между 9 ее номером и 15. Поэтому соседние члены прогрессии (9, 15) можно выразить через 12 следующим образом a9= a12-(12-9)d; a15= a12+(15-9)d; a9= a12-3d; a15= a12+3d. Просуммируем крайние члены прогрессии

a9+ a15= a12-3d+ a12+3d=2a12.

Отсюда находим 12 член прогрессии a12=(a9+a15)/2=14,8/2=7,4. Ответ: a12=7,4.

Пример 16. В геометрической прогрессии b10*b14=289. Вычислить модуль 12 члена прогрессии | b12|. Решение: Алгоритм решении задачи содержится в предыдущем примере. Следует выразить 10 и 14 член геометрической прогрессии через 12. По свойствам геометрической прогрессии получим b10= b12/q2; b14= b12*q2. Легко заметить, что при их произведения знамениик прогрессии пропадает

b10* b14= (b12)2=289=172.

Отсюда находим модуль | b12| (b12)2=289=172 -> | b12|=17. Ответ: | b12|=17.

Пример 17. В геометрической прогрессии b8=1,3. Вычислить b6*b10. Решение: Схема вычислений аналогична предыдущему примеру — выражаем 6 и 10 член прогрессии через 8. b6= b8/q2; b10= b8*q2. При их умножении знаменатели сокращаются и получим квадрат известного члена прогрессии

b6*b10= (b8)2=1,32=1,69.

Ответ: b6*b10=1,69.

Пример 18. В арифметической прогрессии а10=3,6: a12=8. Вычислить а8 Решение: Запишем члены прогрессии в ряд а8, а10, a12. Между ними одинаковый шаг, найдем его a12= a10+2d; 2d= a12- a10=8-3,6=4,4. Таким же методом находим а8 a10= a8+2d; a8= a10-2d=3,6-4,4=-0,8. Вот такие несложные расчеты.

Ответ: a8=-0,8.

Пример 19. В геометрической прогрессии b14=8; b16=2. Вычислить b12. Решение: Опуская подробные объяснения, запишем произведение 14 и 16 члена прогрессии b14*b16=(b12)2. Это равносильно среднему геометрическому. Найдя корень из произведения членов, получим искомое значение

(b12)2=8*2=16; b12=4.

Ответ: b12=4.

Пример 20. В арифметической прогрессии а5=3,4; a11=6,9. Вычислить а17. Решение: Между 5,11 и 17 членом прогрессии одинаковый шаг и он равен 6d. Поэтому конечное решение можно записать в виде а17= a11+6d= a11+(a11- а5)=2*6,9-3,4=10,4. Думаю, что Вы понимаете, почему такая запись. Если нет — попробуйте расписать 11 член прогрессии через 5 и виразить 6d. Ответ: а17=10,4.

Пример 21. Вычислить 6-й член геометрической прогрессии 3; 12;… . Решение: Найдем знаменатель прогрессии q=b2/b1=12/3=4. Воспользуемся общей формуле члена геометрической прогрессии

  • bn= b1*qn-1.
  • b6= b1*q5=b2*q4.
  • b6= 12*44=12*256=3072.
  • Ответ: b6=3072.

Отсюда получим Как видите, главное в записи, чтобы сумма индекса (2) и степень (4) соответствовала порядковому номеру члена прогрессии (6). Выполняем вычисления Получили большое число, но геометрическая прогрессия тем и отличается, что ее члены или быстро растут, или — сходят.

Пример 22. В арифметической прогрессии а3=48; a5=42. Вычислить а7. Решение: Так как разница прогрессии между заданными членами и искомым сталая и равна 2d то формула 7 члена прогрессии будет выглядеть а7= a5+2d= a5+(a5- а3); а7=2*42-48=36. Ответ: а7=36.

Пример 23. Вычислить сумму первых пятнадцати нечетных чисел. Решение: Запишем несколько членов этой прогрессии 1, 3, 5, … Разница прогрессии равна d=2. Вычислим 15 член прогрессии а15= а1+14d=1+14*2=29. Подставим в формулу суммы арифметической прогрессии

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту Ответ: Сумма прогрессии равна 225.

Пример 24. Вычислить первый член арифметической прогрессии, если сумма первых двенадцати ее членов равна 642 и двенадцатый член равен 48. Решение: Здесь нужно составить два уравнения из которых определить две неизвестные. Сумму 12 членов арифметической прогрессии можно найти по формуле Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту 12а1+66d=642. Второе уравнение запишем с формулы 12 члена прогрессии а12= а1+11d=48. Выразим 11d из второго уравнения и подставим в первое уравнение 11d=48-а1; 12а1+6*11d=642; 12а1+6*(48-а1)=642; 6а1+288=642; 6а1=642-288=354; а1=354/6=59. Ответ: а1=59.

