Элементы комбинаторики и теории вероятностей — в помощь студенту

  • Методические рекомендации для обучающихся по изучению темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»  учебной дисциплины «Математика»
  • На изучение темы  отводится 12 часов: 8  аудиторных часов и на самостоятельное изучение 4 часа.
  • Методические рекомендации содержат теоретический материал по теме; примеры решений задач; задачи для решений с ответами
  • Теоретический материал
  • Комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных элементов.
  • Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять” .
  • Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания.
  • Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.
  • Правило комбинаторики (умножения) – если элемент А можно выбрать п способами, элемент В выбрать m способами, то комбинацию , состоящую из А и В элементов можно выбрать n • m способами.
  • 1. Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их
  • Элементы комбинаторики и теории вероятностей - в помощь студентуКоличество всех перестановок из n элементов обозначают

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн — факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

  1. 1! = 1,
  2. 2! = 2•1 = 2,
  3. 3! = 3 •2 •1 = 6,
  4. 4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

  • Ответ: 5040 способов.
  • Задача № 2
  • В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.
  • Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?
  • Решение: на слайде

2.Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Примеры решения задач:

Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет: Элементы комбинаторики и теории вероятностей - в помощь студенту

Ответ:151200 способов

Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А243. По формуле находим

Элементы комбинаторики и теории вероятностей - в помощь студенту

Ответ: 12144 способа

3.Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их Элементы комбинаторики и теории вероятностей - в помощь студенту.

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

  1. Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно
  2. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - в помощь студенту
  3. Ответ: 120 вариантов.

Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

  • Решение: По формуле находим:
  • Элементы комбинаторики и теории вероятностей - в помощь студенту
  • Ответ: 120 комиссий.
  • Задачи для решения на закрепление
  • Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            
  •                       забега на 5-ти беговых дорожках?  

Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая      

                      цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно  Р3=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

  1.             Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.
  2. Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести                
  3.                        девушек на танец?
  4. Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И          
  5.                   варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,        
  6.                   считаются разными, поэтому:

Источник: https://nsportal.ru/shkola/raznoe/library/2014/12/06/metodicheskie-rekomendatsii-dlya-obuchayushchikhsya-po-teme

Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1. Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики. — презентация

1 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1. Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

2 Предмет теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее.

Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного. Не все случайные явления ( эксперименты ) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях.

Случайность и хаос не одно и то же.

3 Случайное событие : факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида : а ) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта ; б ) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может ; в ) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

4 Алгебра событий. Сумма ( объединение ) событий Произведение ( пересечение ) событий Разность ( дополнение ) событий

5 Сумма событий Суммой ( объединением ) событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно. A B

6 Произведение событий Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события. A B

7 Разность ( дополнение ) событий Разностью А B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

8 Категории событий События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае события называются несовместными.

События А 1, А 2,…, Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое

9 Аксиомы теории вероятностей Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р ( А ), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 0 P(A) 1 Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3 ( аксиома сложения вероятностей ).

Пусть A и В несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей : P(A+B)=P(A)+P(B) Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно : если события A1, A2,…

, An, попарно несовместны, то P(A1+ A An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

10 Схема случаев Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, а ) попарно несовместны ; б ) равновозможны ; в ) образуют полную группу, то говорят, что имеет место схема случаев.

11 Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов :

12 Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р ( А ) = 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство.

Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р ( А ) = 0. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

13 Относительная частота. Статистическое определение вероятности. относительная частоты W(A) события A — отношение числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний : где N – общее число опытов, М – число появлений события А. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

  • 14 Геометрическая вероятность Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L – Аналогично для плоскости : Для трёхмерного случая :
  • 15 Пример 1 Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.
  • 16 Решение Пусть радиус круга равен R, тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга а площадь шестиугольника Следовательно,

17 Теорема сложения вероятностей. Вероятность р ( А + В ) суммы событий А и В равна Р ( А + В ) = р ( А ) + р ( В ) – р ( АВ ). Доказательство.