Пример 25. Вычислить знаменатель геометрической прогрессии, состоящей из действительных чисел, если b5=162; b8=4374. Решение: Выразим 8 член геометрической прогрессии через 5 b8= b5*q3. Отсюда выразим знаменатель

q3= b8/ b5=4374/162=27=33; q=3.

Знаменатель равен 3. Ответ: q=3.

На этом простые задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию назад. Хорошо разберите приведены варианты и схемы вычислений, они не слишком сложные и понятно обоснованы.

Источник: https://yukhym.com/ru/matematika/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii-primery.html

Справочник репетитора по математике. Aрифметическая и геометрическая прогресcия

Определения, формулы и свойства основных числовых последовательностей курса алгебры средней школы. Для учащихся 9-х классов, школьных преподавателей и репетиторов по математике.

Арифметическая прогрессия:

Определение: последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой .

Рекуррентная форма задания арифметической прогрессии:
Формула n-ного члена: Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Формулы суммы первых n-членов арифметической прогрессии:
Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - в помощь студенту
Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
Числа a,b,c являются членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда второе число равно среднему арифметическому двух крайних чисел, то есть

Геометрическая прогрессия:

Определение: последовательность чисел, каждый следующий член которой, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией.

Это число обозначается буквой и называется знаменателем арифметической прогрессии.

Рекуррентная форма задания геометрической прогрессии:
Формула n-ного члена:
Формулы суммы первых n-членов геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:
Три ненулевых числа a,b,c являются членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат среднего числа равен произведению крайних, то есть:

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия

  • Определение: геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы и не равен нулю ( и ) называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией.
  • Формула суммы всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва. Строгино.

Он-лайн справочник по математике.

Источник: https://ankolpakov.ru/2011/01/17/spravochnik-repetitora-po-matematike-arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progresciya/

math4school.ru

  • Числовые последовательности (основные понятия)
  • Арифметическая прогрессия
  • Геометрическая прогрессия
  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
  • Связь арифметической и геометрической прогрессий

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:

a1, a2, a3, . . . , an, . . .  .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

  1. Из двух соседних членов an и an+1 последовательности член an+1 называют последующим (по отношению к an), а an — предыдущим (по отношению к an+1).
  2. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
  3. Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности  по его номеру.
  4. ► Например,
  5. последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой
  6. an = 2n –1,
  7. а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой
  8. bn = (–1)n+1. ◄        
  9. Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.
  10. ► Например,
  11. если  a1 = 1,  а  an+1 = an + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
  12. a1 = 1,
  13. a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6,
  14. a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11,
  15. a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16,
  16. a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21.
  17. Если  а1 = 1,  а2 = 1,  an+2 = an + an+1,  то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:
  18. a1 = 1,
  19. a2 = 1,
  20. a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2,
  21. a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3,
  22. a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5,
  23. a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8,
  24. a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13. ◄
  25. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.
Читайте также:  Вещи, деньги и ценные бумаги как объекты гражданских правоотношений - в помощь студенту

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.

► Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

  • бесконечная. ◄
  • Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.
  • Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.
  • ► Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью. 

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

Иначе,

a1, a2, a3,  . . .  , an, . . .

  1. является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
  2. an+1 = an + d,
  3. где  d — некоторое число.
  4. Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а2 – a1 = а3 – a2 = . . . = an+1 – an = d.

  • Число d называют разностью арифметической прогрессии.
  • Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
  • ► Например,
  • если  a1 = 3,  d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
  • a1 =3,
  • a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7,
  • a3 = a2 + d = 7 + 4 = 11,
  • a4 = a3 + d = 11 + 4 = 15,
  • a5 = a4 + d = 15 + 4 = 19. ◄
  • Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:
  • an = a1 + (n – 1)d.
  • ► Например,
  • найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

  1. Имеем,
  2. a1 =1,  d = 3,
  3. a30 = a1 + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88. ◄
  4. Так как
  5. an–1 = a1 + (n – 2)d,
  6. an = a1 + (n – 1)d,
  7. an+1 = a1 + nd,
  8. то, очевидно,
  9. то есть,
  10. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
  11. Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
  12. числа a, b и c  являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.
  13. ► Например,
  14. докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  an = 2n – 7, является арифметической прогрессией.
  15. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
  16. an = 2n – 7,
  17. an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,
  18. an+1 = 2(n + 1) – 7 = 2n – 5.
  19. Следовательно,
an+1 + an–1  =  2n – 5 + 2n – 9 = 2n – 7 = an,
2 2
  • что и доказывает нужное утверждение. ◄
  • Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой
  • an = ak + (n – k)d.
  • ► Например,
  • для  a5  можно записать
  • a5 = a1 + 4d,
  • a5 = a2 + 3d,
  • a5 = a3 + 2d,
  • a5 = a4 + d. ◄
  • Так как
  • an = an–k + kd,
  • an = an+k – kd,
  • то, очевидно,
  • то есть,
  • любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.
  • Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:
  • am + an = ak + al,
  • если
  • m + n = k + l.
  • ► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