18 Следствие 1. Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С : Р ( А + В + С ) = р ( А ) + р ( В ) + р ( С ) – р ( АВ ) – р ( АС ) – р ( ВС ) + р ( АВС )

19 Следствие 2. Если события А и В несовместны, то m АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей : Р ( А + В ) = р ( А ) + р ( В ).

20 Определение Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р ( А ) + р ( ) = 1.

21 Условная вероятность Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р ( В / А ) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло. Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

Читайте также:  Правовая основа местного самоуправления - в помощь студенту

22 Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло : р ( АВ ) = р ( А ) · р ( В / А ). Доказательство.

23 Независимые события Определение : Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р ( В / А ) = р ( В ). Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид : р ( АВ ) = р ( А ) · р ( В )

24 Вероятность появления хотя бы одного события Теорема Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А 1, А 2,…, Ап равна р ( А ) = 1 – q1q2…qn, где qi – вероятность события, противоположного событию А i.

25 Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выпал хотя бы один герб ? Решение.

Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события ( выпадения цифры ) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы одного герба при n бросках равна 1- (0,5) n.

Тогда из решения неравенства 1- (0,5)n > 0,9 следует, что п > log210 4.

26 Основные формулы комбинаторики комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества

27 Перестановки Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р n = n! Пример. Сколько различных списков ( отличающихся порядком фамилий ) можно составить из 7 различных фамилий ? Решение. Р 7 = 7! = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

28 Размещения Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений Количество размещений из n по m, обозначаемое A n m, равно убывающему факториалу A n m =n! / (n-m)! Пример.

Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета ( первое, второе, третье места ), если в соревнованиях принимают участие 10 человек ? Решение. A 3 10 = 10*9*8 = 10! / 7! = 720

29 Сочетания Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов ( то есть наборы, отличающиеся только составом элементов ). Число сочетаний Пример.

В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов ? Решение.

В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

30 Лекция закончена У кого есть вопросы ?

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1026532/

Разработка элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Актуальность темы

В соответствии с письмом Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г.

№03–93 ин/13–03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования школы» рекомендуется во всех образовательных учреждениях начать с 2003/2004 учебного года курса «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Однако, внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и нуждается в накоплении методического опыта. Поэтому в настоящее время в школах, начиная с 5 класса, вводится вероятностно-стохастическая линия, но в этих же школах можно встретить учеников 10 и 11 классов, в учебные планы которых не была включена данная линия, при этом учащиеся обучаются в социально-экономическом профиле, где данная вероятностно-стохастическая линия очень важна.

Так же, существуют межпредметные связи между математикой и физикой, математикой и биологией, математикой и экономикой и др. С одной стороны физика, биология, химия содержат примеры случайных явлений, с другой стороны эти дисциплины не могут обойтись без элементов теории вероятностей для раскрытия собственных закономерностей.

Как уже было сказано выше, современная физика, химия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин.

То есть данная тема «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» актуальна в социально-экономическом профиле, поэтому нами был разработан элективный курс и проведено 2 урока, конспекты которых представлены в Приложении 1.

Цели курса :

1. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования.

2. Формирование качеств прикладного стиля мышления, необходимого для продуктивной жизни в обществе.

3. Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

4. Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

  • Задачи курса :
  • · Развитие интеллектуальных умений учащихся.
  • · Расширение сферы математических знаний.
  • · Реализация внутрипредметных связей.
  • · Облегчение подготовки учащихся к экзаменам как в школе, так и при поступлении в общеобразовательные учреждения после окончания школы.
  • Элективный курс предназначен для учащихся 10–11х классов, выбравших для себя социально-экономическую область деятельности, в которой комбинаторика и теория вероятностей играют важную роль.
  • Основные формы проведения элективного курса – лекции учителя, практические занятия и доклады учеников.
  • В конце изучения каждой темы предусмотрено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиада.
  • Учащиеся, успешно освоившие программу, получат зачет.
  • Программа рассчитана на 16 учебных часов (1 учебный час – 40 минут), так как возрасте (15 – 17 лет) учащиеся владеют не малым багажом знаний, умений и навыков и способны усваивать информацию быстрее.

Учебно-тематический план

№ п/п Тема занятий Кол-во часов из них
Теория практика
I. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. (4 ч) (Приложение 1)
1 Правило умножения 1 15 мин 25 мин
2 Дерево вариантов, перестановки 1 10 мин 30 мин
3 Перестановки 1 10 мин 30 мин
4 Обобщение знаний, закрепление пройденного 1 10 30
III.Выбор нескольких элементов. Сочетания (6 ч) (Приложение 1)
1 Выбор двух элементов 1 10 30
2 Число 1 15 мин 25 мин
3 Выбор трёх и более элементов 1 10 мин 30 мин
4 Обобщение знаний, закрепление пройденного материала 1 10 мин 30 мин
6 Зачетное занятие 2 40 мин
IV.IV. Случайные события и их вероятности (6 ч) V.(Приложение 1)
1 Виды событий 1 20 мин 20 мин
2 Классическое определение вероятности 1 15 мин 25 мин
3 Вероятность противоположного события 1 15 мин 25 мин
4 Вероятность суммы несовместных событий 1 15 мин 40 мин
5 Обобщение знаний, закрепление пройденного материала 1 10 мин 30 мин
6 Зачетное занятие 1 40 мин

С такими темами, как комбинаторика и теория вероятности тесно связана тема статистики (это видно из анализа учебников), поэтому после данного курса целесообразно проведение элективного курса по статистической обработке данных. Примерная разработка представлена ниже.

Статистика – дизайн информации (5 ч.)
1 Варианты, их кратности. 1 15 25
2 Многоугольники распределения данных. 1 10 30
3 Кривая нормального распределения. 1 15 25
4 Числовые характеристики выборки. 1 15 25
5 Обобщение знаний. 1 5 35
Независимые повторения испытаний с двумя исходами (5 ч.)
6 Схема Бернулли. 1 20 20
7 Использование функции . 1 15 25
8 Использование функции Ф. 1 10 30
9 Обобщение знаний 1 5 35
10 Зачётное занятие 2 5 37

Опыт показал, что тема воспринималась учащимися 11х классов быстро и с интересом. А так же подтвердилось, что установленные нами временные рамки, ограничивающие одно занятие, соответствуют темпу восприятия материала учениками.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 28;

Источник: https://studopedia.net/14_13088_razrabotka-elektivnogo-kursa-elementi-kombinatoriki-i-teorii-veroyatnostey.html

Методические указания по самостоятельной работе по математике по теме "Комбинаторика. Элементы статистики и теории вероятности"

  • МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КОМИ
  • КОМИ РЕСПУБЛИКАСА ЙÖЗÖС ВЕЛÖДАН МИНИСТЕРСТВО
  • Государственное образовательное учреждение
  • начального профессионального образования
  • профессиональное училище № 15 г. Сыктывкара
  • УДЖИКАСÖ ВЕЛÖДАН СЫКТЫВКАРСА 15 №-А УЧИЛИЩЕ
  • УЛЫС ТШУПÖДА УДЖИКАСÖ ВЕЛÖДАН ГОСУДАРТСВЕННÖЙ УЧРЕЖДЕНИЕ
  • Методические указания по проведению самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы по учебной дисциплине математика
  • Тема: Комбинаторика. Элементы статистики и теории вероятности
  • Рассмотрено методической комиссией
  • преподавателей естественнонаучного цикла
  • протокол № от « « 2013
  • председатель МК
  • Одобрено
  • Методист
  • Сыктывкар
  • 2013
  • Составлено