  1. 1) a10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a9 + a11)/2;
  2. 2) 28 = a10 = a3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;
  3. 3) a10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a7 + a13)/2;
  4. 4) a2 + a12 = a5 + a9, так как
  5.     a2 + a12 = 4 + 34 = 38,
  6.     a5 + a9 = 13 + 25 = 38. ◄ 
  7. Сумма

Sn = a1 + a2+ a3 + . . .+an,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

ak, ak+1,  . . . , an,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

 Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an =  ak + an  · (n – k + 1) .
2

► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S3 = (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины  a1,  an,  d,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

 an = a1 + (n – 1)d    и    Sn  =  a1 + an  · n .
2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

  • если d > 0, то она является возрастающей;
  • если d < 0, то она является убывающей;
  • если d = 0, то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Иначе,

b1, b2, b3, . . .  , bn, . . .

  • является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
  • bn+1 = bn · q,
  • где q ≠ 0 — некоторое число.
  • Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn+1/bn = q.

  1. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
  2. Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.
  3. ► Например,
  4. если  b1 = 1,  q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
  5. b1 = 1,
  6. b2 = b1 · q = 1 · (–3) = –3,
  7. b3 = b2 · q = –3 · (–3) = 9,
  8. b4 = b3 · q = 9 · (–3) = –27,
  9. b5 = b4 · q = –27 · (–3) = 81. ◄
  10. Для геометрической прогрессии с первым членом  b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:
  11. bn = b1 · qn–1.
  12. ► Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

  • Имеем,
  • b1 = 1,  q = 2,
  • b7 = b1 · q6 = 1 · 26 = 64. ◄
  • Так как
  • bn–1 = b1 · qn–2,
  • bn = b1 · qn–1,
  • bn+1 = b1 · qn,
  • то, очевидно,
  • bn2 = bn–1 · bn+1,
  • то есть,
  • каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.
  • Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
  • числа  a, b и c  являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.
  • ► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

  1. bn = –3 · 2n,
  2. bn–1 = –3 · 2n–1,
  3. bn+1 = –3 · 2n+1.
  4. Следовательно,
  5. bn2 = (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n+1) = bn–1 · bn+1,
  6. что и доказывает нужное утверждение. ◄
  7. Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой
  8. bn = bk · qn–k.
  9. ► Например,
  10. для  b5  можно записать
  11. b5 = b1 · q4,
  12. b5 = b2 · q3,
  13. b5 = b3 · q2,
  14. b5 = b4 · q. ◄
  15. Так как
  16. bn = bk · qn–k,
  17. bn = bn–k · qk,
  18. то, очевидно,
  19. bn2 = bn–k · bn+k
  20. то есть,
  21. квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
  22. Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:
  23. bm · bn = bk · bl,
  24. если
  25. m + n = k + l.
  26. ► Например,

в геометрической прогрессии  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

  • 1) b62 = 322 = 1024 = 16 · 64 = b5 · b7;
  • 2) 1024 = b11 = b6 · q5 = 32 · 25 = 1024;
  • 3) b62 = 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;
  • 4) b2 · b7 = b4 · b5,  так как
  •     b2 · b7 = 2 · 64 = 128,
  •     b4 · b5 = 8 · 16 = 128. ◄ 
  • Сумма

Sn = b1 + b2 + b3 + . . . + bn

  1. первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0  вычисляется по формуле:
  2. А при q = 1 — по формуле
  3. Sn = nb1
  4. Заметим, что если нужно просуммировать члены

bk, bk+1,  . . . ,bn,

то используется формула:

  Sn – Sk–1  =  bk + bk+1 + . . . + bn  =  bk ·  1 – qn–k+1  .
1 – q  

► Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S10 – S6 = 64 · (1 – 210–7+1) / (1 – 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины  b1,  bn,  q,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

 bn = b1 · qn–1  и  Sn = b1 ·  1 – qn  .
1 – q  

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:

  • прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b1 > 0  и  q > 1;

b1 < 0  и  0 < q  0  и  0 < q 1.

Если  q

Источник: http://math4school.ru/arifmeticheskaia_i_geometricheskaia_progressii

Ссылка на основную публикацию