В соответствии с требованиями Федерального государственного стандарта к минимуму содержания и уровню подготовки выпусников, утвержденного приказом Министерства образования РФ от 17.12.2010 31897

Автор: М.Г. Копецкая, преподаватель математики высшей квалификационной категории

Одобрено на заседании предметно-цикловой комиссии преподавателей естественнонаучного цикла

Рецензент:З.Ю. Елькина, заместитель директора по ТО

Редактор: М. А. Арцер. методист ГОУ НПО №15

  1. АННОТАЦИЯ
  2. Разработанные методические указания предназначены для обучающихся образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования, изучающих математику на ступени основного общего образования, в частности для студентов ГОУ НПО ПУ №15 по специальностям:
  3. 190631.01 Автомеханик;
  4. 250401.07 Машинист машин по производству бумаги и картона;
  5. 150709.02 Сварщик (электросварочные и газосварочные работы);
  6. 220703.02 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике;
  7. 140446.03 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования;

151013.01 машинист лесозаготовительных и трелевочных машин.

Цель методических указаний – обеспечение поддержки учебного процесса по технологиям открытого образования. Они могут применяться для различных форм обучения (аудиторной и внеаудиторной). Также пособие предназначено для обучающихся, которые не имеют возможности прослушать весь курс в полном объеме (например, по состоянию здоровья).

Пособие включает в себя информационный блок, примеры решения задач, вопросы для самонтроля и задания для самостоятельного решения.

Методические указания разработаны на основе технологии модульного обучения и содержит основные сведения, необходимые для организации и выполнения учебных действий обучающимися как на уроках, так и во внеаудиторное время.

  • пособия соответствует общедидактическим принципам организации обучения: научности, систематичности, последовательности. Наличие теоретического материала и компонентов, адресованных учащимся с различным уровнем способностей способствует формированию знаний, умений и навыков по теме «Элементы комбинаторики, математической статистики и теории вероятности»
  • Структурирование пособия поможет преподавателям и обучающимся преобразовать учебный процесс так, что обучающийся самостоятельно (полностью или частично) сможет обучаться по целевой индивидуализированной программе, а это создаст предпосылки не только для освоения конкретных предметных знаний и навыков в рамках отдельной дисциплины, но и для формирования совокупности “универсальных учебных действий”, обеспечивающих компетенцию “научить учиться”.
  • Учебное пособие может быть использовано преподавателями математики и обучающимися, которые изучают математику на базовом уровне.

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/metodicheskie-ukazaniya-po-samostoyatelnoy-rabote-po-matematike-po-teme-kombinatorika-elementy-statistiki-i-teorii-veroyatnosti.html

Решение заданий ЕГЭ "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей" 11 класс

Решение заданий ЕГЭ Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Читайте также:  Защита информации в электронных платежных системах - в помощь студенту

Айшаев Мухадин Муратович

Айшаев Мухадин Муратович учитель математики МКОУ «Средняя общеобразовательная школа с.п.Кара-Суу» и преподаватель «Лицея для одаренных детей» г.Нальчик Айшаев Кязим Мухадинович «Решение заданий ЕГЭ по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» Введение

  • Задания открытого банка заданий ЕГЭ. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика), а также задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Для успешного решения задач этого типа необходимо:

  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
  • Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
  • Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
  • Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

Повторить материал по темам:

  • Элементы комбинаторики
  • Поочередный и одновременный выбор
  • Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
  • Элементы статистики
  • Табличное и графическое представление данных
  • Числовые характеристики рядов данных
  • Элементы теории вероятностей
  • Вероятности событий
  • Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Классическое определение вероятности

  • Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.
  • Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Формула классической теории вероятностей

  • Число благоприятных исходов
  • Число всех равновозможных исходов
  • Вероятность события =
  • Вероятность события — это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки

  • Перестановкой множества из n  элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число перестановок можно вычислить по формуле Pn=n!

Размещения

  • Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетания

  • Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).

Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

  • Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36.
    Из них благоприятные исходы можно перечислить: 2+6;6+2; 3+5;5+3; 4+4.
  • Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.

Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

  • Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  • Решение: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет
  • 1 раз равна ,
  • 2 раза равна =(Теорема об умножении вероятностей),
  • 3 раза равна =,
  • а 4 раза равна ()4==0,0625.

Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.

  • Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36.
    Из них благоприятные исходы можно перечислить:
    1-й кубик 2-й кубик
    1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
  • Ответ. 0,83

Для самостоятельного решения

  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)

Задача 4: Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

  • Решение: По условию индекс может стоять либо на первом, либо на втором месте:
  • H2NO HNO2
  • H3NO HNO3
  • 2 + 2 = 4
  • Ответ: 4

Задача 5: Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?

  • а, в, с – признаки
  • 1 случай – гамета не обладает ни одним из этих признаков – только 1тип
  • 2 случай – одним из этих признаков: а; в; с – 3 типа
  • 3 случай — двумя из трех признаков: ав, ас, вс – 3 типа
  • 4 случай – всеми тремя признаками: авс – 1 тип
  • 1+3+3+1=8 типов гамет
  • Ответ: 8

Задача 6: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

  • 111 сотни десятки единицы
  • 112 а в с
  • 121 1 1 1
  • 122 8 2 2 2
  • 211 222=8
  • 212
  • 221
  • 222

Задача 7:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

  • А Б В
  • (АБ)
  • (АВ) 3 варианта посещения
  • (БВ)
  • Сочетание из 3 по 2
  • С3= =3
  • Ответ: 3

2

Задача 8: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

  • А Г С Ф – число сочетаний из 4 по 2
  • АГ
  • АС
  • АФ С4==6
  • ГС
  • ГФ
  • СФ
  • Ответ: 6

2

Задача 9: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков? Число размещений: А5= =20 Ответ: 20

2

Задача 10: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

  • А Б В
  • Число сочетаний из 3 по 2: 3 способа
  • Количество перестановок: Р2=2!=2
  • СР=3
  • или А-размещения
  • А3==6

2

Задача 11: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

  • 12 21 23 32 13 31
  • А3=
  • Ответ: 6

2

Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

  • Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
  • Решение: Всего участвует 20 спортсменок, из них из Китая 20-(8+7)=5 спортсменок.
  • Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая будет
  • Р =
  • Ответ: 0,25

Задача 13: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

  • n=25
  • m=23 билета без вопроса о грибах
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92

Для самостоятельного решения 1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (0,2) 2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.(0,16) 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.(0,18) 4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.(0,475) 5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. (0,25). Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

  • Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • А = {Насос не подтекает}
  • n=1000
  • m=1000-5=995насосов не подтекают
  • P(A)===0,995
  • Ответ: 0,995

Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

  • Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  • А={Сумка качественная}
  • n=100
  • m=100-8 без скрытых дефектов
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92

Задача 16: В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

  • Решение: 50-7=43 – исправных аккумуляторов
  • Вероятность – покупка исправного аккумулятора
  • 43 — Число благоприятных исходов 50 — Число всех равновозможных исходов Р = Ответ: 0,86

Для самостоятельного решения

  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96 )
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
  • В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (0,995)
  • В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.(0,992)
  • Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. (0,875)
  • В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. (0,4)

Произведение вероятностей

  • Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
  • Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Сложение вероятностей

  • Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
  • Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Список использованной литературы

  • А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2015. Математика»;
  • http://mathege.ru/ — открытый банк заданий по математике.

Источник: https://uchitelya.com/matematika/40382-reshenie-zadaniy-ege-elementy-kombinatoriki-statistiki-i-teorii-veroyatnostey-11-klass.html

Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Основное понятие теории вероятностей — вероятность события (относительная частота события) — объективная мера возможности осуществления данного события.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D. Перечислим основные виды случайных событий:

  • события называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном испытании (опыте) вместе. Например, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба;
  • два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого события в том же испытании (опыте);
  • событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно. Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное;
  • событие называется невозможным, если оно в данном испытании не может произойти. Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков;
  • два события называются противоположными (А и А̄), если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1;
  • событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В: РА(В)= Р(В). В противном случае событие В называется зависимым от события А;

Полной системой событий А1, А2, А3, …, Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании (опыте).

Каждому событию A ставится в соответствие некоторая мера P(A), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам:

  • для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1;
  • вероятность невозможного события равна нулю, P(А)=0;
  • вероятность достоверного события равна единице, Р(А)=1.

Существует классический и геометрический способы подсчета вероятности события.

При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле: Р(А)=m/n, где:

  • все элементарные исходы равновозможны, т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой;
  • m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
  • n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Для подсчета n и m часто применяются понятия и формулы комбинаторики:

  • n-факториал – это произведение всех натуральных чисел от единицы до n включительно: n! = 1*2*3*…*(n-1)*n. Например: 4!=1*2*3*4=24, 1!=1, 0!=1
  • перестановка из n элементов – комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Число всех возможных перестановок вычисляют по формуле: Pn= n!
  • перестановка с повторениями – пусть даны n1 элементов первого типа, n2 — второго типа, …, nk — k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Число всех перестановок с повторениями вычисляют по формуле: Pn(n1,n2,…,nk) = n! / n1!n2!…nk!
  • размещения – комбинации из n элементов по m (m

Источник: http://www.ekonomika-st.ru/drugie/metodi/t-ver-1-1.html

Программа элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятности»

Пояснительная записка

Данная программа составлена для учащихся 9 класса. Курс основан на программе повышенного изучения данного предмета и помогает учащимся при подготовке к Единому Государственному Экзамену, где предъявляются более высокие требования к математической подготовке школьников.

  • Выбор темы обусловлен тем, что такие разделы математики, как «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятности и статистики» в настоящее время в общеобразовательных классах не изучаются, однако являются важными содержательными компонентами современной системы непрерывного математического образования и на современном этапе развития науки невозможно полноценное ее изучение и понимание без минимальной вероятностно-статистической грамотности.
  • Элементы комбинаторики включены в Федеральный компонент государственных образовательных стандартов основного общего образования.
  • Цели курса:
  • — создание в совокупности с основными разделами математики базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся , имеющих склонность к математике;
  • — восполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.
  • Задачи курса:
  • Формирование и развитие у учащихся оценки своего потенциалас точки зрения образовательной перспективы; уточнение готовности и способности осваивать Развитие интеллектуальных и практических умений в области решения задач по комбинаторике и теории вероятности;
  • Выработка умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;
  • Развитие творческих способностей учащихся.
  • Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление их математических способностей, ориентацию на профессии, связанные с математикой подготовку к обучению в вузе.

курса предполагает самостоятельную подготовку учащихся, работу с разными источниками информации(справочные пособия, учебная и другая литература).Каждая тема курса включает в себя самостоятельную (коллективную, групповую и индивидуальные работы учащихся , что позволяет формировать навыки коллективной работы, группы разного уровня, развивать коммуникативные способности учащихся.

В курсе изложен в основном практический материал. Поскольку для решения задач достаточно понимания соответствующих теорем или формул, основные теоретические сведения и формулы даются без доказательств.

Большое количество тщательно подобранных и решенных типовых примеров и задач вычислительного характера способствуют глубокому пониманию теории. В курсе предусматриваются задачи для самостоятельных работ, тестов, которые позволяют проверить усвоение изложенных материалов.

  1. Ожидаемые результаты:
  2. В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
  3. — понимать и различать случайные, достоверные и невозможные события, решать задачи на объединение и пересечение событий;
  4. — применять общие правила комбинаторики при решении задач;
  5. — выполнять действия в примерах, содержащих факториал, проводить характерные примеры понятий выборки без повторений, сочетаний без повторений, перерстановок без повторений, размещений без повторений, применять изученные формулы при решениях задач и уметь решать задачи с помощью формулы бинома Ньютона;
  6. — применять классические и геометрические определения вероятности при решении задач;
  7. — применять формулы вероятность пересечения двух событий, формулу полной вероятности при решениях несложных задач.
  8. В результате изучения курса учащиеся должны знать
  9. — общие правила комбинаторики, определение факториала, определение выборки, сочетания, размещения, перестановки без повторений, формулу бинома Ньютона;
  10. — определения классического и геометрического понятия вероятности, определения совместных и несовместных событий; условной вероятности, формулы объединения несовместных событий, объединения совместных событий, вероятность пересечения двух событий, формулу полной вероятности.
  11. Учебно-тематический план:
Тема Количество занятий Форма
1 Введение 1 Вводная лекция
2 Случайные события, элементарные случайные события. 1 Лекция
3 Отношения между событиями 1 Семинар
4 Операции над событиями 1 Семинар
5 Решение задач 1 Практическое занятие
6 Самостоятельная работа 1 Практикум
7 Общие правила комбинаторики 1 Лекция8
8 Решение задач 1 Практическое занятие
9 Факториал. Размещения. 1 Лекция
10 Решение задач 1 Практикум
11 Перестановки. 1 Лекция
12 Решение задач 1 Практикум
13 Сочетания 1 Лекция
14 Формула Бинома Ньютона 1 Лекция
15 Решение задач 1 Практикум
16 Размещения 1 Практическое занятие
17 Сочетания 1 Лекция
18 Решение задач 1 Практическое занятие
19 Перестановки 1 Семинар
20 Решение задач 1 Практическое занятие
21 Подведение итогов 1 Семинар
22 Классическое определение вероятности 1 Лекция
23 Решение задач 1 Практическое занятие
24 Геометрическое понятие вероятности 1 Лекция
25 Решение задач 1 Практическое занятие
26 Вероятность объединения событий 1 Лекция
27 Вероятность объединения событий 1 Практикум
28 Условные вероятности 1 Лекция
29 Условные вероятности 1 Практикум
30 Независимость в совокупности 1 Лекция
31 Независимость в совокупности 1 Практикум
32-33 Формула полной вероятности 2 Исследовательская работа
34 Подведение итогов 1 Семинар

изучаемого курса

Случайные события и операции над ними (6 ч).

Понятие события. Случайное событие. Элементарные случайные события. Достоверное и невозможное событие. Совместное и несовместное событие. Отношения между событиями. Операции над событиями: объединение, пересечение. Отрицание.

Комбинаторика (15 ч).

Общие правила комбинаторики : правило суммы и произведения. Факториал. Размещение без повторений. Перестановки без повторений. Сочетания без повторений. Формула Бинома Ньютона. Размещения с повторениями. Перестановки с повторениями. И сочетания с повторениями.

Основы теории вероятности (13 ч).

Классическое определение вероятностей. Геометрическое определение вероятности. Вероятность объединения несовместных событий. Вероятность объединения совместных событий. Вероятность пересечения двух событий или условная вероятность. Независимость случайных событий. Правило произведения вероятностей. Независимость в совокупности. Формула полной вероятности.

Литература для учителя

Лютикас В.С.Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. М.:Просвещение, 2007

Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Высшая школа

Шипачев В.С. Начала высшей математикеМ.: Дрофа, 2003

Соломоник В.С. Сборник вопросов и задач по математике. М.: Высшая школа, 1978

Учебно-методическая газета «математика», -Изд.:Первое сентября,№17, 2007

В.В.Киберев. Теория вероятности с элементами комбинаторики.Улан-Удэ. Издательство БГУ.,2006

[Введите текст] Страница 5

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/elementi_kombinatoriki_i_teorii_veroyatnosti_031911.html

Ссылка на основную публикацию